基于H運算的動態網絡重要節點識別方法

邵豪 王倫文 鄧健

摘 要：傳統K-shell網絡重要節點識別方法迭代時需網絡全局拓撲信息，而且難以應用于動態網絡。為解決該問題，提出基于鄰域優先異步H運算的動態網絡重要節點識別方法。首先，證明該算法收斂于Ks（K-shell）值，其次以各節點的度作為h指數初始值;然后，通過節點h指數排序和鄰居節點h指數變化選擇更新節點，同時針對動態網絡節點的增減數目和最大度，修改h指數適應拓撲變化，直至算法收斂并找到重要節點。仿真實驗結果表明，該方法通過鄰居節點局部信息且以更高效率找到動態網絡的重要節點，收斂時間在靜態網絡中較隨機選擇更新節點法與變化鄰居選點法分別下降77.4%和28.3%，在網絡拓撲變化后分別下降84.3%和38.8%。

關鍵詞：動態網絡;重要節點;h指數;H運算;K-shell;鄰居節點

中圖分類號：TP393

文獻標志碼：A

Important node identification method for dynamic networks based on H operation

SHAO Hao1， WANG Lunwen1*， DENG Jian2

1.Institute of Electronic Countermeasure， National University of Defense Technology， Hefei Anhui 230037， China;

2.Second Department， Shijiazhuang Campus， Army Engineering University， Shijiazhuang Hebei 050003， China

Abstract：

Focused on the issue that the traditional important node identification method for K-shell networks needs global topology during iteration and cannot be used in dynamic networks， a neighborhood priority asynchronous H operation based an important node identification method for dynamic networks based on neighborhood priority asynchronous H operation was proposed. Firstly， the algorithm was proved to converge to Ks （K-shell） value; then the degree of each node was taken as the initial value of h-index， and the nodes to be updated were selected by the h-index ranking of the node and the h-index change of the neighbor nodes; meanwhile the h-index was modified to adapt to the topology change according to the number change and maximum degree of the dynamic network nodes， finally the algorithm converged to the Ks and the important nodes were found. The simulation results show that the algorithm can find important nodes effectively by local information of neighbor nodes with less convergence time. Compared with the random selection algorithm and the neighborhood-variety selection algorithm， the convergence time of the proposed algorithm decreases by 77.4% and 28.3% respectively in static networks and 84.3% and 38.8% respectively in dynamic networks.

Key words：

dynamic network; important node; h-index; H operation; K-shell; neighbor node

0 引言

隨著科技的發展，各種網絡滲透到人們日常生活中，網絡在國民經濟、軍事斗爭等領域發揮越來越大的作用。網絡中不同的節點在結構和功能上發揮的作用截然不同[1]，因此識別網絡中的重要節點具有十分重要意義。比如在社交網絡中，幾個重要用戶的微博信息能迅速傳遍整個網絡[2];戰場無線通信網中重要節點傳輸重要情報，為作戰指揮提供信息保障[3];對重要節點的保護有助于防范網絡病毒攻擊[4]。

傳統的網絡重要節點識別方法通常利用節點的某一屬性，例如將圖論中的度[5]、最短路徑[6]、最小生成樹[7]等概念與現實問題背景相結合。近年來提出了一些新的識別方法，例如文獻[8]考慮社交網絡節點交互特征，將節點權值作為阻尼系數提高PageRank算法的識別精度;文獻[9]通過拓撲特征和動力學特性的集成，提出動態敏感中心，計算包含傳播速率和傳播時間且終止于目標節點的加權步行總數，以此作為節點重要性標準。文獻[10]提出利用節點鄰居的拓撲重疊系數來衡量節點層間關系，從而判斷時序網絡的重要節點。文獻[11]通過考慮節點的近鄰數目和聚類系數[12]而提出了聚類等級的概念。一般來說，在相同的鄰居數目下，節點的聚類系數越大，其影響力越小。此外，韓忠明等[13]通過研究節點間的三角結構與鄰居節點的數目作為節點影響力度量指標。Kitsak等[14]提出K-shell方法，通過依次剝離度數不符合條件的節點來給予其Ks（K-shell）值，以此來尋找網絡的核心，且Ks值越高的節點，信息傳播能力越強[15]。但是，以上方法的缺點是運算時都需要網絡全局的拓撲信息，不適用于動態網絡以及分布計算。

