量子隱形傳態的通用線路?

張國帥 , 許道云

1(貴州大學 數學與統計學院,貴州 貴陽 550025)

2(貴州大學 計算機科學與技術學院,貴州 貴陽 550025)

量子隱形傳態是一種傳遞量子狀態的重要通信方式,是可擴展量子網絡和分布式量子計算的基礎.從事量子隱形傳態實驗,是實現全球量子通信網絡的可行性的前提研究.1993年,Bennet首次提出了量子隱形傳態的設想[1],原理是利用量子態糾纏EPR粒子對的遠程關聯[2],引起了研究者對量子隱形傳態的研究熱潮[3?5],提出了各種形式的量子隱形傳送方案[6?8].其中,方建興等人[9?13]提出了多種通過N對二粒子糾纏態傳送N粒子的方案,臧鵬等人[14]提出了五粒子團簇態實現四粒子團簇態的概率隱形傳態方案,Song[15]給出了利用兩個EPR態進行隱形傳送雙模連續變量量子態的方案,解光軍等人[16]也對量子線路進行了改進,還有一些其他類型的傳送方案[17?21].

在上述文獻的所有傳送方案中,信息傳送成功的前提是制備出準確的共享量子通道.例如用EPR態作為量子通道實現單比特量子隱形傳送,如果此時EPR制備中心出錯,制備出或者選擇其他類型的量子通道,就只能重新制備EPR態或者重新選擇適應此種類型量子通道的傳送方案.隨著傳送信息量的增加,EPR態相應制備的數量也會增加,制備出不符合預期的量子通道的概率也就相應地增加.

本文從數學分析的角度,理論上提出一種通用量子線路.通過概述4種EPR態分別作為量子通道的量子隱形傳態,分析這4個線路中EPR態的類型與量子操作門之間的聯系,設計出一種適應任意類型EPR通道的量子線路.這種線路中的量子操作門是帶參數的幺正變換,其中,參數由EPR態的類型確定.最后把單比特通用線路推廣到任意N比特通用線路.本文設計的通用線路適應EPR制備中心制備出的各種類型的EPR態,信息接受者只需進行帶參數的幺正變換,并根據制備出的EPR態類型輸入相應的參數值,即可實現隱形傳送.

1 單粒子量子態的通用隱形傳送方案

EPR對的4個Bell態分別為

通過4種Bell態分別作為量子通道,設計出它們的量子隱形傳送線路,并分析量子通道與量子操作們之間的關系.首先選取|β00〉作為共享量子通道,假設Alice要傳送的未知量子態為|ψ〉=α|0〉+β|1〉.線路在信息傳輸之前的量子態為

其中,前兩個量子比特屬于Alice,第3個量子比特屬于Bob.

為了實現信息的量子隱形傳送,Alice需要將他所擁有的量子比特通過一個受控非門,其量子態變為

然后,Alice再讓他的第1個量子比特通過一個Hadamard門,此時的量子態為

我們把這個量子態進行重新組項,可重寫為如下量子態:

該表達式共含有4項,每一項的前兩個量子比特屬于Alice,第3個量子比特屬于Bob.此時,如果Alice對前兩個量子比特進行投影測量,Bob擁有的量子比特將會塌縮到相應的量子態上.依賴于Alice的測量結果,Bob將會得到4種不同的量子態,Bob再經過一個幺正變換即可恢復出要傳送的的量子態α|0〉+β|1〉.具體操作見表1.

Table 1 Results of quantum measurement and corresponding unitary transformation表1 量子測量的結果和相應的幺正變換

Fig.1 Quantum teleportation for |β00〉圖1 關于|β00〉的量子隱形傳態

線路圖中的M1,M2即為Alice測得的經典信息,Bob只需進行幺正變換既可恢復出量子態|ψ〉.考慮|β01〉作為量子通道,按照第1個方案的操作步驟,各個階段的量子態分別如下.

Bob根據Alice的測量結果做相應的幺正變換,具體操作見表2.

Table 2 Results of quantum measurement and corresponding unitary transformation表2 量子測量的結果及相應的幺正變換

其實現線路如圖2所示.

Fig.2 Quantum teleportation for |β01〉圖2 關于|β01〉的量子隱形傳態

考慮|β10〉作為量子通道,按照第1個方案的操作步驟,各個階段的量子態分別如下.Bob根據Alice的測量結果做相應的幺正變換,具體操作見表3.

Table 3 Results of quantum measurement and corresponding unitary transformation表3 量子測量的結果及相應的幺正變換

Fig.3 Quantum teleportation for |β10〉圖3 關于|β10〉的量子隱形傳態

考慮|β11〉作為量子通道,按照第1個方案的操作步驟,各個階段的量子態分別如下.

Bob根據Alice的測量結果做相應的幺正變換,具體操作見表4.

Table 4 Results of quantum measurement and corresponding unitary transformation表4 量子測量的結果及相應的幺正變換

其實現線路如圖4所示.

Fig.4 Quantum teleportation for |β11〉圖4 關于|β11〉的量子隱形傳態

通過上述演算和圖示,我們發現了4種不同的EPR態對應線路中量子通道的類型參數與接收者進行的幺正變換之間的對應關系,并設計出如圖5所示的通用線路.

