雙重介質壓裂直井非穩態井底壓力分析

劉海龍

中國石化石油勘探開發研究院, 北京 100083

0 前言

井底壓力的動態分析,一直以來都是油井動態分析重點內容之一。通過實時分析井底壓力變化,不僅可以評價油井生產壓差的合理性,還可以實時調整油井油嘴大小,確保油井穩產,油藏合理、高效開發。

文獻調研發現井底壓力動態分析的主要特點在于井底壓力的求解方式[1-7]。目前主要有以下幾種方法:一是不考慮滲流壓力的傳播時間,利用格林函數,求得控制方程的拉普拉斯空間域的解析解[8-9];二是把壓力傳播細分多段,每一段中壓力傳播半徑可用時間的函數表示,運用差分離散和穩態逐次替換方法,求解控制方程的數值解[10-11];三是運用級數思想,并結合數值逼近算法,求解控制方程的數值解[12-13];四是在油井定產量生產的情況下,運用攝動方法,求解滲流控制方程的近似解[14-15];五是在無限大油藏條件下,采用玻爾茲曼變換方法,求解定產條件下滲流控制方程的精確解[16-18]。

前人在研究地層壓力方面,還存在一些不足之處,歸納如下:

1)滲流模型過于理想化,未充分考慮儲層裂縫與基質之間的竄流。

2)地層壓力求解過程中,作了一些近似處理,影響了地層壓力的求解精度。

3)推導過程復雜且計算不方便。

4)格林函數是基于封閉油藏的,僅考慮了上下邊界,方法具有一定的局限性。

5)求解壓力方法在解決自相似性問題上效果較好,但是對于解決非線性滲流控制方程還存在一定誤差。

本文首先基于非均質油藏多裂縫直井物理模型,建立了雙重介質圓形油藏非定常流的滲流方程,通過引入裂縫與基質的流體交換系數,考慮了裂縫與基質的竄流。采用無量綱變化方法、拉普拉斯變換方法和對稱二維滲流方程解析原理,求解了雙重介質油藏非定常流在拉式空間域中的解析解,并通過Stehfest數值反演[19],得到了實數域中的壓力值,最后對影響壓裂直井的非定常流壓進行了敏感性因素分析。

1 數學模型

為簡化數學模型對地下流體的描述,作如下假設:

1)流體為微可壓縮流體,具有基質、裂縫兩種介質。

2)考慮基質與裂縫之間的竄流。

3)不考慮重力、毛管力。

油藏中心有一口壓裂直井生產,見圖1,則雙重介質壓裂直井的非定常流控制方程為[11-12]:

(1)

圖1 多裂縫直井儲層示意圖

初始條件:

pjD(rD,0)=0,j=m,f

(2)

邊界條件:

(3)

(4)

式中:

無量綱流動系數

彈性儲容比

式中:r,rw分別為滲流半徑和井筒半徑,m;L,h分別為裂縫半長和儲層有效厚度,m;km,kf分別為基質和裂縫的滲透率,μm2;μ為黏度參數,mPa·s;pm,pf分別為基質和裂縫中流體壓力,MPa;p,pi分別為地層壓力和地層原始壓力,MPa;hm,hf分別為基質和裂縫中的折算厚度,m;t為生產時間,s;q為流體產量,m3/d;ctm,ctf分別為基質和裂縫的壓縮系數,MPa-1;φm,φf分別為基質和裂縫的孔隙度;S為表皮系數。

式(1)～(4),構成了雙重介質壓裂直井非定常流的瞬時壓力數學模型。

2 模型求解

運用拉普拉斯變換方法、恒等變換方法、分離變量方法、軸對稱變換解相似方法[20]等多種數學方法,并結合數值反演等數學思想,求解了雙重介質壓裂直井非定常流的瞬時壓力數學模型。

式(1)～(4)拉普拉斯變換得:

(5)

初始條件:

(6)

邊界條件:

(7)

(8)

根據軸對稱二維滲流方程解的形式,設式(5)的解為:

(9)

式中:

式中：K0、K1為貝塞爾函數0階、1階變量；ε0、εn為虛宗0階、n階變量。

式(9)帶入式(5)得:

(10)

式(10)有解,必須滿足以下條件:

(11)

即:

(12)

式(12)的解為:

(13)

式(13)帶入式(9)得:

(14)

式中:

由式(14)可知,在裂縫與基質交界面處,壓力相等,可求解出井底壓力的解析式為:

(15)

式(15)即為考慮了裂縫與基質的竄流的雙重介質圓形油藏非定常流的滲流方程拉普拉斯域的解析解模型,通過Stehfest數值反演方法[10],得到了實數域中的壓力值。

