SCARA并聯機構剛度和動力學分析

朱 偉 郭 倩 馬致遠 沈惠平 吳廣磊

(1.常州大學機械工程學院， 常州 213016; 2.大連理工大學機械工程學院， 大連 116024)

0 引言

SCARA型并聯機構具有三平移一轉動運動輸出特征，由于具有速度快、精度高、操作性能好等優點，受到國內外學者的廣泛關注，該型機械手對于完成裝配、包裝、抓拿及碼垛等高速重復性工作具有獨特優勢[1]。

文獻[2-5]先后發明了一類由4條R-(SS)2支鏈(其中R表示轉動副，S表示球副)和雙平臺組成的SCARA型高速并聯機械手，分別稱H4、I4、Par4和Heli4。黃田等[6]在H4機構的基礎上，設計了一種支鏈為2-(2-R(SS)2)R的三平移一轉動并聯機構，用于生產線中高速搬運，稱為Cross—IV型機器人。劉辛軍等[7]采用4條相同支鏈R-(SRS)2-R，得到一種單平臺SCARA并聯機構——X4，并通過尺寸性能優化，實現了較大角度的轉動輸出。沈惠平等[8-9]基于方位特征(POC)理論和機構結構降耦原理，設計了一類非對稱低耦合度能實現三平移一轉動(3T1R)的SCARA并聯操作手機構。

機構剛度是描述并聯機構抵抗變形能力的重要指標，分析方法有虛擬關節法和虛擬彈簧法。如文獻[10-11]根據虛擬關節法，建立支鏈末端剛度矩陣，進而建立機構的近似整機靜剛度解析模型。這種方法應用較廣泛，在關節中添加虛擬關節，極大簡化了模型，但沒有考慮機構空間六自由度的剛度耦合。WU等[12]利用虛擬彈簧方法，對Ragnar和Quattro機器人進行剛度建模，通過對機構末端的笛卡爾剛度矩陣無量綱化,得到機構轉動和移動兩類剛度指標。這種方法可對支鏈單獨建模，從而可較方便地得到機構的整體剛度性能。

本文提出一種可實現SCARA運動的四自由度高速并聯機器人機構，由2條R(SRS)2R支鏈和2條RSS支鏈構成。分析機構的拓撲結構特征及運動學位置反解，根據虛擬彈簧法建立機構的笛卡爾剛度矩陣，引入2個無量綱化性能指標，分別評價機構的平移剛度和旋轉剛度性能，并分析機構定位移和定姿態下的剛度分布；根據虛功原理方法建立機構的動力學方程，通過仿真驗證動力學模型的正確性。

1 機構運動學分析

1.1 機構描述

機構的CAD模型如圖1所示，由動平臺、靜平臺及4條支鏈組成，原理圖如圖2所示。機構第1、2兩支鏈為R(SRS)2R混合支鏈，記為HSOC{-Ri1-(Saj,Rej,Sbj,Scj,Rfj,Sdj)-Ri2-}(i=1,2；j=1,2)。(Saj,Rej,Sbj,Scj,Rfj,Sdj)為平行四邊形閉合回路，記為(SRS)2，其中兩轉動副Rej和Rfj的軸線平行且垂直于(Saj,Sbj,Scj,Sdj)所在的平面。轉動副Ri1軸線平行于球鉸Saj和Sdj的連線，轉動副Ri2軸線垂直于球鉸Sbj和Scj的連線，且Ri1⊥Ri2。第3、4兩支鏈為RSS支鏈，記為：SOC{-Ri1-Si2-Si3-}(i=3,4)。轉動副R12、R22，球副S33、S43分別位于動平臺上，R12和R22的軸線平行，且垂直于動平臺平面；轉動副R11、R21、R31、R41的軸線分別位于靜平臺的4條邊，且R11∥R31，R21∥R41。

