計量測試中的函數逼近方法

王振 王軍 陳鑠 唐順 / 上海市質量監督檢驗技術研究院

0 引言

函數逼近在計量各專業里廣泛應用，如位移傳感器校準規范中要求采用最小二乘法計算參比直線方程[1]，壓力傳感器檢定規程要求用最小二乘法擬合其工作直線[2]，壓電式加速度計要求用正余弦函數做基擬合調相值[3]等。最小二乘法廣泛應用于解決計量中各類數值問題，任國營[4]應用最小二乘法建立圓錐在局部采樣情況下的幾何要素形位模型，俞阿龍[5]基于徑向基函數最小二乘法探討了多維力傳感器的標定等。鑒于最小二乘法在計量中的廣泛應用，本文將以多項式為例推導最佳一致逼近和最佳平方逼近，特別是特殊的最佳平方逼近——最小二乘法的原理公式，以便于在計量中理解其實質意義和處理以其他函數為基的擬合問題。

1 函數逼近

通常函數逼近問題根據度量逼近函數p(x)與被逼近函數f(x)的近似程度的標準不同一般分為一致逼近和平方逼近兩類。

用函數f(x)和p(x)的最大誤差：

即[a,b]區間內最大誤差作為度量逼近函數p(x)對被逼近函數f(x)的逼近程度，稱為一致逼近。

用下面表達式：

即[a,b]整個區間內誤差的平方作為度量逼近函數p(x)與被逼近函數f(x)的近似程度稱為平方逼近，具體∞-范數和2-范數概念詳見引文[6]。

實際數值上求f(x)的一致逼近函數和平方逼近函數是困難的，并且實際問題中人們感興趣的是最佳一致逼近函數和最佳平方逼近函數。計量中應用較多的是以多項式為基的線性最佳一致逼近和最小二乘擬合，如引文[2]采用端點平移直線或最小二乘擬合直線作為壓力傳感器工作直線。

2 最佳一致逼近

設有多項式序列pn(x)，若要求的逼近精度高，則找到的多項式次數就高，最佳一致多項式是在多項式次數n固定的情況下，求一個多項式pn*(x)使式（3）最小

最佳一致逼近多項式計算是困難的，下面只對n= 1 的情況進行討論。

例1：設f(x)在區間[a,b]上有二階導數，且f ''(x)在[a,b]上不變號且f ''(x)≠0，求解f(x)的線性最佳一致逼近多項式：

解：由切比雪夫定理[7]：若pn*(x)是f(x)的最佳一致逼近多項式，則在[a,b]上至少存在n+ 2 個點

a≤x1≤x2≤Lxn+2≤b

使得

其中，σ= ±1，k= 1，2，L，n+ 2

可知此例存在點

a≤x1≤x2≤x3≤b

使

由于f ''(x)在[a,b]上不變號且f ''(x)≠0，故

其中，σ= ±1，k= 1，2，3

f '(x)在 [a,b]上單調，可知要使pn*(x) -f(x)取極值必須：

由此得在[a,b]上只有一個根x2，故p1*'(x) -f '(x)的另外兩個極值點只能在[a,b]的端點，故由x1=a，x3=b，由此可得

轉化為：

由式（7）得

式中x2由求解方程f '(x2) =a1得到，由此則得到f(x)在[a,b]上的線性最佳一致逼近多項式p1*(x) =a0+a1x。

其幾何意義如圖1 所示，用文字表述為函數f(x)在區間[a,b]上具有二階導數，且在[a,b]上為凸函數或凹函數，則函數f(x)在區間[a,b]上的線性最佳一致逼近多項式一定與曲線f(x)在區間[a,b]上的割線相平行，且通過左端點[a，f(a)]和點[x2，f(x2)]的中點，其中點[x2，f(x2)]處的切線和曲線f(x)在區間[a,b]上的割線相平行，即若如果函數 在區間[a,b]上具有二階導數，且在[a,b]上為凸函數或凹函數，此割線即為力傳感器檢定規程中的平均端點直線[8]含義，此線性最佳一致逼近多項式即為壓力傳感器檢定規程中的端點平移直線含義。