為解決這一問題，呂琳媛在《Nature Communications》提出并證明網絡節點的h指數經H運算迭代收斂于Ks值[16]，且H運算的迭代使用節點鄰居局部信息，支持異步運算。在原始算法中，節點的選擇策略是隨機的。因此隨著算法的進行，已經收斂的h指數對應的節點個數增加，隨機選擇到已收斂節點的概率也會增加，導致一次迭代后h指數不發生改變，造成本次迭代浪費[16]。隨機選擇節點的方式使算法在后期收

斂速度和性能明顯下降，為解決這一問題，Lee等[17] 考慮H運算使用節點鄰居局部信息，提出變化鄰居選點法，優先選擇鄰居h指數變化的節點進行迭代，從而提高原始算法的后期收斂速度。但這兩種算法都沒有考慮值的固有屬性以及度大小對算法性能的影響。此外，兩種算法只考慮靜態網絡，未考慮網絡節點鏈接發生變化的情況。

針對上述存在問題，本文提出一種基于H運算的動態網絡重要節點識別方法。該算法改進隨機選擇更新節點法[16]與變化鄰居選點法[17]的節點選擇策略，以及網絡變化后h指數的更新策略。通過鄰域優先與h指數排序的方法選擇更新節點，根據網絡節點變化數目修改h指數迭代值進行運算。通過理論與實驗分別證明，本文算法與原始算法都收斂至Ks值，以判斷節點重要性，且收斂速度大大加快。

1 相關知識

1.1 網絡表示

G（N，M）表示由N個節點、M條鏈路組成的無權向網絡。鄰接矩陣A來表示網絡節點連接，矩陣元素aij定義如下：

aij=0， 節點i， j之間無鏈接

1，節點i， j有間無鏈接 （1）

節點度ki是節點i的鄰居節點的個數，即ki=∑Nj=1aij。

1.2 基于K-shell 的重要節點識別方法

K-shell的思想[14]如下：剔除網絡中孤立節點后，先刪除網絡中度為1的節點及其邊，之后刪除新產生的度為1的節點及其邊。重復上述操作，直到網絡中不存在度為1的節點，將所有被刪除的節點賦予1-shell，即Ks值為1。隨后重復刪除度為2的節點，得到Ks值為2的節點。依此類推，直到網絡中所有節點都被賦予Ks值。節點Ks值越高，表示節點位于網絡更核心位置，重要性越高[15]。

1.3 h指數與H算法

h-index[18]作為一個混合量化指標，其目的是量化科研人員作為獨立個體的研究成果。其原始定義是，一名科研人員的h-index等于h，意味著其總共發表的N篇論文中，有h篇論文被引用至少h次。目前，h-index也被用于社交網絡用戶影響力的排名[19]等領域。

與原始定義類似，本文將h-index定義擴展至網絡拓撲，以量化節點在其網絡中的重要性。定義H運算如下：

g=H（g1，g2，…，gj）（2）

其中g1，g2，…，gj是任意j個非負整數。式（2）表示在這j個非負整數中，至少有g個整數的值不小于g，g取最大值。例如，在集合（2，2，3，3，4，5）中，至少有3個數的值不小于3命題成立，4個數的值不小于4命題不成立，因此，H（2，2，3，3，4，5）=3。此外，即節點的Ks值，等于其鄰居節點Ks值經過H運算后的值[16]。

針對網絡G（N，M），每個節點的h指數初始值是該節點的度，即h（0）i=ki。依據前文定義的H運算，更新網絡中節點i的h指數：

hi=H（hi1，hi2，…，hiki）（3）

其中，hi1，hi2，…，hiki為節點i的ki個鄰居的h指數。

當網絡的H運算迭代收斂時，每個節點的h指數都到達穩態不發生變化。文獻[16]證明節點h指數到達穩態時等于Ks值。在式（3）迭代中，h指數值沒有時間上標，也就是說 hi1，hi2，…，hiki的值可能位于不同時間階段，有的更新已數十次，有的從未更新，這樣的異步運算為動態網絡與分布計算邁出了重要一步。

2 基于H運算的重要節點識別方法

在實際中，節點的移動或者狀態變化會導致拓撲結構的變化。通過獲取新的網絡拓撲結構，重新初始化相關數值，重新進行H算法迭代獲得節點的Ks值以判斷節點重要性是可行的，但這并不適合動態網絡的實際。本文考慮修改節點在變化前最新的h指數值以適應拓撲變化，避免重新迭代，并保證收斂時間不大于重新迭代的收斂時間。

