基于雙加點動態Kriging模型的提升塔架優化設計

陳 鵬 章 青 黃 磊

天津大學機械工程學院，天津，300350

0 引言

大型結構物提升系統中的提升塔架是提升系統中需要鋼材最多、安全性要求最高的部件，因此，通過優化設計得到滿足安全性要求、輕量化的提升塔架具有實際意義。

Kriging模型作為一種代理模型技術，可以替代復雜費時的分析模型，相較于響應面模型和徑向基函數模型具有無偏估計、平滑效應和響應快等特點，適用于解決參數個數少于8的復雜非線性問題，已廣泛應用于機械結構優化設計等領域[1-2]。相較于靜態Kriging模型，通過不斷加點的動態Kriging模型具有更高的模型精度。加點準則主要有最小預測點(minimizing the predictor，MP)加點準則和期望提高(expected improvement，EI)加點準則。MP加點準則在每次迭代的最優解處進行加點，盡管模型最優解附近的局部精度不斷提高，但該加點準則易使迭代收斂于局部最優解；EI加點準則在計算得到的EI最大值處進行加點[3]，模型全局精度得以提高，但最優解附近的局部精度不易得到保證。

人工蜂群算法是由KARABOGA[4]于2005年提出的一種智能全局優化算法，最初僅用于無約束優化問題的求解。隨后KARABOGA等[5]于2011年通過引入Deb規則選擇蜜源，根據可行解的適應度與不可行解的背離值來計算觀察蜂選擇蜜源的概率，并用來處理帶約束的優化問題。目前Deb規則已廣泛應用于帶約束優化問題的求解[6]。

本文針對MP加點準則和EI加點準則的不足，綜合考慮代理模型的全局精度和最優解附近的局部精度，提出了一種雙加點動態Kriging模型，基于該模型和人工蜂群算法對提升塔架進行了優化設計，并將該模型的優化結果與仿真模型、靜態Kriging模型和基于傳統加點準則的動態Kriging模型的優化結果進行了對比分析。

1 優化問題描述

提升塔架是大型結構物提升系統中的重要支撐部件，主要由兩組共4個支撐架組成，每個支撐架由主支撐架和斜支撐架組成，其結構如圖1所示。其中，支撐架固定在地基上，塔頂橫梁連接2個相鄰的支撐架，液壓提升器固定在塔頂橫梁上。

圖1 提升塔架結構Fig.1 Structure of hoist tower

為提高優化設計效率，考慮動載系數和載荷分布系數，因提升塔架具有對稱結構，故本文僅對1個支撐架進行仿真分析。提升塔架材料為Q235，提升塔架的總質量為21 708 kg，其提升總質量為1 000 t，得到的分析結果見圖2，其中，最大應力的絕對值為128.193 MPa。

圖2 提升塔架初始分析結果Fig.2 Initial analysis results of hoist tower

為降低提升系統的制造和運輸成本，需在保證最大應力不變的條件下，以主支撐架的主立柱截面寬度W1L、橫柱長度D1及橫柱截面寬度W1D、斜支撐截面寬度W1XZ和斜支撐架的主立柱截面寬度W2L、橫柱長度D2及橫柱截面寬度W2D、斜支撐截面寬度W2XZ以及主支撐架與斜支撐架之間的夾角θ為設計變量，以提升塔架的總質量為優化目標進行多參數帶約束優化設計。

2 全局敏感性分析

全局敏感性分析是指分析各參數的變化對輸出變量影響的敏感程度，通過全局敏感性分析可進行各參數敏感性排序，將非敏感參數設為固定值可降低優化問題的維度，以簡化優化問題[7]。

2.1 Sobol指數法

基于方差的Sobol指數法是一種定量的全局敏感性分析方法[8]，其基本思想是將模型分解為單個參數和任意兩個參數組合的函數，通過計算單個參數方差和任意兩個參數組合的方差對總方差的影響來確定參數的總體敏感程度與參數之間的相互影響程度。通常，結構優化問題中設計變量和目標函數之間的具體函數關系未知，需采用基于蒙特卡羅方法的Sobol指數法進行全局敏感性分析。

假設設計空間參數個數為m，通過拉丁超立方試驗設計在設計空間內取樣兩次，每次抽取n個樣本點，并得到A、B兩個樣本矩陣：

(1)

(2)

用矩陣B的第i列替換矩陣A的第i列，得到矩陣Ci；用矩陣A的第i列替換矩陣B的第i列，得到矩陣Di，其表達式分別如下：

(3)

