變參考軌跡下的魯棒迭代學習模型預測控制

馬樂樂 劉向杰

現代過程工業中存在著一類間歇過程[1],如半導體加工、制藥、注塑、發酵等.間歇過程通常具有重復特性,且對跟蹤精度要求較高,是典型的非連續操作.其控制任務是在每個生產批次內跟蹤給定的參考軌跡[2].迭代學習控制(Iterative learning control,ILC)能夠利用過去批次的信息進行優化學習,不斷調整控制輸入軌跡,逐步提高跟蹤性能,實現對參考軌跡的高精度跟蹤,因此被廣泛應用于間歇過程控制中[3].但是由于ILC 是典型的開環控制,因此不能保證控制系統的時域穩定性,難以處理實時干擾.模型預測控制(Model predictive control,MPC)作為先進過程控制技術[4],不僅廣泛應用于工業過程的優化控制[5?6],同時也成功應用于軌跡跟蹤控制[7].它通過預測未來的系統狀態及輸出,進行滾動時域優化,能及時處理實時干擾,保證時域跟蹤性能及閉環系統穩定性,彌補ILC 的不足.迭代學習模型預測控制(Model predictive iterative learning control,MPILC)結合了MPC 與ILC 的優點,因此成為控制間歇過程的有效方法.

早期的MPILC 算法大多基于輸入輸出模型,如受控自回歸積分滑動平均(CARIMA)模型[8?9],脈沖響應模型[10].而近年來基于狀態空間模型的MPILC 算法研究受到了更多關注,研究對象包括線性定常狀態空間模型[11]、帶干擾項的狀態空間模型[12]以及含不確定性的狀態空間模型[13].其控制器設計通常需要進行狀態增廣以構造二維誤差模型.為加強控制器魯棒性,很多學者在此基礎上提出控制器結構改進算法,如構造分段優化[14],改善學習機制[15].

典型的間歇過程通常具有強非線性,而現有的MPILC 算法大都是針對線性系統構造的.文獻[14?15]將原非線性系統在工作點簡單線性化,文獻[10]沿參考軌跡進行線性化.由線性化帶來的模型失配問題會在一定程度上影響時域跟蹤性能以及迭代學習速度,這在實際生產上將造成原料浪費以及經濟效率下降.近年來許多學者在MPILC 研究中通過各種建模手段來近似非線性系統,包括T-S 模糊建模[16]、神經網絡建模[17]、數據驅動建模[18]等.但是這些方法需要大量過程數據的支持,以及極其復雜的調參、學習過程才能建立較為精確的模型.

線性參變(Linear parameter varying,LPV)蘊含技術是處理復雜非線性的有效手段,已被廣泛應用于非線性模型預測中[19].原非線性系統在工作區間的動態特性可以包含在由LPV 系統構成的多胞里.因此,只要保證基于LPV 模型的控制系統的穩定,就能夠保證非線性控制系統的穩定[20].由于LPV 模型中存在的參數不確定性,其控制求解一般通過線性矩陣不等式(Linear matrix inequality,LMI)約束下的目標函數優化來實現.

間歇過程的參考軌跡會由于不同的產品規格、生產效率以及外在干擾而發生改變.比如半導體制造中的蝕刻系統必須跟蹤不同的操作軌跡來生產不同規格的晶片[21].而一旦參考軌跡發生變化,經典迭代預測控制需要重新進行初始化,并經歷多個批次的學習來跟蹤新軌跡[10],適應能力較差.近年來許多學者提出改進的自適應ILC 算法來解決變參考軌跡跟蹤控制問題.文獻[21]針對隨機系統變軌跡跟蹤問題,提出兩種自適應ILC 策略,一是在控制器設計中選擇當前批次的輸出軌跡與下一批次的參考軌跡的差值作為新的狀態變量,另一種是在每一個批次的末尾利用卡爾曼濾波器重新進行系統辨識;文獻[22]針對離散非線性系統,設計模糊自適應ILC 控制器,通過不斷更新模糊參數來近似變參考軌跡下的系統動態;文獻[23]設計基于數據驅動的自適應ILC 控制器,引入未來批次的參考軌跡作為反饋,并將過去批次的參考軌跡作為前饋以實現對變參考軌跡的跟蹤.這些基于ILC 的控制策略通常要求已知所有采樣時刻上的參考軌跡變化量,并且由于算法內缺少預測環節導致了跟蹤性能和學習效率的下降.針對該問題,可將參考軌跡變化量視為迭代域中存在的有界擾動,構造限制參考軌跡變化量對系統控制性能影響的H∞約束.這樣只要在每個采樣時刻的優化中滿足此H∞約束,就可有效抑制變參考軌跡帶來的跟蹤誤差波動,且只需已知下一采樣時刻的參考軌跡變化量.H∞控制[24]可與MPILC 算法有效結合,利用預測控制的滾動時域優化提高時域跟蹤性能,從而加快學習速度.

