點擊高考函數與導數的常考題型

呂佐良

函數是數學永恒的主題，是中學數學的最重要的主干知識之一，函數的觀點和方法貫穿于整個高中數學的全過程，是學習高中數學的基礎，是歷年高考考查力度最大，且所占分值最多的“經久不衰”的考點，縱觀近幾年的高考試題，函數的考點主要體現在以下幾個方面：定義域、值域、單調性、奇偶性及映射等概念的考查，常以選擇題、填空題的形式出現，其能力要求比較低;函數的性質及圖象變換多以選擇題的形式出現，并且低難度和高難度的試題都有可能出現;解答題多以函數的導數作為工具進行考查這部分試題單純考查知識點的幾乎沒有，大部分都涉及綜合應用，分類討論與化歸思想，而且常考常新，

導數是研究函數的重要工具，其應用為解決數學問題提供了新的思路、新的方法和途徑，拓展了函數應用的領域，成為中學數學的一個璀璨的亮點，是高考命題的熱點，而且不斷豐富創新，在高考試題中出現的頻率相當的高，并且占據著令人矚目的地位（綜合題幾乎都是壓軸題），考查的重點主要體現在以下幾個方面：（1）導數的幾何意義（如曲線在一點處切線的斜率或方程;通過曲線形狀觀察函數的導數（變化率）的變化情況，來判斷原函數的函數值變化的“快慢”，偶爾考查定積分的簡單應用（如求曲邊梯形的面積）;（2）利用導數求函數的單調區間、極值、最值、證明不等式等;（3）綜合應用，包括解決實際應用問題、證明不等式恒成立及研究兩個函數圖象的交點個數及與三角函數、數列或向量交匯整合等，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力和數學素養

函數與導數不僅是高中數學的核心內容，而且是高考考查數學思想、方法、能力和素質的主要陣地，為了能使學生加深理解有關概念、性質、運算法則等，并能靈活熟練地解決相關的問題，本文歸納總結出現行高考中函數與導數的常考題型并擬例說明，旨在熟悉題型特征，掌握解題方法，想必對復習備考一定能起到很好的助推作用。

一、概念辨析型

這是既“長牙”又容易“咬人”的題型，常涉及一些函數與導數似是而非、很容易混淆的概念或性質，著力體現概念性、思辨性和應用意識，這就需要考生在平時的訓練中，注意辨析有關概念，準確區分相應概念的內涵與外延，同時在審題時，要多加細心，正確推演，謹防疏漏，一般來說，這類題目運算量小，側重辨析判斷，下筆容易，但稍不留意則易誤入命題者設置的“陷阱”。

本題考查利用導數研究函數的單調性、不等式的證明等知識點，意在考查考生的分類討論思想、計算能力和邏輯推理能力，（1）先求出函數的定義域與導數，然后對參數進行分類討論，利用導函數的符號確定函數的單調性;（2）是函數與導數和不等式的整合，可根據所證不等式的結構特征進行轉化改造為新函數，將所證問題轉化為新函數在指定區間上的最值問題即可，求解含參函數的單調性的關鍵是根據導函數解析式的結構特征確定對參數分類的標準和依據，注意不能重復、遺漏，不等式的證明通常可以轉化為對應函數在指定區間上的最值問題解決。

八、創新型

這類題型主要是指題目中引入了新概念、新術語、或定義新的運算，其突出特點是：以“問題”為核心、以“探究”為途徑、以“發現”為目的，極富思考性和挑戰性，是挖掘、提煉數學思想與方法的良好載體，是高考命題的豐富寶藏，又是試題改革與創新中最最璀璨的一個亮點，處理這類問題的關鍵是要準確地理解相關“新內容”的含義，依據其含義探尋解題的切人點。