(4)

將矩陣中每組設計參數代入仿真模型中進行仿真分析，從而得到相應響應值，并可通過如下公式計算得到各參數敏感性指標：

(5)

(6)

(7)

則設計空間參數xi的主效應指標可表示為

(8)

設計空間參數xi的全效應指標可表示為

(9)

2.2 敏感性指標求解

選取設計變量初始值的-30%～30%作為初始設計空間，通過拉丁超立方試驗設計得到參數敏感性分析樣本數據，利用ANSYS軟件仿真分析得到相應響應值，并代入式(8)、式(9)，從而得到各參數敏感性指標，見表1，相應的主效應圖為圖3。

由全局敏感性指標計算結果和主效應圖可知，參數W1D、W1L、D1和θ的敏感性較強，可選取上述4個參數作為后續優化的設計變量。這將降低優化問題的維數，使優化問題得以簡化，優化效率得以提高。

表1 全局敏感性指標計算結果

(a)相對于最大應力

3 基于雙加點動態Kriging模型和人工蜂群算法的提升塔架優化設計

3.1 雙加點動態Kriging模型

Kriging代理模型的數學表達式如下：

(10)

其中，β為回歸系數，ft(x)β表示回歸模型，是一個確定成分，通常用多項式表示，是全局近似的模擬；z(x)表示一個隨機過程，是局部偏差近似的模擬，z(x)滿足如下統計特征：

(11)

式中，E為期望；var表示方差；cov表示協方差；σ為標準差；R(θ,x(i),x(j))表示以θ為參數的樣本點x(i)與x(j)之間的相關函數。

基于樣本點建立Kriging模型時，使真實值和估計值之間的估計方差最小，即可得到具有無偏估計和最小估計方差的Kriging模型，進而得到設計空間任意一點的響應值和相應估計方差。

通常，由初始樣本點建立得到的靜態Kriging模型的全局精度較低，最優解處的局部精度更加難以得到保證。針對這一問題，本文提出了一種基于雙加點準則的動態Kriging模型。雙加點準則的表述如下：在每次優化迭代時分別判斷最優解和預測誤差最大值處的樣本點是否與樣本空間中的樣本點重復，若兩點均重復則此次迭代放棄向樣本空間加點，否則就將相應點加入到樣本空間中，并調用ANSYS仿真程序計算新加入的樣本點處的真實響應值，從而形成新的樣本空間，并重建Kriging模型。

優化過程中，采用雙加點更新準則對初始Kriging模型進行多次動態更新，從而可得到全局精度、局部精度和最優解處局部精度均有大幅提高的雙加點動態Kriging模型。

3.2 基于雙加點動態Kriging模型和人工蜂群算法的提升塔架優化流程

結合雙加點動態Kriging模型和人工蜂群優化算法，對大型結構物提升系統中的提升塔架進行了優化設計，其總體優化流程見圖4。

圖4 提升塔架總體優化流程圖Fig.4 Optimization flow chart of hoist tower

3.2.1確定設計變量取值范圍和優化模型

根據全局敏感性分析結果，將參數D1、W1L、W1D和θ作為提升塔架優化設計的設計變量，各參數的取值范圍見表2。

表2 設計變量取值范圍

以提升塔架的質量m為優化目標函數，最大應力σmax為約束條件，從而可得到提升塔架優化數學模型：

(12)

3.2.2建立初始Kriging模型

在設計空間內，基于拉丁超立方試驗設計進行了30次抽樣，并利用MATLAB軟件中的DACE工具箱，選取二次多項式模型作為回歸模型，選取高斯函數作為相關模型，建立了4個設計變量分別與最大應力、質量之間的Kriging模型，并得到了初始Kriging模型和精度，見表3。

表3 初始Kriging模型和精度

通過測試集檢驗建立的模型精度，將復相關系數R2作為模型全局精度評價指標，相對最大絕對誤差εRMA作為模型局部精度評價指標。R2越接近于1表明模型全局精度越高，εRMA越接近于0表明模型局部精度越高[9]。R2和εRMA的計算表達式分別如下：

(13)

(14)

3.2.3利用人工蜂群算法優化求解

(1)通過拉丁超立方試驗設計初始化蜜源位置(蜂群大小為200，蜜源數為100)，并得到分布相對均勻的蜜源。

(2)通過初始Kriging模型預測各蜜源位置的目標函數值，記錄預測誤差，計算相應適應度值，分別得到目標函數值矩陣、預測誤差矩陣和適應度矩陣。適應度計算表達式如下：