3 模型論證與分析

3.1 模型論證

本文基于非定常流,建立了雙重介質圓形油藏非定常流的滲流方程拉普拉斯域的解析解模型,垂直壓裂井的裂縫條數分布具有隨機性,為便于數值模擬論證,假設垂直壓裂井的裂縫條數為5條,且均是關于井筒對稱分布。通過采用Eclipse軟件,進行相似油藏條件下的壓力分布模擬,進而與本文中的Stehfest數值反演[10]數值解進行對比分析。

Eclipse 2014軟件中的E 300最新模塊,在雙重介質非均質油藏中的應用很好,本文利用該模塊進行井底壓力的模擬。首先將油藏設定為正方形邊界的油藏,其中正方形油藏中心有一口直井投產,該直井經過壓裂形成5條裂縫,邊界定壓,底水水驅開發。為便于描述井筒周圍的裂縫和基質的交互關系,網格劃分采用角點網格,并且保證每條裂縫最少有三個網格。油藏半徑為 1 000 m,網格步長為25 m,水平方向上的網格數量為40*40個,縱向上,由于裂縫間距的情況不一,本文進行裂縫等間距模型論證，縱向上一條裂縫在一個模擬層中,自儲層開始,共計劃分5個模擬層,這樣數值模擬的網格總數為40*40*5=8 000個網格,網格剖分示意圖見圖2。計算所需參數,見表1。軟件模擬的模擬解和本文數值反演計算的本文解對比見圖3。由圖3可知:兩者計算結果接近,相對誤差很小,控制在1%以內,表明本文的求解思路和方法是可信的。

a)油藏示意圖

b)網格剖分圖圖2 油藏網格剖分示意圖

表1 計算所需參數表

3.2 流動期劃分

通過Stehfest數值反演方法[10]求解式(15),得到實數域中的壓力值,然后可以做出壓力與時間、壓力導數與時間的雙對數圖,見圖4。由圖4可知:裂縫與基質的竄流的雙重介質圓形油藏非定常流的滲流壓力曲線可以分為早期線性流、中期徑向流、晚期球形流和邊界控制流四個階段。

圖3 兩種方法計算結果對比圖

圖4 壓力、壓力導數曲線圖

3.2.1 早期線性流

該階段主要是受井筒存儲效應的作用,曲線表現為壓力與壓力導數相互重合,由漸進分析可知:該曲線段的斜率為1。

3.2.2 中期徑向流

該階段是裂縫中的流體徑向流過程,裂縫中的流體不斷地向基質中供給流體,由于裂縫與基質之間的竄流影響,漸進分析表明該階段的壓力導數曲線斜率明顯不等于0.5。

3.2.3 晚期球形流

該階段是非穩態的流動階段。由于裂縫與基質之間的竄流,流體在兩種介質中的滲流速度差異明顯,壓力導數曲線表現為下凹的趨勢。漸進分析表明:裂縫與基質的滲透率差異越大,壓力導數曲線小凹的趨勢就越明顯。

3.2.4 邊界控制流

該階段與油藏本身的邊界類型有關。當油藏的邊界類型為定壓邊界時,那么從能量角度來講,油藏有充足的外界能量供給,壓力可以持續傳導,直到整個系統處于擬穩態。漸進分析表明:當系統處于擬穩態時,壓力曲線的斜率為1。

4 敏感性分析

結合表1的參數,采用單因子控制變量的方法,分別分析彈性儲容比、交換系數、滲透率比和裂縫半長等因素對考慮裂縫與基質的竄流的雙重介質圓形油藏非定常流的滲流壓力的影響。

4.1 彈性儲容比

彈性儲容比的實質是基質中流體的體積占整個基質-裂縫系統流體體積的半分比,也就是說,彈性儲容比越小,基質就越致密,基質中的油氣當量占比就越小。彈性儲容比對壓力曲線的影響見圖5。由圖5可知:彈性儲容比主要影響中期徑向流,在曲線上表現為曲線“下凹”的寬度和深度；彈性儲容比越大,則壓力曲線的“下凹”就越不明顯,當彈性儲容比為0.95時,雙對數壓力曲線中的“臺階”段幾乎看不出來,壓力曲線近似于單一介質壓力曲線的特征。這主要是因為當彈性儲容比越趨于1,則基質-裂縫之間的竄流就不明顯,裂縫供給的流體就很少,裂縫作用不明顯,因此壓力曲線就越趨于單一介質的壓力曲線特征。