圖2 機構原理圖Fig.2 Mechanism schematic diagram

1.2 機構拓撲結構

兩類支鏈末端構件的POC集[13]分別為

則機構動平臺的POC集為

第1、2支鏈(i=1,2)構成的第1個獨立回路的獨立位移方程數ξL1為

由第1、2支鏈組成子并聯機構和第3支鏈(i=3)構成的第2個獨立回路的獨立位移方程數ξL2為

由第1、2、3支鏈組成子并聯機構和第4支鏈(i=4)構成的獨立回路的獨立位移方程數ξL3為

則機構自由度為

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副自由度

ξLj——第j個獨立回路的獨立位移方程數

1.3 位置反解

為了便于分析，將機構模型等效為圖3所示的結構簡圖。假設動、定平臺均為正方形，在定平臺的中心O點建立靜笛卡爾坐標系Oxyz，x軸沿OA1方向，y軸沿OA2方向。設4條支鏈的主動臂AiCi與定平臺夾角為θi(i=1,2,3,4)，l1、l2、l3、e分別為主動臂AiCi、從動臂CiDi、CiBi、短桿DiBi的長度，OAi的長度為R，PBi的長度為r，在動平臺的中心P點建立動笛卡爾坐標系Px′y′z′，x′軸沿PB1方向，y′軸沿PB2方向。

圖3 結構簡圖Fig.3 Structure diagram

P點指向Bi點的矢量為

(1)

O點指向Ai點的矢量為

(2)

Di點指向Bi點的矢量為

(3)

主動臂AiCi的單位矢量為

(4)

其中

式中s為正弦函數，c為余弦函數。

由圖3可知，各支鏈滿足閉環矢量方程

p+si=ri+l1ui+l2vi+ei(i=1,2)

(5)

p+si=ri+l1ui+l3wi(i=3,4)

(6)

式中vi——從動臂CiDi的單位矢量

wi——從動臂CiBi的單位矢量

由式(5)和式(6)可得

(7)

(8)

根據式(7)、(8)，整理可得

Eisθi+Ficθi+Gi=0

(9)

其中E1=E2=2l1(p+si-ri-ei)T

E3=E4=2l1(p+si-ri)T
F1=F2=2l1(p+si-ri-ei)T(cαi+sαi)
F3=F4=2l1(p+si-ri)T(cαi+sαi)

依據機構裝配模型，由式(9)解得機構的位置反解為

(10)

2 剛度分析

2.1 彈性靜力學模型

并聯機構的動、靜平臺相比支鏈連桿，具有更好的抗變形能力，故將其動、靜平臺視為純剛體，機構整體剛度只和驅動及連桿剛度有關。根據虛擬彈簧法[14]理論，桿件的彈性變形可通過桿件末端的n-DOF(n表示自由度數)的虛擬彈簧表示，而桿件變形與受力的映射矩陣可由Euler-Bernoulli梁理論[15]得到。本機構由R-S-S無約束支鏈和R-(SRS)2-R混合支鏈組成，分別建立支鏈的虛擬剛度模型。

2.1.1R-S-S支鏈剛度模型

采用虛擬彈簧法建立R-S-S支鏈彈性靜力學模型，如圖4所示。

圖4 R-S-S支鏈彈性靜力學模型Fig.4 Elastic static model of R-S-S branch

圖4中，1-DOF虛擬彈簧表示驅動關節R的伺服剛度，6-DOF虛擬彈簧描述機構中主動臂AiCi和從動臂CiBi(i=3,4)在空間中的彈性形變量，可分別用(Δd1,Δd2,…,Δd6)和(Δd7,Δd8，…,Δd12)表示，3-DOF的被動關節是考慮靜力作用下球鉸發生運動對支鏈剛度的影響，微小變形量可用(Δp1,Δp2,Δp3)表示。

