基于現代資產組合理論的組合證券概率準則投資模型建構

馮建坤 徐丹倩 劉靜

【摘要】現代資產組合理論的運用為證券投資決策提供了重要判斷依據，在證券收益水平的分析過程中可以運用概率論中的相關是數學知識，將其與股票證券的收益分析有效結合起來，利用非線性規劃數學問題研究證券收益分析，建立模型并利用線性方式進行求解。本文介紹了現代組合證券理論，分析分別研究了允許賣空以及不允許賣空兩種情況下的數學模型，基于統計理論與軟件分析證券投資收益問題，并選擇上海股市中的5支分屬于不同行業的股票進行案例分析，為證券市場投資中證券收益提供了數學層面的專業數據分析，為證券市場投資提供了一定的參考意義。

【關鍵詞】現代資產組合理論?組合證券概率準則?投資模型

證券投資屬于一種高風險投資，對投資者的分析判斷能力以及預測能力具有較高要求，證券投資過程中對風險的評估是其中的重要內容之一，在做出證券投資決策過程中要求能夠對風險進行有效計量與科學評估。目前在證券投資過程中現代資產組合理論的運用具有重要作用。現代資產組合理論從資產優化組合的角度分析了證券投資的優化組合，能夠為證券投資組合提供專業的投資支持依據，能夠以此為證券投資過程中的風險進行專業化、科學化、系統化的評估運用，為證券金融提供專業的數學分析工具，優化風險分析，并為其提供專業化的分析模型，在金融投資分析過程中將概率論運用到組合投資之中，對組合投資建立專業化分析工具與分析模型，并對模型進行求解。能夠通過數學方式計算出證券投資風險中的收益，以此為投資風險進行正確評估與測量。投資決策模型的建立運用了概率論與投資組合理論，針對證券投資建立數學分析方式與分析模型，以此優化證券投資。

1現代組合證券理論

現代組合證券理論即ModernPortfolioTheory，是1952年由美國經濟學家哈里·馬柯威茨（HarryMarkowitz）在美國的《金融雜志》上發表的具有歷史意義的論文《證券組合的選擇》中提出的，研究的是收益不確定的情況下應當采取何種投資行為。現代組合證券理論目的就是要提供一種方法，當投資者面臨多種投資選擇機會時，用這種方法來確定自己最優的證券組合選擇，在收益水平一定的前提下減少風險或提高收益。現代組合證券理論運用中對均值—方差模型的計算具有較大的工作量，組合證券投資模型的運用能夠有效彌補這一不足，運用了最大概率準則，運用了數學與概率論統計方式。運用傳統非線性優化的方式進行模型分析，并要求能夠滿足線性分析的必要條件，但是這種轉化的運用在對模型的推導與意義的解釋上存在差異。因此本文在研究過程中分析了數學知識運用到證券投資組合分析中的應用情況，以此優化證券投資，建立最大概率準則模型，并從數學研究角度進行求解，將模型解與組合證券投資聯系起來，為證券投資提供專業數學層面上的指導。

2允許賣空的最大概率準則模型

在允許賣空的最大概率準則模型分析過程中選擇n種證券進行研究，第i種證券持有期收益率隨機變量運用ξ1表示，Eξi=ri，假設ξ=（ξ1，ξ2…，ξn）T，有ξ～N（μ，V），組合證券的收益率可以表示如下：

3不允許賣空的最大概率準則模型

在證券交易市場中如果不允許賣空，表示為（xi≥0，i=1，2，…，n），那么在收益率水平R≤mini{ri}中可求出模型的最優解i≥0，i=1，2，…，n。在這一情況下不允許賣空的最大概率準則模型可以表示為：

由于在條件xi≥0，i=1，…，n，x≠0中隱藏著eTx>0這一條件，因此在上述模型中增加了非負約束性條件。在模型中表達了如下涵義，在不允許賣空、允許包含無風險資產以及理性投資的條件下，組合證券得收益最佳的概率最大。樹型算法的運用為概率值的求解提供了求解方式。

冗余證券即xC中投資金額數值為0的證券，表示的是將不允許賣空的最優組合證券投資結構排除在外的證券類型的組合。模型的最優解xB≥0情況下，能夠得出xC=xB，在xB不滿足非負性情況下，可得，xB中必有分量為負值。因此可得投資金額相對應的證券之中最少有一種證券屬于冗余證券。

分析過程中模型的最優解可以表示為XB=（xB1，xB2，…，xBn），此時模型（C）的最優解為XC=（xC1，xC2，…，xCn）T。此時考慮到了非負約束條件，因此可得在XB≥0情況下，能夠得出XC=XB。