本文提出一種基于LPV 模型的魯棒迭代學習模型預測控制(Robust model predictive iterative learning control,RMPILC)算法,實現間歇過程對變參考軌跡的跟蹤.采用LPV 模型描述非線性系統動態特性,并通過狀態增廣建立二維誤差模型.為保證變參考軌跡下的跟蹤性能,引入H∞約束條件.將變軌跡跟蹤問題轉化為LMI 約束下的凸優化問題.通過針對數值例子以及CSTR 系統的仿真驗證了所提出算法的有效性.

1 模型推導

1.1 非線性系統的LPV 蘊含

假設非線性間歇系統由下式表示:

其中,x ∈Rnx是狀態變量,u ∈Rnu是控制輸入,y ∈Rny為輸出變量.t ∈(0,N],N為批次長度.

假設對任意x(t)、u(t)(t ∈(0,N])存在矩陣

滿足

那么,非線性系統(1)的動態特性可由LPV 系統描述:

即任何關于LPV 系統(2)的性質適用于非線性系統(1).

間歇過程的LPV 建模問題已經得到了廣泛關注[25].其中,選擇合適的參數至關重要.對于簡單非線性系統,可以通過直接計算非線性項的上下界確定.若被控系統的非線性比較復雜,可以基于系統平衡點,采用數學變換的方法獲得合適的表達式[26].

1.2 增廣迭代誤差模型

建立相鄰迭代次序之間的動態關系,得到

定義輸出參考軌跡為,那么跟蹤誤差可以定義為

將式(4)代入式(3),得到沿迭代軸的增廣迭代誤差狀態空間模型:

1.3 二維增廣誤差模型

迭代次序跟蹤誤差的變化量?ek(t).則在第k次迭代中,為了將跟蹤誤差ek(t)控制到0,的參考軌跡應為

由第1.2 節可知,系統(5)的輸出為相鄰

定義:

聯立式(5)和式(6),得到同時包含迭代域和時域動態特性的二維增廣誤差模型

注1.Rk(t+1)包含了參考軌跡變化量,為已知有界時變量,與狀態變量、控制輸入變量均無關,可以看作迭代域上的有界外部干擾.

注2.模型(7)與典型的二維Rosser 模型[27]不同,它將在同一個狀態方程中建立時域與迭代域上動態關系,其中都是同時包含時域及迭代域信息的二維變量.

因此,系統(1)的軌跡跟蹤問題可以轉化為系統(7)的零點跟蹤問題.其控制任務包括:

2)限制參考軌跡變化量Rk(t+1)對控制性能的影響;

3)防止控制輸入波動過大.

2 RMPILC 算法

2.1 問題描述

根據控制任務1)和3),結合魯棒H∞控制,定義控制性能指標zk(t)∈Rnx+2ny+nu

mi(i=1,2,···,nx+2ny),nj(j=1,2,···,nu)為可調權重系數.顯然,目標函數可表述為zk(t)的二次型:

為實現控制任務2),引入H∞范數

設置H∞性能指標

其中,ε>0 為給定的H∞性能上界.不等式(11)表示參考軌跡變化量Rk(t+1)對跟蹤性能指標zk(t)的影響被限制在由ε定義的范圍內.

因此,滿足以上三項控制任務的優化問題可以描述為:

滿足式(8)和式(12).

2.2 魯棒穩定狀態反饋控制律

定義狀態反饋控制律

為表達簡潔,推導過程的書寫省略θ.考慮二次型函數可得

將式(14)從i=0 累加至i=∞,可得

聯立式(16)和(17),目標函數(9)有以下形式

引理1.當且僅當Φ<0,能夠滿足H∞性能指標(11).

證明.在式(14)兩端同時加上可得

若Φ<0,則有

式(22)與H∞約束(12)等價.

在Φ<0 的條件下,可以得到目標函數的上界

根據式 (7)中Rk(t+1)的定義可知,為有界值.設

聯立式(22)和(23),得

滿足

引理2.若優化問題(25)在當前時刻可行,當滿足不等式

時,由RMPILC 算法控制的閉環系統是魯棒穩定的.

