對接已有經驗 趨向數理認知

沈俊

【關鍵詞】射線;經驗;數理認知

【中圖分類號】G623.5 ?【文獻標志碼】A ?【文章編號】1005-6009（2019）65-0054-03

【案例呈現】

射線的主要幾何屬性有三個——直的、有一個端點、無限長。由于缺乏相應的生活積累和數理經驗，小學生認識射線需要解決這樣一些問題：射線和線段有什么關聯？生活中存在射線嗎？“無限長”是什么樣子的？怎樣畫出一條射線？……概而言之：怎樣以有限來表達無限？為了突破前述認知難點，教師執教時通常會將手電筒、激光筆、激光測距儀等器具引入課堂，讓學生在觀察、想象、對話、描摹等活動中明晰射線的幾何特征。但是，由于師生之間的知識、經驗、信息不對稱，常常會出現課堂互懟的情況，令人深思。

[案例1]神器未必“神”

師：老師今天帶了一個“神器”來上課，想知道是什么嗎？

生：想！

師：看，這是一支激光筆。老師打開激光筆，投在黑板上，你看到了什么？

生：一個很亮很亮的點。

師：對！激光筆的發射端和這個亮點之間可以看作一條線段。

為了使學生看清楚，用噴水壺灑水，呈現出那根“神奇”的線，引出線段，并借機復習線段的基本特征。

師：請同學們閉上眼睛，發揮想象力——這根神奇的線具有超強的穿透力，它穿過墻壁，越出學校，透過云層，射向遙遠的天空。這條線段形成了一根新的線，只有起點，沒有終點。大家能想象出來嗎？

生1：老師，這根線是有終點的。因為不管怎么發射，它始終會落在一個地方。

生2：是啊，再怎么遙遠的天邊總是會有東西啊。這個點也許會落在一棵樹上、一座山上、另一個星球上……

生3：對，那它還是一條線段啊。

教師不知如何應答，只能尷尬地轉移話題。

點和線在幾何體系里是不證自明的公理性定義，理解這些概念，需要學習者聯系現實世界進行感悟。任何一種幾何圖形在生活中都不是絕對的存在，它們皆是原型的提煉與概括。如線段的生活原型有毛線、筷子、鉛筆、直尺和桌子的邊沿等，但射線的生活原型稀缺，學生嚴重缺乏這方面的體驗，即使用激光筆等工具來輔助教學，也難以讓學習者克服想象中的束縛——激光筆的能量再強，另一端的點總是會射在某個物體上。不得不說，理解射線無限長的特征的確是教學難點，在材料呈現順序或語言引導方向上稍有不注意，教學便會陷入泥淖難以自拔。

[案例2]想象來助力

蘇教版四上第77頁提供的學習“射線、直線和線段”的主題圖如圖1所示，它為學習射線提供了很好的情境。“射燈”情境既對接學生既有的生活經驗，又為他們理解射線的無限長提供了資源。“射出的光線”與射線有一些相關的屬性：射燈的光源可以看作射線的一個端點;射燈射出去的光線也是直的;射燈射出的光線射向遙遠的天空，容易使學習者建立“無限”的語詞概念，便于他們發揮數學的空間想象。筆者基于教材而教，借助數形結合引導學生充分發揮想象力，較好地突破了“認識射線”的教學難點，教學流程如下：

（1）呈現主題圖，讓學生說說這些線的共同點，指明這些線可以看作射線。

（2）利用激光筆溝通射線與線段的聯系和區別：激光筆射出的光線和射燈射出的光線都可以看作射線;用黑板擋住激光筆的光線，黑板上的光點與發射端之間的線可看作一條線段;比較線段和射線的異同。

（3）數形結合，深化認知：先畫一條10厘米長的線段，標注好0和10;緊接著再畫一條10厘米長的線段，兩條線段共20厘米長;再畫一條，該畫多長呢？一直像這樣畫下去畫得完嗎？

數直線由“0”開始，數是無限的，線也可以不斷延伸下去，這就是射線。

（4）嘗試畫射線，比較幾種畫法的異同，體會無限長，學習以有限表示無限。

教材霓虹燈（射燈）主題情境圖處于一個開闊的空間，且齊齊射向浩渺的天空，自然而然使人產生無限的空間想象。四年級學生具備初步的抽象能力，可以通過觀察、想象、討論等方式來體會射線的無限長。教師借助數形結合，巧妙地將正整數的無限性和射線一端無限延長交融在一起，深化了學生對射線的認知。教材文本是眾多智者的智慧結晶，也是最重要的活動資源和教學依據，用心揣摩，為我所用，往往能取得較好的教學效果。

[案例3]“角”里有乾坤

學生在正式進行科學的學習之前便對事物形成了自己的認知，有些認知會促進學生進行新的學習，為正遷移;有些會阻礙學生建構新知，為負遷移。那么，要“認識射線”，在學生原有的認知中存在促進他們正遷移的數理經驗嗎？學生在二年級時初步認識了角，可以嘗試從“角”出發，打通線段、射線和直線的關系，突破射線無限長的認知難點。