2.1 動態網絡算法收斂性定理及證明

原始算法中h指數的收斂過程，是從節點度收斂至Ks值的單調非遞增過程[16]。在本文中，動態網絡結構變化后，節點h指數初始值不是節點的度，而是一個更接近于收斂值Ks的數，從而提高算法效率。以下給出定理并證明在本方法中，初始值雖然不是度，但依舊與原始算法一樣可以收斂至Ks值。

定理1 在網絡G（N，M）中，任意節點i的h指數的初始值h（0）i 不小于Ksi，通過H運算，h（∞）i=Ksi。

證明 首先，證明任意節點i在任意時刻t，皆滿足h（t）i≥Ksi。采用反證法，因為節點h指數初始值h（0）i=Ksi。隨著迭代的進行，若存在某時刻t1，此時刻首次出現某一個節點j∈N，h（t1）j

其次，證明網絡中度最小的節點滿足h（∞）i=Ksi。對于ki值最小的節點i，依據K-shell性質，ki=Ksi;根據H運算定義，h（∞）i≤ki，之前已用反證法證明h（∞）i≥Ksi。綜合得：Ksi≤h（∞）i≤ki=Ksi，故h（∞）i=Ksi。

然后，類似K-shell，將網絡中度最小的節點i剝離后，證明剩下所有節點中，度最小的節點j依舊滿足h（∞）j=Ksj。此時，節點j的情況分兩種情況討論：

① 節點j不與已剝離節點相連，與前文證明類似，可得kj=Ksj，h（∞）j≤kj ;綜合得h（∞）j=Ksj。

② 節點j與已剝離節點相連。據K-shell的性質，Ksj≥Ksi。h（∞）j=H（h（∞）j1，h（∞）j2，…，h（∞）jkj），在節點的kj個鄰居中，已被的剝離節點個數為kj-Ksj，且滿足h（∞）i=Ksi≤Ksj;剩余未剝離節點的個數為Ksj，且滿足h（∞）≥Ksj，h（∞）j=H（h（∞）j1，h（∞）j2，…，h（∞）jkj）=Ksj。

重復剝離步驟，同理，網絡中最小度節點仍滿足h（∞）=Ks。最終所有節點被剝離，皆滿足h（∞）i=Ksi。定理1得證。

通過理論證明，本文算法與文獻[16]、文獻[17]的收斂值相同，即Ks值。1.2節介紹節點Ks值作為網絡核心位置的評判標準，基于相同的評價指標，本文算法與原始算法相比，收斂后得到相同的網絡重要節點排序，有效地判斷網絡節點的重要性。

2.2 動態網絡重要節點識別策略與速度改進

定理1證明，只要保證節點的h指數初始值大于其Ks值，H運算也能夠收斂至Ks值。本文把網絡節點的變化，等效為同時增加m個節點和減少n個節點。網絡拓撲由010101010變化為011101110，可視作為網絡減少1個度為1的節點，增加1個度為2的節點。假設變化前算法最新迭代至H=（h1，h2，…，hv）。以下，分別討論增加m個節點和減少n個節點時，如何改變h指數，保證定理1成立。

1）網絡中增加m個節點。根據K-shell性質，每新增1個節點，其余節點的Ks值至多加1。因此，將hi+m和k（new）i的較小值作為節點變化后的h指數初始值，算法依舊能收斂至Ks值。

2）網絡中減少n個節點。因為節點與鏈路的減少，可能會導致節點的Ks值降低。節點的h指數的更新迭代依舊是非增的過程，依據定理1，算法依舊能收斂至Ks值。因此只需刪去減少節點的h指數，其余之前更新到的h指數都可以繼續使用。

網絡變化后，原算法只能用新的網絡拓撲結構重新迭代，hi初始值是k（new）i。本算法的hi初始值是hi+m和k（new）i的較小值，不大于k（new）i，從而提高算法速度并適應網絡動態變化。

