簡化Bishop 法的剩余下滑推力計算方法研究*

劉 茂 楊紅娟 錢江澎

( ①四川省地質工程勘察院 成都 610072)

( ②成都理工大學核技術與自動化工程學院 成都 610059)

0 引 言

英國著名土力學家畢肖普( Bishop A W) 于1955 年發表了圓弧條分法在土質邊坡穩定性中的應用一文，Bishop 法由此正式誕生。Bishop( 1955)考慮條塊間力的作用，假設條間力為水平力，條塊土體界面上的剪應力不能超過該界面的最大抗剪強度值，該法根據每個條塊的豎向力平衡條件和整體力矩平衡條件( 所有條塊所受作用力的力矩之和為0)推導出來的，由于條塊間切向力為未知量，Bishop A W 進一步假設ΔHi= Hi+1－ Hi= 0，得到了簡化Bishop 法，簡化Bishop 法( John Krahn，2004; 李廣信等，2013) 滿足力多邊形閉合條件。

國內外很多學者( Duncan，1996; 陳祖煜，2003; 鄭穎人等，2007; 蘇愛軍，2008) 對邊坡穩定分析方法的計算精度進行了討論和分析，簡化Bishop 法計算出的圓弧滑動面安全系數與嚴格條分法( 如Morgenstern-Price 法和Spencer 法) 的安全系數十分接近，一般誤差只有3%～4%，甚至在1%以內。當時，簡化Bishop法也可以看成嚴格條分法。Duncan( 1996) 認為簡化Bishop 法在所有情況下都是精確的( 除了遇到數值分析困難情況外) ，其局限性表現在僅適用于圓弧滑裂面以及有時會遇到數值分析問題( 當mai=cosαi+sinαitanφi/Fs＜0.2，可以認為簡化Bishop 法中存在數值分析問題) 。

朱大勇等( 2007) 對簡化Bishop 法的嚴格性進行了論證分析，簡化Bishop 法滿足所有平衡條件;劉茂( 2011) 對各種穩定性計算方法進行了總結，張年學等( 2018) 認為條間剪力對其沒有明顯影響，鄧濤等( 2019) 基于通用條分原理，采用微分形式的土條受力平衡推導出了錨框支護邊坡地震動力穩定分析方法。簡化Bishop 法被公認為是一個計算圓弧形滑面穩定性的簡便、精確的方法，該穩定性計算方法已被廣泛應用于圓弧形滑面的穩定性分析中，但卻沒有比較簡易的剩余下滑推力解析方法，本文從簡化Bishop 法基本原理出發，利用力多邊形法則，推導出基于簡化Bishop 法的剩余下滑推力解析計算方法。

1 條塊i 的下滑推力模型

根據簡化Bishop 法的假設條件，條塊i 受力模型如下:

圖1 條塊i 的受力模型Fig. 1 The force model acting on slice i

根據條塊所受外力方向、條塊傾角、條塊所受力的固有特征，利用力多邊形法則和單個條塊處于靜力平衡條件可知，單個條塊力多邊形模型可分為兩種模型( Ⅰ型和Ⅱ型) 。

Ⅰ型為條塊所受抗滑力方向與坡向相反，再根據條塊i 的力多邊形模型，Ⅱ型可具體分為Ⅱ1型( 多邊形模型水平力之和大于等于0( 圖2 b、圖2d) ) 和Ⅱ2型( 多邊形模型水平力之和小于0( 圖2a、圖2c) ) ，典型模型見圖2。

具體模型表達式如下:

Ⅱ型為條塊所受抗滑力方向與坡向相同，再根據條塊i 的力多邊形模型，Ⅰ型可具體分為Ⅰ1型( 多邊形模型水平力之和大于等于0( 圖3 b、圖3d) ) 和Ⅰ2型( 多邊形模型水平力之和小于0( 圖3a、圖3c) ) ，典型模型見圖3。

具體模型表達式如下:

圖2 典型受力模型( Ⅰ型)Fig. 2 The typical force model of slice i( model Ⅰ)

圖3 典型受力模型( Ⅱ型)Fig. 3 The typical force model of slice i( model Ⅱ)

Ⅱ1型:

－Qisinθi+Ticosαi+( Ni+Ui) sinαi+KsWi≥0

Ⅱ2型:

－Qisinθi+Ticosαi+( Ni+Ui) sinαi+KsWi＜0

上述模型表達式中，Qi為外力( kN·m－1) ( 順時針為正，逆時針為負) ，Wi為條塊 i 的重 力( kN·m－1) ，Ti為條塊i 的抗滑力( kN·m－1) ( 與坡向相同為負，與坡向相反為正) ，Ni為條塊i 的垂直壓力( kN·m－1) ，Ui為條塊i 的孔隙水壓力( kN·m－1) ，Ks為水平加速度系數( g) ，αi為條塊i 的滑動面傾角( 與坡向相同為正，與坡向相反為負) ，θi為條塊i所受外力的傾角( 順時針為負，逆時針為正) 。