圖5 彈性儲容比對壓力曲線的影響曲線圖

4.2 交換系數

圖6 交換系數對壓力曲線的影響曲線圖

交換系數表示的是基質和裂縫之間流體滲流強度的物理量,交換系數越大,流體從基質流向裂縫就越簡單,反之,則越困難。交換系數對壓力曲線的影響見圖6。由圖6可知:交換系數主要影響早期徑向流的出現時間,即曲線“下凹”段的時間；交換系數越大,則壓力曲線“下凹”段出現得越早。由于井筒存儲效應,在早期,交換系數對壓力曲線并沒有影響,隨著生產的進行,井筒中的積液被采出,裂縫和基質開始向井筒供液。交換系數越大,流體從基質流向裂縫越簡單,基質-裂縫之間的竄流表現得越早。隨著裂縫中壓力的降低,當裂縫中的壓力與基質中的壓力相等時,基質-裂縫之間的竄流達到擬穩態,此時基質-裂縫之間無流體交換,基質和裂縫單獨向井筒供液,整個系統處于擬穩態,油井定產生產。壓力曲線表現為后期相互重合。

4.3 表皮系數

表皮系數對壓力曲線的影響見圖7。由圖7可知:表皮系數主要影響晚期球形流,即“駝峰”峰值的大小。表皮系數越大,則壓力曲線的“駝峰”峰值就越大,“駝峰”也就越高。這主要是因為,隨著表皮系數的增大,近井筒周圍的儲層所受到的污染就越嚴重,附加壓差就越大,那么同一時間內,流體被采出,井底流壓就必須更大,才能克服附加壓差的阻力,因此壓力曲線表現為“駝峰”變高。但是表皮系數不影響徑向流的快慢,對壓力曲線的斜率幾乎不存在影響,即不同表皮系數下的壓力曲線表現為相互平行。

圖7 表皮系數對壓力曲線的影響曲線圖

4.4 滲透率比

圖8 滲透率比對壓力曲線的影響曲線圖

裂縫與基質的滲透率一般情況下是不同的,兩者的滲透率比值可以達上萬倍。為簡化研究,本文取滲透率梯度為10進行說明,即研究了裂縫與基質滲透率比為1 000、100、10和1四種情況,計算結果見圖8。由圖8可知:當裂縫的滲透率一定時,隨著基質滲透率的增加,裂縫與基質的滲透率比降低,壓力曲線的“駝峰”峰值變小。這主要是因為基質的滲透率增加,儲層中流體的流動性變強,儲層流體能夠在更小的驅替壓差下發生流動,因此井底壓力不需要很大,也能夠保證井口產量,所以在壓力曲線上就表現為隨著滲透率比的降低,井底壓力逐漸減小。需要注意的是,當滲透率比為1時,壓力曲線近似于單重介質的壓力曲線特征,因為兩種介質不存在流體流動性差異,裂縫與基質之間的流體竄流消失,裂縫即是基質,基質也近似于裂縫,與單重介質的滲流無本質差別。

4.5 裂縫半長

不同規模的水力壓裂下,壓開儲層的裂縫規模是有差異的。不同長度的裂縫,儲層中流體的流動截面積也是不一樣的,因此井底壓力也會存在差異。裂縫半長對壓力曲線的影響見圖9。由圖9可知:裂縫半長主要影響早期線性流和中期徑向流；隨著裂縫半長的減小,壓力傳播變慢,同一時間下,井底壓力降低。在早期線性流期間,隨著裂縫的增加,早期線性流的時間相對增長,即裂縫的規模越大,流體的滲流截面積就越大,改造區向井筒的供液量就越大,在井口產量一定的情況下,早期線性流的時間就越長。此外,裂縫規模僅僅改變了供液量的大小,基本上沒有影響到供液的快慢,因此同一時間下,不同裂縫半長的壓力曲線前期表現為近乎平行。漸進分析表明，此時的壓力曲線斜率為0.5。

圖9 裂縫半長對壓力曲線的影響曲線圖

5 結論

1)通過考慮裂縫與基質的竄流,引入雙重介質流體交換系數,建立了雙重介質壓裂直井的非穩態井底壓力分析模型,通過數學變換和數值反演,得到井底流壓數值解,礦場數值模擬表明，兩者壓力值吻合很好,論證了模型的科學性。

2)壓力曲線可以分為早期線性流、中期徑向流、晚期球形流、邊界控制流四個階段。

3)早期線性流主要受裂縫半長和滲透率比的影響,裂縫半長越大,早期線性流時間越長；滲透率比越大,井底流壓越高。中期徑向流主要受彈性儲容比和交換系數的影響,彈性儲容比越大,竄流越不明顯；中期徑向流時間越長,交換系數越大,流體越早進入中期徑向流。晚期球形流主要受表皮系數的影響,表皮系數越大,晚期球形流出現越晚,井底壓力峰值越高。

4)井底壓力的動態分析,既能實時監測油井產量,又能為油井的合理配產提供技術支持。