數(shù)學(xué)思想方法在二次函數(shù)中的應(yīng)用

莊梅芳

(福建省晉江市南灣中學(xué) 福建 晉江 362200)

1.分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

分類討論思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在解決二次函數(shù)問題時經(jīng)常用到。許多二次函數(shù)問題，往往在相同的題設(shè)下，會產(chǎn)生幾種不同的結(jié)果，這就需要借助于分類討論思想按照同一標(biāo)準(zhǔn)，確定分類對象，把可能存在的一切情況都列舉出來，一一加以研究，然后進(jìn)行歸納，合并，綜合得出結(jié)論。

例1，已知拋物線y=ax2+bx+c(a>0)，它與x軸交于點(diǎn)A和B，與y軸交于點(diǎn)C，試求S△AoC+S△BoC

解：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)則x1，x2就是二次方程ax2+bx+c=0的兩個實根。

而OA=|x1|,OB=|x2|, 又由x=0時，y=c得OC=|c|

已知a>0，下面就c的不同符號分別計算S△AoC+S△BOC的值

(1)當(dāng)c=0時，顯然有S△AoC+S△B0C=0

(2)當(dāng)c>0時，x1和x2同號

i)若x1和x2都為正數(shù)，則b<0，

ii)若x1和x2都為負(fù)數(shù)，則b>0

(3)當(dāng)c<0時，x1和x2異號，不防設(shè)x1>0，x2<0,則

OC=|c|=-c

2.轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

轉(zhuǎn)化思想是一種最基本的數(shù)學(xué)思想，是解決二次函數(shù)問題不可忽視的方法。二次函數(shù)的問題一般都是綜合性很強(qiáng)的題目，如何把復(fù)雜的問題向簡單的問題轉(zhuǎn)化，是解題成敗的關(guān)鍵所在。轉(zhuǎn)化思想在二次函數(shù)中運(yùn)用的思想一般是把生活、生產(chǎn)、科研中的實際問題通過建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題；把幾何問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題；把位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系；把非常規(guī)問題轉(zhuǎn)化為常規(guī)問題，最終實現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化，從而使問題得到解決。

(1)若導(dǎo)彈運(yùn)行軌道為一拋物線，求該拋物線的解析式;

(2)說明按(1)中軌道運(yùn)行的導(dǎo)彈能否擊中目標(biāo)C的理由。

解：(1)設(shè)導(dǎo)彈運(yùn)行軌道的拋物線解析式為y=ax2+bx+c，由題意知，這條拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為E(4，3)

(2)設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(xo，yo)，過C作CB⊥0X垂足為B,在Rt△OBC和Rt△ABC中，OA=1，

3.方程思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

方程思想是一種廣泛應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想，是解決二次函數(shù)問題的一個有力工具。在二次函數(shù)問題中，或多或少存在著等量關(guān)系，我們經(jīng)常把所研究的二次函數(shù)問題中的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程或方程組等數(shù)學(xué)模型，通過解方程或方程組，實觀未知向已知的轉(zhuǎn)化。可見，方程思想方法，對解決二次函數(shù)問題，作用十分重大。如待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，求解幾何圖形中的函數(shù)關(guān)系，求二次函數(shù)與其他圖形的交點(diǎn)問題等，都離不開方程思想。

例3已知二次函數(shù)y=x2+bx+a(b<0)的圖像與y軸交于點(diǎn)P(0,3)，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，且AB=2

(1)求bc的值，并寫出這個函數(shù)的解析式；

(2)過P點(diǎn)作x軸的平行線，求這條平行線被二次函數(shù)圖像所截得的線段的長；

(3)求△PAB的面積；

解：(1)∵P(0,3)在圖像上，將其坐標(biāo)值代入y=x2+ bx+c(b

即得c=3設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，則x1、x2是方程x2+bx+3=0的根。

∵AB=2,即|x1-x2|

∵b<0, ∴ b=-4

∴所求的解析式為y=x2-4x+3

(2)設(shè)過P且平行于x軸的直線與圖像的另一交點(diǎn)為Q，則P、Q的坐標(biāo)就是下面方程組的解：

4.數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合思想是一種典型的數(shù)學(xué)思想，是研究二次函數(shù)問題離不開的思想方法。數(shù)學(xué)是以現(xiàn)實世界中的空間形式與數(shù)量關(guān)系為研究對象，即數(shù)學(xué)是研究數(shù)、形及其關(guān)系的一門科學(xué)。在建立直角坐標(biāo)系后，平面上的點(diǎn)就可以用坐標(biāo)來表示，進(jìn)一步又可建立平面上曲線與方程間的聯(lián)系，這就使數(shù)與形結(jié)合起來，二次函數(shù)問題正是這種思想的充分體現(xiàn)，使數(shù)和形的結(jié)合達(dá)到了一個新的境地。在二次函數(shù)問題中，我們通過圖形形象直觀地表示出抽象的數(shù)量關(guān)系，即利用形來研究數(shù)，另一方面，通過數(shù)量計算準(zhǔn)確地表示出圖形的性質(zhì)即利用數(shù)來研究形。數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，是驗證二次函數(shù)解題能力和創(chuàng)造性的有力根據(jù)。