（1）比較長短。畫一條長10厘米的線段，再畫一條長20厘米的線段。提問：哪條線段長？線段有長有短，是可測量的，由此引出線段的特征。

（2）比較大小。教師分別以剛才畫好的長10厘米和20厘米的線段為邊長，畫出兩個正方形（如圖3）。提問：哪個正方形大一些？為什么？為下面比較角的大小做好沖突孕伏。

（3）觀察比較。用三角尺畫兩個30°的角（如圖4）。提問：這兩個角誰大誰小？為什么？

生1：一眼就看出來了，右邊的角大一些。

生2：不同意！這兩個角都是沿同一把三角尺的同一個角畫出來的，肯定一樣大。

師：可是我就是覺得右邊的角大啊！

生3：二年級就學過了，角的大小與邊叉開的大小有關，與邊的長短無關。我們用三角尺去量一量就知道了。

教師將左邊的角的兩條邊延長至夸張的地步，提問：現在哪個角大？為什么？引導學生得出角的兩條邊可以無限延長。

（4）引出射線。和線段相比，這條線有什么不同？數學上，我們把這種線叫作射線。射線有什么特征？

（5）畫一條射線。在不同的畫法中深化學生對射線的認知。

（6）創造直線。數學是講究推理的，咱們回顧線段和射線的聯系，你還想創造一條什么樣的線？這條線有什么特征？直線呼之欲出。

為了說明一個定義或概念，我們可以借助多種直觀手段形象描摹，一步步完成概括和抽象。如果學生已有知識經驗儲備中有相關的數理認知，我們也用不著舍近求遠地去聯系生活。二年級初步認識了角，學生在操作“活動角”的過程中積累了相關活動經驗和數理認知，角的大小與邊的長短沒有關系，即角的兩條邊縮短或延長都不影響角的大小。射線的教學對接這樣的經驗，更具數學味了。同時，“以有限表達無限”的學習難點也隨之得以突破。既然線段和面積都可以測量，那角的大小該如何測量呢？后續的學習水到渠成，更有延續性和整體性。

【問題思考】

英國哲學家羅素說：“教師的工作基本上屬于表演業，他要用戲劇的和故事的方式，將知識和智能呈現出來。這種工作，要有很多時間做預備、做鍛煉。教學的現場乃是開花結果的現場，許多辛苦，都是在教室外面經歷的。”是的，教學現場是不可復制與再造的。教師只有在深度備課、增強底蘊、積累機智上多下苦功，才能在教學現場駕輕就熟、游刃有余。

1.講求意義聯結。教材編撰有標準的約束和編者的考量，又因螺旋上升、小步子前行等知識學習策略要求，知識往往被切分得比較瑣碎，這就需要教師想方設法將教材和兒童在教學現場和日常生活中聯結起來，因為新學習若建立在熟悉材料的基礎上，學生則更容易找到意義聯結，學習便更容易真實發生。正如美國心理學家奧蘇伯爾強調的“先行組織者”理論：“只有當新的材料與長時記憶中相關概念形成系統的聯系，學習才是有意義的，也就是說，新材料擴展、修改或詳細闡述了記憶中已有的知識。” [1]上述三個認識射線的案例，都意在聯結學習者舊有的知識和經驗，尋找新知識的生發點。

2.著意經驗卷入。兒童對世界的經驗可分為兩種：一是物理經驗;二是邏輯數學經驗。[2]兩種經驗相輔相成，構成了兒童完整的經驗世界。如兒童看到一支激光筆，發現它的色彩、形狀、開關、能發射光線等方面固有的屬性，即是兒童對激光筆建立了物理經驗。邏輯數學經驗則不同——教師引導學生將激光筆射出的光線與射線的特征聯系起來，展開辨析比較、空間想象和邏輯推理，則是協助學生建立某種邏輯數學相關的經驗。皮亞杰認為，學習就是原有的經驗獲得平衡、打破平衡、重新協調的過程。好的教學便是要邀請學習者親自對物體施加動作或運算，從而獲得體驗、改造經驗、轉識成智，使新知識成為其本身智慧結構的一部分。

3.重視數理抽象。教材往往省略了一些概念與定義的誕生細節，使“火熱的思考”變成形式化的演繹推理。教師需要深入揣摩教材，審視文本背后的數學本質，精心設計教學流程，帶領兒童去經歷、體驗、發現和再創造，從而使他們獲得豁然開朗的頓悟。同時，我們也得明確“數學教育的一個主要目標是幫助學生學會思維，而不是提高動手的能力乃至獲得相關的活動經驗”[3]。高度的數理抽象可以避免知識的碎片化，促進其整體建構。當我們還在糾結使用激光筆等工具的時機時，案例3無疑給了我們很好的啟迪。射線的特征原本已孕伏在二年級的“初步認識角”里了，可以順承其數理經驗，自然而然地引出來，而不需要我們苦心孤詣地對接其生活經驗了。總之，教師設計教學，在充分了解學生和深度研讀教材的基礎上，需要進一步瞻前顧后、梳理體系、順承結構、揣摩細節，讓學生在學習中增加思考產出，生發新的視角。

【參考文獻】

[1]申克.學習理論[M].何一希，錢冬梅，古海波，譯.南京：江蘇教育出版社，2012：211.

[2]科普蘭.兒童怎樣學習數學——皮亞杰研究的教育含義[M].李其維，康清鑣，譯.上海：上海教育出版社，1985：29.

[3]鄭毓信.數學教學與學會思維——“教數學、想數學、學數學”系列之四[J].小學數學教師，2015（6）：4.

（作者單位：南京市竹山小學）