證明.聯立式(14)及條件(26),可得

將式(28)從i=0 到i=p ?1(p ∈[1,∞))進行累加,可得

聯立式(23)、(26)和(28),可以推出

因此,對于任意未來時刻t+p,其狀態屬于不變集??xk:

注3.若參考輸出保持不變,即Rk(t+1)=0,那么RMPILC 控制下的閉環系統是Lyapunov 意義下穩定的.

證明.根據式(27),若Rk(t+1)=0,能推出

2.3 LMI 求解

為獲得滿足在魯棒穩定條件(26)下優化問題(25)的最優解,將其轉化為線性矩陣不等式的形式.

引理3.滿足約束(25b)、(25c)及魯棒穩定條件(26)的狀態反饋矩陣Fk(t)可通過Fk(t)=Y Q?1計算得到,其中Q=γP?1,Y為下述LMI約束下優化問題的解:

對所有q=1,2,···,l,滿足

證明.采用Schur 補定理[28],式(25c)等價于

分別左乘右乘diag{P?1,I,I,I,I},得

將P=γQ?1,Fk(t)=Y Q?1代入式(33),式(31b)可以被推出.

注意式(26)為式(25b)的充分條件,也就是說只需要要滿足式(26),式(25b)也能被滿足.將P=γQ?1代入式(27),利用Schur 補定理,即可得到矩陣不等式(31c).

根據優化得到的Fk(t),通過下式計算控制輸入uk(t):

其中,?uk(t ?1)、uk?1(t)為當前批次當前時刻的已知量.等于當前狀態

2.4 控制輸入約束

間歇過程中需要考慮的控制輸入約束包括uk(t)、?uk(t)和δuk(t),通常表述為

推導uk(t),?uk(t),δuk(t)與δ?uk(t)的關系

從式(36)可以看出,uk(t),?uk(t),δuk(t)都可以表示成δ?uk(t)與其他已知量的和的形式.將其表述為以下通式

其中,uc是被約束量,um是已知量,H是用于選擇δ?uk(t)中某一控制輸入的向量.

式(35)中的約束條件可以統一表述為

其中,μ代表約束上界.

結合式(37),對不等式(38)進行放縮

因此控制輸入約束下的魯棒迭代預測控制優化問題可以描述為:

滿足式(31b),式(31c),式(40).

3 收斂性分析

MPILC 控制系統的收斂性指的是當迭代次數趨近于無窮時,跟蹤誤差收斂到零,即對于任意t ∈[0,N],當k →∞時,ek(t)→0.文獻[29]在xk?1(N)=xk(0)的前提下,證明了經典MPILC算法的收斂性.而近年研究中,設計附加條件使成為保證收斂性更為常用的方法[9,11].在本文提出的RMPILC 算法中,基于包含參考軌跡變化量的LPV 模型(7),可以轉化為有關增廣狀態T的約束,將其加入到實時優化中,就可以保證原非線性系統在RMPILC控制下沿迭代軸的收斂性.

首先,提出以下符合實際過程情況的假設:

1)優化問題(31)在初始時刻可行;

2)對于t ∈[0,N ?1],存在滿足約束式(31b),式(31c),式(40)的控制序列uk(t)令跟蹤誤差ek(t+1)等于0;

3)在t時刻,已知t+1 時刻的參考軌跡變化量.

定理1.若在每個采樣時刻的優化中,對于q=1,2,···,l,j=1,2,···,ny滿足LMI 約束

證明.在當前時刻t,為保證下一時刻的跟蹤誤差沿迭代軸收斂,即-,應滿足以下不等式條件:

其中,j=1,2,···,ny.

根據式(5)有

聯立式(5)和(6)得

聯立式(43)、(44)和(45)可以得到

為不等式(43)的充分條件.(46)可以轉化為系統(7)的狀態約束:

4 仿真研究

本節設計兩組仿真實驗以驗證所提出的RMPILC 在處理變軌跡跟蹤問題方面的有效性.仿真1 針對非線性數值系統,側重于對算法的理論分析和驗證;仿真2 針對典型的間歇CSTR 系統,側重于對RMPILC 的實際應用效果檢驗.為進行對比,同時設計經典MPILC 算法的仿真實驗,其預測模型為:

gi,j ∈Rny(i)×nu(j)為j時刻施加的單位脈沖信號輸入在i時刻的脈沖響應矩陣.通常矩陣G可以通過沿參考軌跡進行線性化得到.經典MPILC 算法的目標函數為:

其中,Q1和R1為權重系數矩陣.

