純多播BC 信道并存單播MAC 信道的天線效率研究

于振超，劉鋒

（1.中電裝備山東電子有限公司，濟南250000；2.上海海事大學信息工程學院，上海201306）

0 引言

隨著無線通信系統帶寬和能力的增加，對收發端的天線數以及信道容量提出了新的考驗。多輸入多輸出天線系統（Multiple Input Multiple Output，MIMO）通過充分利用空間資源，可以大幅提高頻譜效率和功率。并且在頻譜資源日益匱乏的現狀下，多天線技術可以在不增加系統帶寬的前提下，增加信號空間復用增益，增加信道容量以滿足現代網絡多媒體大快速發展的需要?？臻g復用增益（r）是由空間復用技術帶來的傳輸速率的提高。空間復用技術可以大大提高信道容量，提高傳輸速率。即：在發射端將數據流分成多個平行的子數據流，并且在同一頻帶上使用不同的天線同時發射出去，充分利用空間傳播的多徑分量。

可想而知在未來的無線通信系統中，將不只是單純的單播傳輸或者單純的多播傳輸，更加復雜的單播、多播以及廣播等多網絡并存的傳輸方式將占據主流，以滿足不同用戶、不同條件下的需要，從而降低投入的成本，提高天線的利用率。當下無線通信系統中，處理信道間干擾的主流方法是迫零方法和干擾對齊。本文主要采用接收端迫零的方法，在發送端進行線性預編碼處理從而在接收端解碼出相應的期望信號，從而消除干擾。線性預編碼技術是已知全部或者部分信道狀態信息（Channel Status Information，CSI）的情況下，本文的假設條件也是已知全部CSI 的理想條件下進行的。

本文首先研究了有K 個接收端的純多播BC 網絡并存有N 個發送端的單播MAC 網絡的信道模型，采用迫零算法消除干擾從而求出信道的空間復用增益。由一般情況推廣到K=N=3 的特殊情況，從而得出模型的最佳的天線效率以及系統的空間復用增益。本文第二部分介紹了一般系統模型。第三部分是采用迫零算法對所設計的信道進行分析驗證，從而得到收發端的天線數配置以及系統的空間復用增益從而得到天線效率，并將一般情況的模型應用到K=N=3 特例模型中。第四部分是對系統和速率、天線效率進行MATLAB 仿真，證明所述結論的可行性。

1 系統模型

我們一般稱虛線已上的BC 網絡為主網，虛線以下的MAC 網路為次網。然后對于主網BC 純多播信道的K 個發送端配置M1根天線，接收端配置N1根天線，發送端發送K 個多播消息，并且每個多播消息只發送給本網絡內的K-1 個接收端。對于次網MAC 單播信道的N 個發送端，在每個發送端配置M2根天線，在接收端配置N2根天線，則接收端i 接收到的信號為：

其中yi表示第i 個接收端所接收的信號，S1表示BC 信道發送端發送的信號，S2j(j=1,2,…,K)表示MAC信 道 的 第 j 個 發 送 端 發 送 的 信 號 ，表示從第2 j 個發送端到第i 個接收端的信道矩陣，Zi表示第i 個接收端接收的的加性高斯白噪聲，假設其均值為0，方差為σ2。我們現在對發送端的信號進行線性預編碼處理，在每個發送端通過設計一個預編碼矢量矩陣F 使信號干擾迫零，從而在接收端我們可以得到期望信號。以下是經過預編碼后的每個接收端接收到的信號：

其中Fi表示第i 個發送端的預編碼矩陣。

2 方案分析與設計

2.1 對于K=N=3的設計分析

由于主網BC 純多播網絡接收端數至少為3，所以我們首先將一般情況應用到3 用戶的特殊情況。對主網BC 純多播信道的發送端配置6 根天線，每個接收端配置2 根天線，發送端發送3 個多播消息S11S12S13，并且每個多播消息是發送給本網絡內的2 個接收端。對于次網MAC 單播信道的發送端配置7 根天線，接收端配置3 根天線，每個發送端發送1 個單播消息。由此可以得出每個接收端的接收信號為：