此外，為提升收斂速度，本文算法中，節點的選擇策略不再是隨機的，選擇策略考慮以下兩個方面：

1）一個節點的h指數更新過程，是從ki到Ks值的單調非增變化過程（ki≥hi≥Ksi）[16]。實際上，節點的度越高，其H運算后其變化的概率越大，這對于度分布不均勻的網絡更加明顯。例如，如圖1的星型拓撲結構中，中心節點的度為8，周圍節點的度為1。優先選擇度大的中心節點進行H運算，其值能迅速收斂至Ks值;若優先選擇度小的周圍節點，則會浪費迭代次數。

對于hi=1的節點，h指數已經收斂，在接下去的算法選擇迭代節點時，跳過這些已收斂的節點，提高收斂速度。

2）根據H運算的定義，節點h指數只與其鄰居節點的h指數有關，節點h指數定義為其有最多hi個鄰居節點的h指數不小于hi。由此可得，若某個節點i的鄰居節點j經過H運算后滿足h原j>hi>h現j ，則hi經過H運算可能會發生變化。因此，在下步迭代中，優先選擇節點i進行H運算以提高收斂速度。

綜上：為提高收斂速度，本文改進原始算法更新節點的選擇策略以及網絡變化時h指數迭代值。一方面，基于鄰域優先和度排列的方式，優先選擇可能會發生變化的節點作為更新節點，并跳過已收斂節點，避免每步迭代時，節點的h指數未發生變化從而導致迭代浪費;另一方面，考慮到節點h指數的非遞增變化，盡可能縮小h指數的初始值以加快收斂速度。

2.3 基于H運算的重要節點識別算法

基于2.2節介紹的改進思想，提出基于鄰域優先的H運算的動態網絡重要節點識別方法，算法具體流程如下：

步驟1 對于無權向網絡，獲取其節點鄰居拓撲信息。初始化節點集合V，運算節點集合VC;集合HV記錄對應節點的h指數。其中，集合V以節點度降序排列，初始hi=ki，VC為空集。

步驟2 若VC為空，取集合V中第一個節點v1，判斷其h=1是否為真。若為真，從集合V中刪除v1，取第二個節點進行判斷，直至不為真。將不為真的節點加入集合VC中，并將該節點移至集合V最后。若VC不為空，直接進行步驟3。

步驟3 將VC中的第一個節點vi按式（3）更新其hi值，并在VC中刪除該節點。

步驟4 比較步驟3中節點vi的鄰居vj的hj、hi和hi原。若hi原≥hj≥hi為真，將節點vj放入集合VC最首;否則，直接進行步驟5。在本步驟中，如果滿足條件的節點vj不唯一，以hj值降序排列。

步驟5 更新節點鄰居拓撲信息并與之前比較，若拓撲發生變化，進行步驟6;否則，返回步驟2。

步驟6 獲取增加和減少的節點個數為分別為m、n，增加節點中最大的度為kadmax。

步驟7 將減少的節點從集合V、VC、HV中刪除，對于減少節點i的鄰居節點j，若hj≤hi，則將節點vj放入集合VC最首;否則，直接進行步驟8。

步驟8 將增加節點按度遞減排列放至集合VC首位。集合HV中滿足hi

直到節點h指數集合HV=（h1，h2，…，hV）收斂且網絡拓撲結構不發生變化，算法終止。

2.4 算法復雜度分析

對于一個N個節點、M條鏈路的網絡，文獻[17]證明，隨機選擇更新節點法[16]與變化鄰居選點法[17]空間復雜度均為O（N+M）。與原始算法類似，本文算法的輸入是節點數及各節點鄰居信息，空間復雜度同為O（N+M），較原始算法未增加。靜態網絡中，文獻[16]隨機選擇節點更新其h指數。可能會一直選擇經過式（3）運算后，h指數不變的節點，因此最壞時間復雜度為無窮大;N次選擇后，平均每個節點被選擇一次進行h運算，一個節點的h指數是非遞增序列（最大值不大于N-1，最小值不小于1），因此平均時間復雜度為O（N2）。文獻[17]對所有節點進行鄰居變化對比，時間復雜度為O（N2）。本文算法中，根據步驟2可得，運算集合VC中節點來源于滿足條件的集合V，節點個數小于N，因此其時間復雜度小于O（N2）。若已收斂的網絡有n個節點的結構發生變化，文獻[16-17]算法需重新賦值迭代，時間復雜度與靜態網絡相同。本文算法根據步驟7、8改變節點的初始賦值，Ks的變化不高于n-1，其時間復雜度變為O（nN）。綜上，本文算法相比原始算法，在相同的空間復雜度的前提下，有更低的時間復雜度。