4.1 仿真1

考慮如下非線性數值系統

控制輸入約束為

根據式(7),可以得到

仿真設置兩種參考軌跡如圖1 所示.第1 批次到第4 批次的目標參考軌跡為yr1;從第5 批次開始,目標參考軌跡變為yr2.仿真時間為10 分鐘,采樣時間為0.025 分鐘.批次長度為400.第1 批次的控制輸入為零向量.H∞性能上界ε設為10.初始狀態為x(0)=[0,0]T.收斂條件(42)作為每次優化的約束,保證跟蹤誤差的收斂性,其中a=0.9.權重矩陣取為

圖1 參考軌跡yr1, yr2Fig.1 The reference trajectories yr1, yr2

在每個采樣時刻,通過求解約束(42)下的LMI優化問題(41)得到變量Y,Q,繼而通過式Fk(t)=Y Q?1計算當前時刻的狀態反饋矩陣Fk(t).仿真分析中選擇參考軌跡轉折點第61 個采樣時刻來比較變軌跡前后的狀態反饋矩陣變化,其結果如表1 所示.圖2 和3 為RMPILC 的跟蹤曲線及對應的控制輸入曲線.

在經典MPILC 仿真中,設置Q1=I400×400,R1=0.00015I20×20,m=20.其跟蹤曲線如圖4 所示.

表1 Fk(t)優化值Table 1 Optimized feedback control law

圖2 RMPILC 控制下參考軌跡跟蹤曲線Fig.2 The tracking trajectories under RMPILC

圖3 RMPILC 控制下控制輸入軌跡Fig.3 The control input trajectory under RMPILC

圖4 MPILC 控制下參考軌跡跟蹤曲線Fig.4 The tracking trajectories under MPILC

比較圖2 和圖4,在參考軌跡保持不變的第1～第4 批次,RMPILC 從第2 批次就能夠精確跟蹤yr1,而MPILC 直到第4 批次才能較好地跟蹤yr1.這是因為RMPILC 采用了LPV 模型來描述原系統的非線性特性,避免出現模型失配問題,從而獲得了更快的收斂速度;在參考軌跡變為yr2的第5～第8 批次,RMPILC 能快速跟蹤yr2,而MPILC難以及時適應變參考軌跡,需要經過幾次迭代才能達到較好的跟蹤效果.因而,RMPILC 采用H∞控制有效抑制了變參考軌跡的影響.

圖5 為RMPILC 和經典MPILC 控制下各批次跟蹤誤差均方差(Main square error,MSE)的變化情況.RMPILC 控制下MSE 沿迭代軸收斂到零,且在參考軌跡變化的第5 批次,沒有明顯波動,保持收斂趨勢,而MPILC 控制下MSE 出現較大波動.這證明了RMPILC 在變參考軌跡下能夠保證跟蹤誤差沿迭代軸收斂.

圖5 MPILC 和RMPILC 控制下MSE 隨批次變化情況Fig.5 The MSE along batches under MPILC and RMPILC

圖6 RMPILC 控制下第5 批次當ε=5.8、ε=10 和ε=15 時的跟蹤曲線Fig.6 The tracking trajectories in the fifth batch when ε=5.8,10,15

RMPILC 的控制性能與參考軌跡變化程度以及H∞性能上界ε的大小有較大關系.由式(11)可知,ε越小越有利于增強抗干擾能力.而式(26)表明ε減小將導致可行域的縮小.當可行域縮小到不能包含當前狀態時,優化問題將無解.因此,在選擇ε時,要根據實際需要權衡變軌跡適應能力和可行性問題.對于系統(52)能夠保證可行性的最小ε值為5.8.圖6 為參考軌跡發生變化的第5 批次中,RMPILC 在ε=5.8、ε=10 和ε=15 時的跟蹤情況,表明隨著ε增大,RMPILC 跟蹤性能下降.圖7 為x(0)=[0.01,0.05]T,ε分別取值5.8、10 和15時不變集??xk={x|xTQ?1x ≤1}在原狀態空間的象集.由于不變集的大小能夠反映可行域的大小,因此圖7 表明初始可行域隨ε減小而縮小.

圖7 RMPILC 控制下ε=5.8、ε=10 和ε=15 時的不變集 在原狀態空間的象集Fig.7 The image set of when ε=5.8,10,15

4.2 仿真2:CSTR 系統

連續攪拌反應釜系統中進行恒定體積、放熱、不可逆化學反應A →B.其控制任務為重復跟蹤給定的反應溫度軌跡,且生成物B的產品質量很大程度依賴于跟蹤精度.因此,采用MPILC 方法控制CSTR 系統能適應其生產過程的重復性,并且提高產品質量.

CSTR 系統具有以下非線性微分方程描述[31]:

其中,反應溫度T(K)為被控量,冷卻劑溫度Tc(K)為控制輸入.其他參數的物理意義和取值見文獻[31].

