基于異常值檢驗的一種測量儀器技術狀態質量控制方法

周建童 潘祝光 黃虬 / 中國人民解放軍91656部隊

0 引言

異常值（abnormal value）又稱離群值，依據JJF 1001-2011《通用計量術語及定義》相關詞條的解釋，是指在對一個被測量重復觀測所獲取的若干觀測結果中，出現了與其他值偏離遠且不符合統計規律的個別值。在正常情況下，一組測量樣本的分散性合理表征了實際測量過程的隨機波動性，但是當測量儀器技術狀態出現不穩定時會增加測量樣本中出現異常值的可能性。

考察測量儀器的測量值是觀察其技術狀態最直觀的方法，如果某個測量儀器通過不間斷的溯源鏈溯源至國家計量基準，并且其示值一直持續處于可控的狀態下，一般認為該測量儀器技術狀態良好。反之當該儀器測量值呈現出不合理的分散性，異常值頻繁出現，就有理由認為該儀器技術狀態存疑。當排除了因技術人員和實驗室環境等原因導致測量過程中出現異常值的可能性時，那么測量值的統計分析結果就是該測量儀器技術狀態的直接反映。

本文試圖建立這樣一種模型關系，即將某個測量儀器的重復觀測樣本作為輸入量時，通過合理的統計分析過程得到以該儀器技術狀態為目標的輸出結果。

圖1 輸入與輸出關系

1 異常值檢驗常用方法

1.1 格拉布斯準則

當在某組重復測量樣本xi中，其殘差vi的絕對值|vi|的最大者為可疑值xd,在給定的包含概率為p(通常，p= 0.099 或p= 0.095)，也就是顯著性水平α= 1 -p時，如果該可疑值xd與該測量樣本的平均值|x|之差的絕對值除以該組測量樣本的實驗標準偏差s大于該情況下格拉布斯臨界值，則可判斷該疑值xd為異常值。

格拉布斯檢驗方法，在某組重復測量樣本（xi|x1，x2，…，xn）中,設殘差vi的絕對值|vi|的最大者為可疑值xd，該準則可用式（1）表示：

式中：—— 該組測量樣本的算術平均值；

xi—— 該組重復測量樣本中的任意值；s—— 該組測量樣本的實驗標準偏差；

G(α,n) —— 與顯著性水平α和樣本含量n有關的格拉布斯臨界值

1.2 狄克遜準則

當在某組重復測量樣本xi中，將該樣本中測量值按照由小到大的規律重新排列組成新的樣本集合，其中最大者為xn，最小者為x1，根據樣本容量n計算統計量γij和γ'ij，如果γij和γ'ij中的較大值大于該情況下格拉布斯臨界值，則可判斷該疑值為異常值。

狄克遜檢驗方法，將該組重復測量樣本按照由小到大的順序重新排列形成新的樣本集合（xi|x1，x2，…，xn），

當n= 3 ～ 7 時，

當n= 8 ～ 10 時，

當n= 11 ～ 13 時，

當n≥ 14 時，

當γij＞γ'ij且γij＞D(α,n)，則xn為異常值；

當γij＜γ'ij且γij＞D(α,n)，則x1為異常值。

1.3 拉依達準則

當在某組重復測量樣本xi中，當重復測量樣本充分大的前提下（n＞＞10），若某個可疑值與該組測量樣本的平均值之差的絕對值大于或等于該組測量樣本試驗標準偏差的三倍時，依據拉依達準則判斷該可疑值為異常值。

拉依達檢驗方法，在某組重復測量樣本（xi|x1，x2，…，xn），對組測量集合中的任意測量樣本xi，

則可以判定xi為異常值。

2 異常值檢驗應用案例

在對某組被測量進行重復性觀察時，通常情況下要對被測量進行多次的重復性采樣，而這些重復性采樣樣本，會因為測量采樣過程中各種各樣的原因出現，與其他正常值偏離較遠，且不符合統計規律的個別值，這些異常值的出現會導致對樣本數據進行算術平均值和實驗標準偏差估計時發生偏差，而往往這些偏差值僅憑計量技術人員的簡單計算和經驗判斷是無法正確發現的，因此需要講前面所討論的方法在案例中進行靈活的運用。

2.1 常見情況案例

這情況常見于實驗室日常工作的計量技術工作，在對某一組樣本容量不是非常巨大的被測量進行簡單分析時這種異常值檢驗的應用方法常常使用到。

比如，計量技術人員在對某型數字多用表的1A典型點進行重復性觀察時獲取了表1 所示的一組重復性觀察值，假設在對這組數據進行重復性分析時發現了重復性偏差較大的情況，計量技術人員懷疑這組觀察值中存在導致重復性偏離較大的異常值。

表1 一組重復性觀察值

對該組數據的統計處理如下：

該組測量樣本的算術平均值，

該組測量樣本的實驗標準偏差，

比較計算各個觀察值的殘差，

發現當x4= 0.91 A 時，存在vmax= 0.10 A，則有：

按照p= 95%，即α= 1 - 0.95 = 0.05，n= 6，查格拉布斯臨界值表有：

可以判定，x4= 0.91 A 為異常值，應當予以剔除；

當剔除x4后，對剩下的5 個重復觀測值繼續進行統計分析；

該組測量樣本的算術平均值，

該組測量樣本的實驗標準偏差，

比較計算各個觀察值的殘差，

發現當x5= 0.76 A 時，存在vmax= 0.03 A,則有：

按照p= 95%,即α= 1 - 0.95 = 0.05，n= 5，查格拉布斯臨界值表有：

可以判斷剩下的5 個重復觀測值不存在異常值。

2.2 復雜情況案例

然而，在實際工作中，經常碰到一些較為復雜的情況。在這些情況下，進行的重復性觀察采樣的樣本數較多，而且對數據統計的嚴謹性有著較高的要求時，簡單的運用某一種異常值檢驗方法并不能完全覆蓋所有的日常計量檢定情況。當遇到這種較為復雜的情況時，不僅需要計量工作人員在對被測對象進行觀測時有良好的專業素養，還要求計量檢定人員在梳理統計數據時具備靈活的處理能力。