在R-S-S支鏈中建立圖5所示的局部笛卡爾坐標系C3x1y1z1和B3x2y2z2，x1軸沿A3C3方向；x2軸沿C3B3方向；y1軸和y2軸平行于中心為A3的轉動副軸線方向，由于該支鏈直接連接動平臺與靜平臺，故末端點直接選擇動坐標系原點P。

圖5 R-S-S支鏈局部坐標系標注Fig.5 Local coordinate system labeling of R-S-S branch

利用螺旋理論，建立桿件變形和被動關節運動到末端的變形量ΔT，可表示為

(11)

(12)

式中 Δtr、Δtt——支鏈末端轉動和移動變形量

bi、ci——Bi、Ci在靜坐標系的位置矢量

ui、ai、gi、wi、hi——x1、y1、z1、x2、z2局部坐標軸的方向矢量

其中

空間中單一連桿采用6×6的剛度矩陣來描述其剛度特性，記作kij，由Euler-Bernoulli[15]梁理論可得矩陣中每一項為

式中l——桿件長度

A——桿件截面積

Ix——桿件截面極慣性矩

Iy、Iz——截面慣性矩

E——材料彈性模量

G——材料切變模量

由文獻[11]可知，靜力平衡方程為

(13)

式中O3×3——零矩陣

由式(13)可得，支鏈剛度矩陣Ki為

(14)

(15)

圖6 平行四邊形結構Fig.6 Parallelogram structure

2.1.2R-(SRS)2-R支鏈剛度模型

對于包含平行四邊形結構的復雜支鏈，必須先將平行四邊形結構作為獨立結構進行剛度建模。根據文獻[11]將(SRS)2結構運動特性簡化為R-Pa-R(Pa為平行四邊形)結構，并建立彈性靜力學模型，如圖6所示。

將兩短邊桿視作剛體，兩長邊桿視作懸臂梁，根據式(11)～(15)，可得在局部坐標系中參考點D1處的剛度矩陣為

式中d——長度(圖6)q——被動副轉角

由于平行四邊形末端點D1可繞局部坐標系Y(垂直于X、Z軸)軸轉動，故沒有沿Z軸方向的線性剛度，該支鏈末端以5自由度虛擬彈簧來描述其剛度特性。建立R-(SRS)2-R支鏈的彈性靜力學模型如圖7a所示。

圖7 R-(SRS)2-R支鏈剛度建模Fig.7 Stiffness modeling of R-(SRS)2-R branch

在第1條支鏈中建立圖7b所示的局部笛卡爾坐標系C1x4y4z4、D1x5y5z5、B1x6y6z6，其中x4軸沿A1C1方向，x5軸沿C1D1方向，x6軸沿D1B1方向，y4軸和y6軸平行于中心為A1的轉動副軸線方向，z5軸垂直于x5軸和y5軸形成的平面。

根據式(14)得到Ki(i=1,2)，由式(15)得到機構整體的剛度矩陣K。

2.2 剛度性能指標

將笛卡爾剛度K矩陣拆分為量綱一致的子矩陣

(16)

式中Kmr、Kmt、Kfr、Kft——量綱一致的3×3子矩陣

用無量綱化參數的方法[16]對剛度矩陣式(16)進行分析，將外力f和力矩m分開表示[17]，即

(17)

其中

式中 Δγ——轉動變形量 Δε——移動變形量

β=Λβpβ

(18)

pβ——與向量β等維的系數向量

在不同矩陣下，用無量綱參數將Δγ、Δε表示為

(19)

λγ、λε、ωγ、ωε——對應的無量綱向量

將式(19)代入式(17)得

(20)

其中Gm=[KmrΛγKmtΛε]λ=[λγλε]

Gf=[KfrΩγKftΩε]ω=[ωγωε]

式中Gm、Gf——m、f的量綱一致的系數矩陣

用系數矩陣Gm和Gf的歐幾里得范數定義機構在不同位姿下剛度的性能指標κm(N·m)和κf(N)，即

(21)