在間歇反應器控制中,反應溫度T的參考軌跡可能會由于調整進料濃度CA、啟動速度、批次時間長度等發生變化.為了驗證RMPILC 在適應頻繁變化的參考軌跡的能力,在仿真中設置三種不同的參考軌跡,如圖8 所示,包括常規軌跡yr1、慢啟動軌跡yr2以及快啟動軌跡yr3.yr3中T上升較快,有利于提高產量;yr2中T上升較慢,后續反應更加平穩,易于控制.在實際生產中可以根據不同的生產需求選擇不同的參考軌跡.

根據文獻[32]介紹的替換法,非線性系統(54)可以表述為如式(2)的LPV 模型,過程如下:

首先,計算系統(54)的平衡點:

圖8 CSTR 反應溫度T 參考軌跡Fig.8 The reference trajectories of CSTR reaction temperature T

選擇LPV 模型(2)中的參數θ為

那么系統(55)可以由如式(2)的LPV 模型描述,其多胞形的各頂點為

仿真基于LPV 模型設計控制律,并將優化得到的控制輸入施加都原非線性系統(54)中.

控制輸入Tc的約束如下:

仿真時間為12 分鐘(min),采樣時間為0.03分鐘(min),批次長度為400.設置初始參考軌跡為yr1,在第6 批次、第7 批次分別變為yr2、yr3,在第8 批次變回yr1.批次1 的初始控制輸入為幅度為330 K 的階躍信號.初始狀態為[CA,T]T=[0.7 mol/L,340 K]T.H∞性能上界選為ε=20.權重系數矩陣選取同仿真1.同樣地,收斂條件(42)在每次優化中作為約束(a=0.9),狀態反饋矩陣Fk(t)由Fk(t)=Y Q?1計算得到,各批次Fk(200)的優化值如表2 所示.

表2 Fk(t)優化值Table 2 Optimized feedback control law

在經典MPILC 仿真中,設置m=10,Q1=I400×400,R1=I10×10.圖9 和-圖11為RMPILC 和MPILC 控制下的跟蹤曲線.相應的RMPILC 控制輸入如圖10 所示.可以看出RMPILC 從第2 批次開始就可以準確跟蹤yr1,且在批次6～8 能夠及時跟蹤變化軌跡.而MPILC 直至批次5 才能跟蹤上yr1,且在批次6～8 不能適應參考軌跡變化.因此與經典MPILC 相比,基于LPV 模型的RMPILC 快速跟蹤變參考軌跡,有利于提高CSTR 的生產效率.

圖9 RMPILC 控制下反應溫度T 參考軌跡跟蹤曲線Fig.9 The tracking trajectories for T under RMPILC control

圖10 RMPILC 控制下控制輸入Tc 軌跡Fig.10 The trajectories of control input Tc under RMPILC

圖12 為變軌跡下RMPILC 和MPILC 仿真中MSE 隨迭代次數的變化情況.顯然,變參考軌跡下RMPILC 的跟蹤誤差沿迭代軸收斂,而MPILC 的跟蹤誤差發生較大波動,會導致產品質量下降.

圖11 MPILC 控制下反應溫度跟蹤曲線Fig.11 The tracking trajectories for T under MPILC

圖12 RMPILC、MPILC 控制下MSE 隨批次變化情況Fig.12 The MSE along batches under RMPILC and MPILC

5 結束語

本文針對具有重復特性的非線性間歇過程,提出一種能跟蹤變參考軌跡的魯棒迭代學習模型預測控制.控制器設計基于包含被控系統非線性動態特性的LPV 模型,將LPV 模型進行狀態增廣建立二維迭代誤差模型.在魯棒H∞預測控制框架下,設置H∞性能上界,并據此構建LMI 約束下的目標函數優化問題.分析RMPILC 系統的魯棒穩定性和迭代收斂性,將其充分條件作為約束加入每個采樣時刻的優化中.仿真結果驗證了RMPILC 在快速跟蹤變參考軌跡方面的優勢,表明采用基于LPV 模型的RMPILC 算法能顯著減少迭代學習次數,提高生產效率.

在實際生產中,間歇過程的參考軌跡可能會發生劇烈變化.若要保證魯棒穩定條件和迭代收斂條件,可能會導致優化問題不可行,或是可行域太小以至達不到期望的跟蹤精度.因此,未來的研究方向趨向于構建軟約束RMPILC 算法.在優化中引入松弛變量來放松約束,允許控制輸入在短時間內超出約束以達到擴大可行域的目的[33].基于軟約束的RMPILC 算法將能夠適應劇烈變化的參考軌跡,提高間歇過程控制的魯棒性.