例如，某計量工作人員在重復測量某電阻器共10 次，將測量結果從小到大依次排序為：10.000 3 Ω，10.000 4 Ω，10.000 4 Ω，10.000 5 Ω，10.000 5 Ω，10.000 5 Ω，10.000 6 Ω，10.000 6 Ω，10.000 7 Ω，10.001 2 Ω。

首先，使用狄克遜準則判別：

選取選取顯著性水平α= 0.05，測量次數n=10，根據狄克遜準則有狄克遜檢驗臨界值：

可發現：

γ11＞γ'11且γ'11＞D(0.05,10)

因而在狄克遜檢驗條件下，x10為異常值。

采用格拉布斯準則判別：

該組測量樣本的算術平均值

該組測量樣本的實驗標準偏差

根據格拉布斯準則有該組測量樣本的格拉布斯臨界值

G(α,n) =G(0.05,10) = 2.18，最大殘差絕對值，

|vi| = |v10| = 0.000 63 Ω

G(α,n)·s=G(0.05,10)×0.000 25 Ω = 0.000 55 Ω|v10| ＞G(α,n)·s

因而在格拉布斯準則下，x10為異常值。

通過兩種檢驗準則的判斷能得到相同的結論，即x10屬于異常值。

3 三種異常值檢驗準則比較

3.1 拉依達檢驗準則

拉依達準則是三種異常值檢驗準則中相對比較直觀且操作簡單的一種方法。這種檢驗準則的優勢在于，首先，該準則適用于測量樣本中的任意值而非某個懷疑的特定值，即當任意測量樣本與該組測量的平均值滿足檢驗準則時，就可以依據拉依達準則判斷該值為異常值；其次，拉依達檢驗的臨界值是一個相對確定的固定值，即當已知某組測量值的全部測量樣本時，就可以確定該組測量值的拉依達臨界值為三倍的該組測量值的實驗室標準偏差，這也是拉依達檢驗準則又被稱為3S準則的原因。

但是拉依達檢驗準則在應用中也有兩點需要注意的事項，首先，拉依達檢驗準則對重復測量集合中的樣本容量有較高要求，一般來說當樣本容量n＞＞10；其次，部分場合通常不使用拉依達準則，例如，在GB/T 4883-2008《數據的統計處理和解釋正態樣本離群值的判斷和處理》中已不采用這種方法，因此在使用拉依達檢驗準則時應該持謹慎的態度。

3.2 格拉布斯與狄克遜驗準則

從統計學的上說，兩種檢驗準則在本質上存在著相通性，他們從兩種角度對異常值檢驗給出了不同的觀點，在實際運用過程中也存在著一些細微的差別，當樣本數3＜n＜50，格拉布斯準則運用效果較好，適用于單個異常值，當存在多于一個的異常值時狄克遜準則較好。

在實際工作中，有較高要求的情況下，可以選用多種準則同時進行檢驗的方法，如果結論相同，那么檢驗可信度較高，如果結論出現矛盾時，即某可疑值既可能是異常值也可能非異常值時，通常情況下以不是異常值處理較為謹慎。

4 異常值檢驗應用在測量儀器質量控制中的意義

測量標準技術狀態的質量控制通常建立在對測量標準的測量重復性的統計分析的基礎上，依據國家計量技術規范JJF 1033-2016《計量標準考核技術規范》相關條款的要求，測量標準的重復性通常用實驗標準偏差來表示。測量標準的重復性指的是在重復性測量條件下(相同的測量程序、相同的觀測者、相同的條件下使用相同測量標準)，測量標準所復現的量值的一致性程度。

一般情況下，普遍持這種觀點，即測量標準的重復性是測量標準不確定的一個重要分量，它是獲得測量結果時，各種隨機影響因素耦合疊加的綜合反映，它包括了測量標準、配套儀器、環境條件、技術人員等因素隨機影響。由于測量標準所復現的標準值也在合理區間內存在著分散性。所以理論上來講當一段重復性測量周期內，測量標準所復現的量值分布在一個合理的區間內時，認為該測量標準技術狀態穩定，反之則認對該測量標準技術狀態存在疑問。

本文中所采納的異常值檢驗就是基于對測量標準的測量重復性的數據統計分析進而實現對測量標準的技術狀態質量控制的一種方法。以每一個重復測量周期的重復測量樣本集合為基礎，當由于新引入的測量樣本引起了整個重復測量樣本集合的實驗室測量重復性發生可疑變化時，就可以通過異常值檢驗的方法來分析判斷所獲取的測量樣本是否存在異常值。在對測量標準進行重復性測量時，當排除了測量人員和環境條件等導致異常值出現的原因時，那么就可以通過異常值的檢驗和處理來實現對測量標準技術狀態的質量控制。