分析中，將xC為投資比例向量的組合證券類型表示為策略C。對其進行分析可得，在策略B中進行賣空操作情況下，策略C在投資過程中會在考慮到的投資組合選擇中至少排除出一種投資組合，同時在被策略B賣空的證券組合類型之中也至少具有一種證券組合是被排除在外的。對此進行分析能夠得出以下結論。

明確一種概念，即局部組合與全組合，局部組合指的是投資者選中的部分證券實現的不允許賣空的最優組合，全組合指的是投資者選中的全部證券實現的不允許賣空的最優組合。在全組合中剔除若干種冗余證券而構成局部組合，此時局部組合中的冗余證券在全組合類型中同樣表示為冗余組合，將其反過來進行表示，同樣可得全組合中的冗余證券在局部組合類型中同樣也表示為冗余組合。

運用定理以及引理可得模型（C）的樹型算法。首先從根節點即n種證券作為出發點進行研究，運用定理求解出其中的最優解，在沒有負分量的情況下不再進行分支。如果其中存在k個負分量，那么從原來的組合之中存在著k種可能刪除一種和負分量對應的證券，在根結點下第一層的k個結點中具有k個具有n-1種證券的組合。按照根結點的做法把第一層中含有負分量的結點構成構成了第二層，對第二層每個含有負分量的結點進行依次擴展下去，直至第二層、第三層、第四層……一直到不再具有可以分支的結點，由此這些分結點共同構成了一個樹形的結構。模型的解即目標值最小的葉子結點數值。

4基于β值組合證券投資的最大概率準則模型

為了精確計算證券投資中各項收益情況，可以運用最大概率準則模型，精確估算V的n（n+1）/2個參數，在具有較大規模的證券投資量時，具有較大的計算量，難以對其進行充分估算。為了便于計算，可以運用資產定價模型（CAPM）與證券收益的市場模型，化簡證券協方差陣，由此可以導出β值組合證券投資決策模型。投資者在進行證券投資分析過程中運用β值組合證券投資決策模型所需要計算量較少，選擇的參數較少，風險參數選擇上具有更強的合理性。此時在計算過程中能夠導出最大概率下的β值組合證券投資模型，促進分析。

由此第i種風險證券的市場模型可以表示如下。

在這一模型中投資比例向量以XB表示，投資者可以選擇的系統風險參數以β0表示，無風險資產的投資額以，B-eTx表示，b=（β1，β2，…，βn）T，隨機向量（ε1，ε2，…，εn）T的協方差陣用Vn表示，，ηi=R-αi-βirM（i=1，2，…，n）。從上一模型中能夠看到，為了使組合證券收益率比收益率水平要高，至少不比其低，要求在組合證券中至少滿足組合證券的β值βp=β0的條件。

證券在經營過程中面臨多種非系統性風險，主要包括規模風險、部門風險、行業風險以及經營風險等，這些風險主要作用于個別證券之上，而不是對全部證券作用。為此投資者在進行選擇過程中可以選擇多種不同的證券進行優化重組，使得不同證券之間的非系統性風險之間不相關，以此來規避風險。表達為COV（εi，εj）=0（i≠j，i，j=1，2，…，n），分析中可以假設模型中的Vn屬于對角正定矩陣，表示為Vn=diag{σ21，σ22，…，σ2n}。

在滿足一定的條件之下，模型具有最優解，能夠實現收益率水平R的最大概率值。Vn為對角陣的前提條件之下，利用系統風險模型可以確定β0的取值范圍，并得出相應的模型。求解出模型的最優解。投資者在投資過程中可以結合自身的意愿設定出相應的β0的數值，并使其滿足定理的結論，模型的求解過程較為負責，同時難以具有相容的解。此時、在求解時可以充分結合Kuhn-Tucker來得出最優解的得出需要滿足的條件。

考慮到非負約束，在不允許賣空的條件下β值最大概率準則模型可以表示為：

在這一求解過程中可以運用數型算法來得出目標值與最優解。

5案例分析（略）

6結束語

證券投資過程中的重要考慮因素之一即是對風險的評估與判斷，基于現代資產組合理論的運用，在資產分析過程中引入了概率論等專業數學分析工具，以此優化證券投資風險分析，這在證券風險分析過程中具有顯著效果，對此建立了系統化而科學化的分析工具。具體投資活動的開展具有很強的主觀性，決策者在投資過程中會受到主觀層面的影響，在對證券投資風險判斷以及期望收益上下限的分析過程中具有一定的主觀性，而本文研究中建立的投資組合決策模型為證券投資建立了專業數學化層面的分析工具與分析方式，本文研究中運用概率準則得出組合投資模型，運用數學方式進行求解，對證券市場上投資者決策具有重要的理論參考意義，得出模型的最優解，能夠在一定程度上彌補證券投資的風險，通過本文研究可見，目前我國證券市場運營中依然具有較大的風險，證券投資者應當謹慎投資。

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