其中yi表示第i 個接收端所接收的信號，S1表示BC 信道發送端發送的信號，S2j(j=1,2,3)表示MAC 信道 的 第 j 個 發 送 端 發 送 的 信 號 ，Hi(2j)(i=1,2,3,4;j=1,2,3)表示從第2 j 個發送端到第i個接收端的信道矩陣。

同理我們對其發送端的信號進行線性預編碼處理，以下是經過預編碼后的接收信號：

對于每個接收端不止是接收到期望消息而且還有來自不同接收端的干擾消息，我們以主網BC 信道的發送端消息S11為例來分析。S11對于接收端1、2 為期望消息，而對于另外的接收端是干擾消息。迫零方法就是要講干擾消息置于傳輸信道的零空間內，即H31H41的零空間中。為此我們先介紹零空間的概念。

引理給定兩個矩陣A ∈Cm×n和B ∈Cg×n，若令，則Cx=0 ?Ax=0和Bx=0，即C 的零空間的交Null（C）=Null（A）∩Null（B）。

由引理得出信道矩陣的零空間的性質。設(m+g)×n 的矩陣C 的秩為r=rank(C)，因為至少得存在一個零空間的交，故有n-r ≥1。但是已知C 是滿秩的，有r=min（m+g,n），由此可以推出r=m+g。綜上可以得到零空間交的性質：

由此可以得到S11的零空間矩陣為C=[H31;H41]。在接收端按照“有幾個有效消息配置幾根天線”的原則，我們在接收端3 配置2 根天線，在接收端4 配置3根天線。因此H31是一個2*M1的矩陣H41是一個3*M1的矩陣。從而可以得到零空間矩陣C 是一個5*M1的維度，再根據引理可以得到M1至少為6 根天線。同理可以得到3 用戶MAC 信道每個發送端配置7 根天線。

接下來對S11的零空間矩陣進行奇異值分解，假設S11的預編碼矢量滿足f11?Null(C)，并且可知C 的秩為5，它的右奇異向量V1,V2,V3,V4,V5,V6中，與1 個零奇異向量V6構成零空間的交的標準正交基。于是預編碼矢量，最后得到發送端1 的波束成形矩陣，其他發送端的波速成形矩陣可以此類推。

定理在單播MAC 網絡中，發送端的天線數分別為M1…Mk，接收端天線數為N 時，其空間復用增益為。在多播BC 網絡中，空間復用增益的大小即是每個接收端解碼出的期望消息數的和。因此可以得到K=N=3 模型的空間復用增益是9。

圖2 3個接收端的BC純多播并存3個發送端的MAC單播的系統模型

2.2 對于K＞3的設計分析

在驗證了K=N=3 模型的信道天線配置的合理性的前提下，我們對BC 信道的接收端和MAC 信道的發送端進行了擴展，以適應更多用戶的需求。一根天線一個信道維度，同樣我們給BC 信道的每個接收端配置K-1 根天線，MAC 信道的接收端配置N 個天線，以滿足接收期望消息的需求。然后采用迫零方法經行分析干擾消息，將其都置于對應的信道矩陣零空間，進而得到模型的發送端的天線數量，提高系統的天線效率。

定理對于有K 個接收端的BC 純多播并存N 個發送端的MAC 單播網絡系統，BC 的發送端發送K 個多播消息，并且每個多播消息發送給主網內的K-1 接收端，給BC 每個接收端配置K-1 根天線。MAC 的每個發送端發送一個單播消息，給MAC 的接收端配置N根天線。在這種條件下，BC 發送端的最優天線配比是K+N 根，MAC 發送端的最優天線配比是K（K-1）+1 根天線。

證明同樣我們以BC 發送端1 和MAC 發送端1為例進行分析，BC 發送端發送的信號S11被本網絡內的K-1 個接收端接收，對于剩下的一個接收端和MAC的接收端來說是干擾信號，因此可以將其置于其信道矩陣中如Hi1和H(K+)11的零空間中。可以得到S11零空間矩陣的維度是（N+K-1）*M1，由引理進而可以得到M1的最小值是N+K。同樣我們可以分析MAC 發送端1發送的信號S21只對于本網絡的接收端是期望信號，對于BC 的K 個接收端都是干擾消息，只需將干擾消息S21置于Hi(21)( i= 1,2…N )的信道矩陣的零空間中。可以得到發送端的零空間矩陣K（K-1）*M2，進而由引理得出M2的最小值是K（K-1）+1。