3 實驗分析

本文采用美國航空網絡（Air）[20]、政治博客網絡（PB）[21]、海豚網絡（Dolphin）[16]、社團網絡（Zachary）、無標度網絡（BA）[22]網絡拓撲結構進行實驗分析。Air、PB、Dolphin網絡是無權重的有向網絡，在實驗前將網絡中定向的鏈接轉換為非定向[11]。五種網絡的參數性質如表1。

實驗中算法評價標準PT，其定義為迭代到T步時，h指數已收斂的節點數目比例。根據定義，PT∈[0，1]且單調非減。若PT=1成立，表示算法可以收斂至Ks值;若PT上升速度越快，表示收斂時間越短，算法的收斂速度越快。

本實驗使用Matlab程序，首先對實驗網絡使用本文提出的基于鄰域優先與排序的H算法、文獻[16]的隨機選擇更新節點法和文獻[17]的鄰居變化選擇法，輸出評價標準PT以分析本文算法在靜態網絡上的性能及收斂速度。其次，隨機在不同時刻t1、t2，模擬網絡拓撲結構變化，隨機改變網絡中m個節點與其余節點的鏈接情況（m=10%*V），輸出評價標準PT，以分析動態網絡中三種算法的性能及收斂速度。在實驗結果中，方法1表示文獻[16]算法，方法2表示文獻[17]算法。

圖2表示不同網絡中，不同方法收斂過程（PT）;表2表示在不同網絡中，三種方法的收斂迭代次數。

由圖2及表2可得，無論是靜態網絡還是動態網絡，本文提出的算法與文獻[16-17]算法相同，最終都收斂至Ks值（PT=1），證明本文算法能與原始算法一樣有效判斷重要節點。在靜態網絡中，三種算法在迭代初期性能差別不大，這是因為在初期節點h指數普遍大于其Ks值，三種算法節點經過H運算后h指數大概率能發生變化。隨著迭代進行，因為本文算法基于鄰域變化和指數排序的方法選擇更新節點，迭代后h指數發生變化的概依舊較高。而文獻[16]和文獻[17]算法選擇到h指數不會變化的節點概率大大增加，性能下降。最終，本文算法收斂時間較文獻[16]、[17]算法平均下降77.4%、28.3%。

在動態網絡中，在實驗中t1，t2時刻，網絡拓撲結構發生變化，導致節點的h指數和Ks值都發生變化，三種算法的PT都發生下降。拓撲變化后，本文算法h指數初始值比重新迭代的原算法值更低，更接近于收斂值，從而加快了收斂速度。比較網絡拓撲變化時刻到算法收斂時刻間的迭代次數，可得網絡變化后本文方法的收斂時間較文獻[16]和文獻[17]下降了84.3%和38.8%。

綜上：經實驗表明，在靜態網絡中，本文算法相較于原始兩種算法分別減少77.4%和28.3%的收斂時間。當網絡10%節點變化后，本文算法分別減少84.3%和38.8%的收斂時間。這證明本文提出的算法不僅能夠最終收斂至Ks值以判斷節點重要性，而且有效地提升了收斂速度，這極大地促進K-shell在動態網絡中的應用。

4 結語

本文改進隨機選擇更新節點法與變化鄰居節點選擇法的節點更新策略與鏈接變化時的初始化策略，提出基于鄰域優先異步H運算的重要節點識別方法。一方面，比較節點h指數大小和鄰居h指數變化情況來選擇更新節點進行H運算;另一方面，根據變化節點的參數修改迭代值，避免拓撲變化導致重新迭代。通過理論和實驗證明，本文算法在保證相同的識別結果和空間復雜度的基礎上，較原算法降低了時間復雜度，更快速地找到網絡中重要節點，且適應拓撲變化。下一步，將考慮基于h運算的分布式并行計算網絡重要節點方法。

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This work is partially supported by Science and Technology Innovation Special Zone Project of Military （17-H863-01-ZT-003-204-03）.

SHAO Hao， born in 1995， M. S. candidate. His research interests include network topology recognition， network behavior analysis.

WANG Lunwen， born in 1966， Ph. D.， professor. His research interests include machine learning， data mining and intelligent information processing.

DENG Jian， born in 1997. His research interests include electronic information processing.