2 簡化Bishop 法剩余下滑推力解析方法

根據上述條塊i 作用力的力多邊形模型可知，對于條塊i，根據力多邊形法則，考慮垂直方向力的平衡時有:

根據滿足安全系數為Fs時的極限平衡條件可得:

將式( 2) 代入式( 1) ，整理后可得:

計算剩余下滑推力時，還必須滿足一定規定，規定如下:

(1) 土體抗拉強度很弱，可忽略不計，因此，剩余下滑推力不能為負值，若為負值時取為0。

(2) 上一條塊的剩余下滑推力直接作用于相鄰下一條塊上，作用方向為水平。

根據以上規定和兩種模型可知，條塊i 的剩余下滑推力Fi的解析表達式為式( 7) :

當Fi小于等于0 時，條塊i 的剩余下滑推力為0，但剩余下滑力計算過程中不取0，按照實際計算值進行計算。

當Ti指向坡向方向時取負值，否則為正，Ti的判據表達式見式( 8) 。

其余公式和符號同上。

3 簡化Bishop 法剩余下滑推力與傳遞系數法隱式解剩余下滑推力比較與討論

3.1 圓弧形滑面模型

如圖4 所示的某圓弧滑動面的滑坡，該圓弧形滑動面滑坡模型數據見表1。

圖4 圓弧滑動面滑坡模型Fig. 4 Landslide model of the slip circle

表1 圓弧滑動面滑坡模型數據Table 1 The data of landslide model of the slip circle

3.2 剩余下滑推力對比分析

兩種方法的剩余下滑推力計算，模型采用上述圓弧形滑動面滑坡模型，滑體天然重度為19.6 kN·m－3，飽和重度為20.1 kN·m－3，內黏聚力為18 kPa，內摩察角為15°，分別得到各個安全系數ks=1.00 ～1.35 安全儲備下的剩余下滑推力，剩余下滑推力曲線如圖5、圖6。

圖5 簡化Bishop 法剩余下滑推力曲線Fig. 5 The curve map of residual sliding force based on simplified Bishop method

圖6 傳遞系數法剩余下滑推力曲線Fig. 6 The curve map of residual sliding force based on transfer coefficient method

由圖5 和圖6 可知，簡化Bishop 法剩余下滑推力最大值部位幾乎不隨安全系數變化，幾乎位于坡體的中部部位條塊，傳遞系數法隱式解剩余下滑推力最大值隨著安全系數增大從坡體中上部向坡體中部遷移，但出現最大值的條塊范圍分布范圍較小;整個坡體條塊的剩余下滑推力趨勢與傳遞系數法隱式解基本一致。

圖7 剩余下滑推力差值曲線Fig. 7 The difference curve map of residual sliding force between the simplified Bishop method and transport coefficient method

簡化Bishop 法剩余下滑推力比傳遞系數法隱式解剩余下滑推力大，兩者的剩余下滑推力差值在坡體的中上部( 約坡體的1/3) 隨著水平距離增大而增大，隨著安全系數增大，兩者的差值在減小; 安全系數為ks=1.0～1.15 時，坡體中部和中下部差值隨著安全系數增大差值呈增大的趨勢，只是在最后1～2 個條塊趨于減少趨勢，安全系數為ks=1.15 ～1.35時，坡體中部和中下部差值隨著安全系數增大差值呈減小的趨勢。

由圖8、圖9 可知，簡化Bishop 法相鄰條塊剩余下滑推力增量趨勢是一致的，從上往下總體呈現上升－下降－平緩－下降的趨勢，但是，簡化Bishop 法相鄰條塊剩余下滑推力增量在坡體上部( 1/3 部分) 隨著安全系數升高而增大，坡體其余部位幾乎不隨安全系數變化而變化，而傳遞系數法相鄰條塊剩余下滑推力增量各個條塊間隨著安全儲備的增大而增大，坡體中部基本上呈現線形增加。

由圖10 可知，簡化Bishop 法剩余下滑推力比傳遞系數法隱式解剩余下滑推力大，整個坡體條塊剩余下滑推力的平均值在坡體的中上部( 1/3 部位) ，簡化Bishop 法較傳遞系數法隱式解整個坡體條塊剩余下滑推力的增加百分比平均值一般可增加15%～35%，最大可增加45%，且隨著安全儲備增大，整個坡體條塊剩余下滑推力的增加百分比平均值在減小。

當ks＜1.25 時，增加百分比從坡頂至坡腳呈增加－減少－平緩－快速增加的趨勢，且增加或減少的幅度隨著安全系數增加而減小; 當ks＞1.25 時，增加百分比從坡頂至坡腳呈快速減少－減小的趨勢，且減少的幅度隨著安全系數增加而減小。

