關于空腔導體球電勢分布的求解

陳秀武

（蘭州文理學院傳媒工程學院，甘肅 蘭州 730000）

0 引言

求解空腔導體球的電勢分布，其定解問題是泊松方程的邊值問題，若用通常的分離變量法求解，過程十分復雜。但運用電像法求解空腔導體的電勢分布，則顯得簡單明了。電像法的基本思想是在求解區域外設置像電荷，使之不改變求解區域內的電荷分布和邊界條件。則原電荷和像電荷共同產生的電場就等價于原電荷與邊界上感應電荷共同產生的電場。電像法的依據是唯一性定理，電像法的實質是“移荷保場”。

1 接地導體球空間電勢分布

如圖1所示，真空中有一半徑為R0的接地導體球，距球心為α（α＞R0）處有一點電荷Q，求空間導體球的電勢分布[1]。

圖1 接地導體球模型

取坐標系原點在球心O，x軸沿OQ方向，球內空間電勢是零，電勢滿足的定解問題[2]：

由唯一性定理可知，其解是唯一的，球外電場是由點電荷Q和球面上感應電荷共同激發的。假設球面上感應電荷對球外電場電場的貢獻用位于球內的假想點電荷Q’代替，根據對稱性，設在OQ的連線上距球心為b處置像電荷Q’，根據導體球面的邊界條件b、Q’。則球外電勢：

（2）代入（1）得：

化簡再比較系數得方程組：

解得：

（7）代入（4）得空腔導體球的電勢分布：

2 推廣

2.1 不接地中性導體球的電勢分布

定解問題為：

2.2 帶電導體球的電勢分布

定解問題為：

2.3 接電源導體球的電勢分布

定解問題為：