(15)

式中，fi為第i個蜜源處的模型預測值；ffit,i為第i個蜜源的適應度值；abs(fi)為fi的絕對值。

(3)雇傭蜂階段。在各蜜源附近搜索新蜜源，其表達式如下：

vij=xij+Rand(xij-xkj)

(16)

式中，vij為新蜜源；j為均勻分布的隨機整數，表示參數序號；xkj為隨機選擇不與xij重復的蜜源,k為不同于i的隨機選擇指數；Rand(·)為[-1,1]之間的隨機數。

利用初始Kriging模型預測新蜜源位置目標函數值，記錄預測誤差，并計算相應適應度值。依據Deb規則[4]判斷新蜜源是否優于原蜜源，Deb規則表述如下：①可行解優于不可行解；②可行解中適應度大的解優于適應度小的解；③不可行解中約束背離值小的解優于約束背離值大的解。其中，不可行解的約束背離值為最大應力響應值與允許的最大應力值之差。

若新蜜源優于原蜜源，則替換原蜜源，并更新相應目標函數值矩陣、預測誤差矩陣和適應度矩陣。

計算蜜源變異概率，其計算表達式如下：

(17)

式中，N是蜜源個數；viol,i為第i個蜜源的約束背離值。

(4)觀察蜂階段。對于任意一個蜜源i，觀察蜂有概率Pi在其附近，利用式(16)找到一個新蜜源，通過Deb規則選擇蜜源，若新蜜源優于原蜜源，則替換原蜜源，并更新相應目標函數值矩陣、預測誤差矩陣和適應度矩陣。

(5)偵查蜂階段。超過限制次數(限制次數為 100)而沒發生變異的蜜源對應的雇傭蜂變為偵查蜂，并在設計空間中依據下式隨機產生一個新蜜源：

(18)

通過Kriging模型預測新蜜源位置的目標函數值，記錄預測誤差，計算相應適應度值，并更新相應目標函數值矩陣、預測誤差矩陣和適應度矩陣。

(6)基于上文所提出的雙加點準則重建Kriging模型。

(7)不斷重復步驟(3)～步驟(6)，直到獲得最優解。

3.3 優化結果對比分析

經過783次迭代、152次基于雙加點準則的動態加點后，共計182個樣本點，并得到了如下最優解：D1=1 750 mm、W1L=279.64 mm、W1D=225.66 mm、θ=0.37 rad、σmax=128.19 MPa、m=13 162 kg，最終Kriging模型和精度見表4。

在最大應力不變的條件下，優化后的提升塔架質量減小了39.37%。由表3和表4中優化前后的Kriging模型精度可知，經過基于雙加點準則的動態迭代更新后，最大應力Kriging模型的全局精度提高了14.35%、局部精度提高了31.26%；質量Kriging模型全局精度提高了14.66%，局部精度提高了34.98%。

表4 最終Kriging模型和精度

(19)

由表5可知，所有基于Kriging模型的優化效率相較于仿真模型的優化效率，均有大幅度提高；雙加點動態Kriging模型相較于相同樣本數的靜態Kriging模型，其最大應力Kriging模型的全局精度提高了5.55%、局部精度提高了14.62%，質量Kriging模型的全局精度提高了5.58%、局部精度提高了19.56%，最大應力Kriging模型和質量Kriging模型在最優解處模型預測值相對真實響應值的誤差明顯減小；雙加點動態Kriging模型相較于基于MP加點準則和EI加點準則的動態Kriging模型，其全局精度、局部精度和最優解處局部精度均得到了一定改善。

表5 優化結果對比

4 結論

(1)通過基于方差的Sobol指數法進行了全局敏感性分析，設計變量個數由9個減少為4個，降低了優化問題維數，優化問題得以簡化,優化效率得以提高。

(2)優化后，最大應力為128.19 MPa、提升塔架質量為1316 2 kg，在最大應力不變的條件下，提升塔架質量減小了39.37%。

(3)基于雙加點動態Kriging模型相較于仿真模型，優化設計效率得到大幅提高。

(4)雙加點動態Kriging模型相較于靜態Kriging模型、基于MP加點準則和EI加點準則的動態Kriging模型，具有更高的全局精度、局部精度和最優解處局部精度。