圖8 簡化Bishop 法相鄰條塊剩余下滑推力增量曲線Fig. 8 The residual slope thrust increment curve of adjacent bars by simplified Bishop method

圖9 傳遞系數法相鄰條塊剩余下滑推力增量曲線Fig. 9 The residual slope thrust increment curve of adjacent bars by transfer coefficient method

圖10 剩余下滑推力增減百分比曲線Fig. 10 The percentage increase curve map of residual sliding force when compared to transport coefficient method

表2 剩余下滑推力增減百分比Table 2 The percentage increase of residual sliding force when compared to transport coefficient method

當安全系數較小( ks＜1.1) 時，坡體最后1 ～4 個條塊推力增幅較大，一般可增幅70%～100%，最大可增幅約10 倍甚至更大，該方法對于安全系數較小的邊坡最后幾個條塊的剩余下滑推力有待進一步分析研究。

3.3 剩余下滑推力對比結果分析探討

針對以上剩余下滑推力的對比分析，總體上呈現出簡化Bishop 法剩余下滑推力高于傳遞系數法隱式解的剩余下滑推力，增大的幅度也不同，分析探討如下:

( 1) 對于同一個滑坡( 邊坡) ，兩種計算穩定性的方法不一致，由于兩種穩定性計算方法都有其局限性，簡化Bishop 法主要適用于圓弧形滑面滑坡，且只考慮條間力方向為水平方向，傳遞系數法主要受相鄰條塊傾角差和突變的影響，且滑面傾角不宜過大，評價出的滑坡( 邊坡) 穩定性不同，安全系數和穩定系數的差值，即安全儲備大小影響剩余下滑推力值。

(2) 簡化Bishop 法剩余下滑推力比傳遞系數法隱式解剩余下滑推力大，究其原因在于簡化Bishop法本身忽略了條塊間的豎向摩擦力，而傳遞系數法考慮了條塊間的豎向摩擦力，且考慮了相鄰條塊滑面傾角的影響。

( 3) 隨著安全儲備的增大，兩者的剩余下滑推力差值減小，原因在于這兩種計算方法都為隱式解法，同時折減c、tanΦ，安全系數變大，條塊的垂直壓力減小，下滑力增大可減少條塊間的相互影響，可減小兩者剩余下滑力的差值。

4 算 例

本次選取一個經典算例進行簡化Bishop 法和傳遞系數法剩余下滑推力比較，邊坡剖面和土層參數( 圖11) ，該邊坡假設為永久邊坡，邊坡的安全等級為一級邊坡，取穩定安全系數為ks=1.35，計算得到簡化Bishop 法和傳遞系數法剩余下滑推力值( 圖12) 和兩者的剩余下滑推力增減百分比曲線( 圖13) 。

圖11 典型算例的地質剖面圖Fig. 11 The geological profile of a typical example

5 結 論

( 1) 評價圓弧形滑動面滑坡時，簡化Bishop 法是一種公認精確、簡便的“嚴格”方法，該方法在我國被普遍應用，但卻沒有與之相適應的剩余下滑推力解析計算方法。

( 2) 根據條塊的受力條件、力的多邊形法則和Ti的方向( 指向坡向方向時取負值，否則為正) ，把單個條塊力多邊形模型分為兩類:Ⅰ型( Ti≥0) 和Ⅱ型( Ti＜0) ，依據上述兩類模型，利用條塊垂直力平衡和極限平衡條件以及條塊水平力平衡推導出了剩余下滑推力的解析計算公式。

圖12 簡化Bishop 法和傳遞系數法剩余下滑推力曲線Fig. 12 The curve map of residual sliding force based on simplified Bishop method and transfer coefficient method

圖13 典型算例剩余下滑推力增減百分比曲線Fig. 13 The difference curve map of residual sliding force between the simplified Bishop method and transport coefficient method about typical example

(3) 簡化Bishop 法和傳遞系數法隱式解剩余下滑推力比較可知，簡化Bishop 法剩余下滑推力比傳遞系數法隱式解剩余下滑推力大，簡化Bishop 法整個坡體條塊剩余下滑推力的增加百分比平均值一般可增加15%～35%，最大可增加45%，且隨著安全儲備增大，整個坡體條塊剩余下滑推力的增加百分比平均值在減小。當安全系數較小( ks＜1.1) 時，坡體最后1～4 個條塊推力增幅較大，一般可增幅70%～100%，最大可增幅約10 倍甚至更大，該方法對于安全系數較小的滑坡( 邊坡) 最后幾個條塊的剩余下滑推力有待進一步分析研究。

( 4) 該剩余下滑推力解析法為隱式解法，且隱式解法屬于強度儲備系數法，該方法比較符合滑坡( 邊坡) 下滑破壞的規律，為圓弧形滑動面滑坡( 邊坡) 的剩余下滑推力提供了一定的理論依據。