圖1 最佳線性一致逼近多項式幾何意義

3 最佳平方逼近

若φ0(x)，φ1(x)，Lφn(x)是 [a,b]上的已知線性無關的連續函數，設函數

其中a0，a1，Lan是任意待定實數，稱

φ0(x)，φ1(x)，Lφn(x)為生成函數sn(x)的一組基底。最佳平方逼近為求sn*(x)∈sn(x)使

則sn*(x)是f(x)的最佳平方逼近函數。sn*(x)的求解如下：求多元函數I(a0，a1，Lan)的極小值，其中

是關于a0，a1，Lan的函數，由多元函數取極值的必要條件得

于是有

這是關于a0，a1，Lan的線性方程組，把其寫成矩陣形式可求得a0，a1，Lan，進而求得

同樣道理，若取

則就稱求得的sn*(x)是f(x)的n次最佳平方逼近多項式。假如區間取為[0,1],設

此時由式（14）得

由此式（14）形成線性方程組矩陣表示如下：

求解ak，k= 0,1L，n由此則得到最佳平方逼近多項式為：pn*(x) =a0+a1x+Lanxn

4 最小二乘法

計量中通常大部分f(x)是由實驗或觀測值得到的，則其函數表為：

[xi,f(xi)]，i= 0，1，Lm

求最小二乘擬合即為求一條曲線sn*(x)，使數據點均在離曲線的上方或下方不遠處，如圖2。此擬合曲線既能反映數據的總體分布，又能從總體上來說其偏差滿足：

圖2 最小二乘擬合示意

其實質是f(x)為離散形式的最佳平方逼近，這樣求連續函數的最佳平方逼近方法可以用到曲線擬合的最小二乘上，具體表述如下。

求sn*(x)的問題等價于求多元函數：

的極小值，由多元函數取極值的必要條件得線性方程組：

求aj，j= 0, 1,Ln進而求得sn*(x)。

最小二乘逼近中如何選擇數學模型很重要，即如何根據給定的f(x)來選擇基函數，通常需要根據物理定義或f(xi)，i= 0, 1,Lm的數據分布的大致圖形選擇相應的數學模型，如基于徑向基函數的最小二乘法[5]，以正余弦函數為基[3]的最小二乘等，下面論述計量中曲線擬合的常用情況即代數多項式擬合，即取

那么相應的線性方程組式（22）矩陣表示為：

求解aj，j= 0, 1,Ln此時為數據多項式最小二乘擬合。計量中對于線性問題一般用一次多項式或二次多項式擬合，其相應的線性方程組矩陣表示為：

求解式（25）得a0和a1，進而得

求解式（26）得a0、a1和a2，進而得

例如實驗室用的標準測力儀在長期使用中，由于使用頻次過高或過載等原因，導致力值不準，因此定期需要用上一級標準力標準機進行重新再次標定，其方法是用力標準機將傳感器承受的負荷穩定在某一標準數值上，用數據采集器采集此時電信號mV/V，將這些負荷和對應的采集到的電信號mV/V運用最小二乘擬合出一條校準曲線。

例2：以實驗室的GTM 標準測力儀為例，采用GTM 數據采集器（如圖3）進行電信號采集，采集界面如圖4。

圖3 GTM 數據采集器

圖4 GTM 數據采集器采集界面

設5 kN 力傳感器在標定中，根據不同標準力值測得的靈敏度電信號如表1 所示。

最小二乘法擬合力F與靈敏度電信號關系：

F=Ax3+Bx2+Cx+D

式中：F—— 力值；

x—— 電信號靈敏度

表1 不同標準力值測得的靈敏度電信號

解：根據式（22）得

進而得：

利用MATLAB 軟件求解方程組得：

F= 10.555x3- 17.066x2+ 4996.6x+ 1.4072

將其中的待定系數輸入到標定系統中保存如圖5，即完成了力傳感器的重新標定。

圖5 GTM 傳感器標定界面

5 結語

本文論述了函數逼近的含義，推導了最佳一致逼近和最佳平方逼近和最小二乘算法過程并以多項式為例進行分析，把最小二乘化為矩陣分析求解線性方程組的問題，闡述了最佳一致線性逼近的幾何意義。

特別對于計量中非線性問題，多項式做基的最小二乘并不合適，此文為選擇其他函數做基的最小二乘提供了方法借鑒。另外對于大型的線性方程組，可不必人工計算，現在專業的數值計算軟件如MATLAB[9]可以進行矩陣分析，并且含有專門的函數命令進行多項式最小二乘擬合，方便快捷。