Fig.5 Universal circuit for single-qubit quantum teleportation圖5 單比特量子隱形傳態通用線路

從圖5中線路可以看出,當給定線路中m和n賦值之后,通用線路就變為4種EPR態作為量子信道的量子隱形傳態的其中一種.此線路中,接收者進行的操作是具有4個參數的矩陣,參數值由制備出的EPR類型和測量結果決定.觀察此線路還可以發現,無論制備中心制備出哪種類型的EPR態,只要根據制備出來的EPR類型輸入m,n的值,最后再根據測量結果輸入M1,M2的值,即可完成信息的傳送.

2 任意兩粒子量子態的隱形傳送方案

首先考慮任意兩比特量子隱形傳態.因為每次傳送一比特信息都需要一個EPR態,并且在測量階段EPR態會發生塌縮無法再繼續使用,所以需要傳送多少比特的信息,相應地就需要制備多少個EPR態.

如果Alice的測量結果分別是|10〉1,1x和|01〉2,2x,則粒子1y和2y將會塌縮到量子態b|00〉1y,2y+a|01〉1y,2y?d|10〉1y,2y?c|11〉1y,2y上,Alice把測量結果告訴Bob,Bob根據Alice的測量結果將粒子1y通過Z門、粒子2y通過X門,此時,量子態為:a|00〉1y,2y+b|01〉1y,2y+c|10〉1y,2y+d|11〉1y,2y.對其他測量結果進行類似操作,最終會恢復出待傳量子信息.通過Mathematica仿真實驗得到的線路圖如圖6所示.

圖6中的1、2表示待傳送量子比特,3、5分別表示1x比特、1y比特,4、6分別表示2x比特、2y比特.對這個線路輸入任意未知量子態:

Fig.6 Two-qubit quantum teleportation圖6 兩比特量子隱形傳態

經過這個線路如果能夠恢復出這個量子態,則證明這個實現線路是正確的,通過Mathematica進行仿真,結果見表5.

Table 5 Results of quantum measurement and corresponding transmission probability表5 量子測量的結果及相應的操作概率

Table 5 Results of quantum measurement and corresponding transmission probability (Contiuned)表5 量子測量的結果及相應的操作概率(續)

通過表5我們可以發現,Alice共有16種測量結果,而每一種結果最終都恢復出量子態:

3 任意N 粒子量子態的通用量子隱形傳送方案

現在,我們把任意兩粒子量子態的隱形傳態推廣到傳送任意N粒子量子態的情形.假設待傳送的量子態為

Alice和Bob共享的量子通道為n對EPR糾纏態:

此時,輸入線路的初始態為

我們將初始態展開進行重新組項,發現初始態可以重新表示為

為了實現信息的量子隱形傳送,Alice需要將自己擁有的粒子分別通過n個受控非門和n個Hadamard門,然后進行投影測量.此時,系統的量子態變為

Fig.7 N-qubit quantum teleportation圖7 N 比特量子隱形傳態

如果把這個任意N比特量子隱形傳態線路與單比特量子通用線路進行結合,以隨機的EPR態作為量子通道,我們就可以設計出傳送任意N粒子量子比特的通用線路.其實現線路如圖8所示.

Fig.8 Universal circuit for N-qubit quantum teleportation圖8 N 比特量子隱形傳態的通用線路

首先,我們先把兩比特量子隱形傳態的通用線路設計完成(如圖9所示).

Fig.9 Universal circuit for two-qubit quantum teleportation圖9 兩比特量子隱形傳態的通用線路

此線路中有4個參數m1,n1,m2,n2,此時,如果我們預期制備兩個糾纏態|β00〉作為量子通道,此時EPR制備中心出錯,假設制備結果為|β10〉1x,1y和|β10〉2x,2y,那么我們只需要根據制備出的結果輸入相應的參數即可.這里的m1=0,n1=1,m2=1,n2=0.當我們輸入對應的參數值之后,此時的通用線路也就等價于下面一般情況下的量子隱形傳態了(如圖10所示).

Fig.10 Two-qubit quantum teleportation圖10 兩比特量子隱形傳態

此時,Bob只需對手中的量子態進行相應的酉變換,即可得到最終待傳的量子態.

4 結 論

本文從數學的角度分析了單比特量子隱形傳態EPR信道與接收者量子操作門之間的聯系,理論上提出一種通用線路,并把它推廣到任意N量子比特隱形傳送通用線路.此通用線路的優點在于,它可以避免因EPR制備中心制備出錯誤的EPR態造成的信息傳輸失敗問題.在N量子比特通用線路中,接收者對每個比特信息都進行相同的矩陣操作如果把這個矩陣看作通用門,那么無論EPR制備中心制備出何種EPR類型,接收者只需根據制備出的EPR類型和測量結果輸入相應參數值m,n,M1,M2,即可完成信息傳送.

本文提出的通用線路的意義在于抵制EPR信道制備出錯,可以在EPR制備中心出錯的情況下順利完成信息傳輸.下一步工作是對其他更多的線路進行改進,提高線路的糾錯及抗干擾能力.