與K=N=3 求系統空間復用增益的方法相似，可以得到一般情況下的模型的空間復用增益為（K-1）*K+N。

3 仿真與結論

3.1 系統的空間復用增益

通過MATLAB 仿真證明了以上定理的可行性，并最后得出關于空間復用增益的結論。首先我們假設每個信道為不相關的瑞利衰落信道，發送端的功率為P，由于發送端在滿足總的功率有限的條件下，對每個用戶的發送功率平均分配。每個用戶接收端的噪聲方差都相同且設為σ2。假設每個發送端可獲知它所服務的所有用戶的無差錯的等效信道狀態信息，每個用戶也能獲得信道狀態信息。BC 用戶i 的單播數據流經過發送干擾抑制矢量、信道和接收干擾抑制矢量作用后，接收信噪比為：

接收端i 可以獲得的單播信號的和速率為：

接收端i 可以獲得的多播信號的和速率為：

由此，系統的總和速率為：

接下來我們對系統的和速率隨系統發送信噪比的變化進行了K=N=3、4、5 的仿真。其中橫坐標SNR 的單位是dB，每條直線段的斜率和其對應的系統空間復用增益是10 倍關系。

然后我們對系統的和速率隨系統發送信噪比的變化進行了K=3,N=2、K=4,N=3、K=5,N=4 的仿真。其中橫坐標SNR 的單位是dB，每條直線段的斜率和其對應的系統空間復用增益是10 倍關系。

3.2 系統的天線效率（恒小于1的數值）

首先給出空間復用增益的數學表達式，假設傳輸速率為：

圖3 K=N時的和速率性能圖

因此空間復用增益定義為：將MIMO 系統能夠得到的傳輸速率與SISO 系統的最大傳輸速率log(1+SNR)的比值。即：

MIMO 系統能夠得到的最大空間復用增益r(max)=min(Nt,Nr)，Nt 表示發送端的天線數，Nr 表示接收端的天線數。

然后我們給出天線效率的數學表達式：

天線效率（E）的定義為無線空間復用增益（r）與系統所用收發天線數總數（n）的比值。

由此可以得到一般模型的天線效率為：

首先，可以由MATLAB 仿真可以得到在3 ≤K ≤20時，N 依次隨機取2、7、13、56、103、200 等值時的天線效率如圖5。

由圖5 的仿真結果，可以分析：在BC 主網的接收端數K 固定在有限范圍時，天線的效率隨著MAC 次網的發送端數N 的增加而增大。并且由式子（13）可以看出，當N 無限增大時，天線效率將接近于1。由此可以看出，次網MAC 單播的參與用戶數對整個系統的天線效率有增益，有助于天線效率的提高。設計系統時可以適當的提高N。

圖4 時的和速率性能圖

圖5 天線效率圖（1）

圖6 天線效率圖（2）

然后，可以得到在2 ≤N ≤20 時，K 依次隨機取3、5、7、10、57、109 等值時MATLAB 的天線效率如圖6。

由圖6 的仿真結果，可以分析：在MAC 次網的發送端數N 固定在有限范圍時，天線的效率隨著BC 主網的接收端數K 的增加而減少。并且由式子（13）可以看出，當K 無限增大時，天線效率將接近于0。由此可以得出，主網BC 多播的參與用戶數越多對整個系統的天線效率有減損，不利于天線效率的提高。設計系統時不能讓M 值過大，而因該控制在一定的范圍內。

4 結語

本文通過使用接收端迫零的方法，通過設計預編碼矩陣，提供出了一種切實可行的處理干擾的方法。并且能夠將一般K 個接收端的BC 純多播信道并存N個發送端的MAC 單播信道的情況應用到特殊情況下，最后得到發送端天線數的最少配置，接收端能夠完美解析出期望信號。然后，通過BC 主網和MAC 次網的合理參與用戶數的設計，可以提高了系統的天線效率。最后通過仿真的形式證明了提出理論的可行性。下一步將分析更加復雜的純多播并單播的情況，以適應當下應用環境的更多需求。