由歐幾里得范數的性質可知，指標越大，則機構的剛度性能越好。

2.3 數值算例和分析

機構相關參數如表1所示。

表1 機構參數Tab.1 Mechanism parameters

為了分析3T1R機構在不同位姿下的剛度性能，分別對動平臺在z方向的不同高度和不同轉角φ進行分析。

根據機構運動逆解方程(10)，從機構的可達工作空間中取底面半徑為100 mm，高為90 mm的圓柱體的工作空間，如圖8所示。設定動平臺轉角φ=0°，通過對機構在工作空間中圓柱頂部(z=-100 mm)和底部(z=-230 mm)進行剛度分析。

圖8 工作空間Fig.8 Workspace

計算κm、κf指標值如圖9、10所示。由圖9可知，動平臺在定姿態φ=0°時，機構的剛度性能指標值圖譜在靜坐標系關于y=x對稱，這一點符合機構結構的部分對稱特征。機構剛度指標的峰值都出現在對稱軸兩側，并且在頂部和底部不同高度上，峰值分布差異較大。另外R-(SRS)2-R支鏈的剛度明顯大于R-S-S支鏈，這是由于平行四邊形回路具有較大的剛度特性。

圖9 不同高度下的κm等高線Fig.9 Contours at different heights when φ=0°

圖10 不同高度下的κf等高線Fig.10 Contours at different heights at φ=0°

對比圖9a、9b可以發現，在抵抗扭轉變形的能力上，工作空間頂部均優于底部，頂部峰值靠近復雜支鏈R-(SRS)2-R一側，而在工作空間底部，剛度峰值接近簡單支鏈RSS；在抵抗力變形的能力上，如圖10所示，頂部圖10a和底部圖10b的剛度性能仍存在明顯差異，越接近高度頂部時，機構的抗變形能力越優，當在頂部時，抵抗扭轉變形和抵抗力矩變形的性能分布相似。

當動平臺轉角φ=±45°時，機構底部在工作空間中剛度性能的變化如圖11所示?？梢?，當轉角φ=±45°時，兩種姿態下機構的剛度性能分布也沿y=x軸線對稱。圖形四周的剛度特性變化較大，中心易出現極值。比較指標κm和κf的變化趨勢，可以發現在底部時，機構扭轉剛度和線剛度的變化趨勢相似。

圖11 φ=±45°時剛度指標等高線Fig.11 Stiffness index contour line at φ=±45°

3 動力學分析

3.1 動平臺速度、加速度分析

(22)

(23)

對式(5)、(6)兩邊同時對時間求導，得

(24)

(25)

ki=r(-s(φ+αi)，c(φ+αi)，0)Τ

式(24)、(25)兩邊分別點乘vi、wi，可得

(26)

(27)

由式(26)和式(27)得到機構速度方程為

(28)

式中J——機構雅可比矩陣

對式(28)求一階導，整理可得機構加速度方程為

(29)

(30)

式中E3——3階單位矩陣

C——四階方陣，且矩陣元素C44=1，其余都為0

3.2 支鏈及質心點速度、角速度分析

設機構第i支鏈上Ai點的坐標系為{Ai}，Ci點的坐標系為{Ci}，Di點的坐標系為{Di}；Bi點的坐標系為{Bi}，如圖5和圖7所示。上述各坐標系{O}到{Ai}的旋轉變換矩陣記為AiRO，以此類推。

在{Ai}坐標系下，主動臂AiCi質心速度為

(31)

其中

則質心Ci速度為

Aivci=2Aivi1

(32)

在{Ai}坐標系下，因為短桿DiBi(i=3,4)與動平臺保持垂直，且動平臺繞著其法線方向轉動，因此點Di、Bi的速度和DiBi桿的質心點速度相等，即

Aivbi=Aivdi=Aivi3(i=1,2)

(33)

由式(31)和式(33)可得從動臂CiDi質心點速度為

(34)

其中

在坐標系{Ai}下，點Bi的速度為

(35)

其中

JBi=AiROJ-1+Jsi

由式(31)和式(33)得從動臂CiBi質心點速度為

(36)

其中

對式(26)兩邊同時叉乘Aivi,可得從動臂CiDi(i=1,2)在坐標系{Ai}的角速度為

(37)

式中Ui——ui2的反對稱矩陣

對式(27)兩邊同時叉乘Aivi，可得從動臂CiBi(i=3,4)在{Ai}坐標系的角速度為

(38)

3.3 支鏈質心加速度、角加速度分析

在坐標系{Ai}下，對式(24)兩邊關于時間求一階導，并兩邊同時叉乘Aivi，化簡得從動臂CiDi(i=1,2)的角加速度為

(39)

在坐標系{Ai}下，對式(25)兩邊關于時間求一階導，并兩邊同時叉乘Aivi，化簡得從動臂CiBi(i=3,4)的角加速度為

(40)

對式(34)和式(36)求一階導，可得從動臂CiDi(i=1,2)和CiBi(i=3,4)質心加速度為

(41)

3.4 動力學方程

3.5 動力學模型

(1)動平臺受力分析

忽略和動平臺固連的DiBi桿，不考慮摩擦力的影響，根據達朗貝爾原理可得動平臺質心處的慣性力為

(42)

(2)主動臂、從動臂受力分析

在坐標系{Ai}下，主動臂慣性力和慣性力矩可表示為

(43)

同理，從動臂慣性力和慣性力矩可表示為

(44)

(45)

式中AiQi1、AiQi2——主動臂和從動臂在坐標系{Ai}下的慣性力

AiTi1、AiTi2——主動臂和從動臂在坐標系{Ai}下的慣性力矩

在不同坐標系下，慣性張量矩陣的變換是矩陣的二次型變換[18]，即

式中AiIi1——主動臂AiCi在坐標系{Ai}下的慣性張量矩陣

Ii1——主動臂AiCi在坐標系{Ci}下的慣性張量矩陣

AiIi2——從動臂CiDi和CiBi在坐標系{Ai}下的慣性張量矩陣

Ii2——從動臂CiDi和CiBi在{Di}(i=1,2)、{Bi}(i=3,4)坐標系下的慣性張量矩陣

(3)動力學模型

根據虛功原理[19-20]，機構動力學方程為

(46)

其中

式中M——驅動力矩矢量

δX、δθ——動平臺質心處的虛位移和虛轉角位移矢量

δiXi1、δiXi2——驅動臂、從動臂在坐標系{Ai}下的虛位移矢量

δiθi1、δiθi2——驅動臂、從動臂在坐標系{Ai}下的虛轉角位移矢量

(47)

將式(47)代入式(46)，整理得

(48)

3.6 算例仿真

(49)

根據動力學模型式(48)可計算出4條主動臂的輸入轉矩，將計算所得的驅動力和ADAMS模型仿真所得的進行比較，如圖12所示。由圖12可得，兩者結果相差不大，表明動力學方程式(48)的正確性。仿真誤差主要是由于ADAMS模型中沒有考慮機構重力的影響造成的，且慣性參數設置誤差和質量參數的估算誤差也是原因之一。

圖12 仿真結果對比Fig.12 Comparison of simulation results

4 結論

(1)運用虛擬彈簧法對3T1R機構進行了剛度建模，得到了機構笛卡爾空間的剛度矩陣。針對機構的轉動和移動剛度性能指標，分別分析了機構在不同工作平面的剛度特性，結果表明，動平臺越往上，工作高度越高，剛度性能越好，且剛度性能指標值分布關于y=x軸對稱，符合機構結構特點。

(2)推導了機構動平臺和各支鏈的速度、加速度和受力方程；基于虛功原理建立了機構的動力學方程，并通過ADAMS模型仿真結果進行了對比，驗證了動力學模型的正確性。