雙氣泡振子系統的非線性聲響應特性分析*

莫潤陽 王成會 胡靜 陳時

(陜西師范大學,超聲學重點實驗室,西安 710062)

對初始半徑不同的雙氣泡振子系統在聲波作用下的共振行為和聲響應特征進行了分析.利用微擾法分析了雙泡系統的非線性共振頻率,由于氣泡間耦合振動的非線性影響,雙泡系統存在雙非線性共振頻率.倍頻共振和分頻共振現象的存在使得雙泡系統振幅-頻率響應曲線有多共振峰,且隨著非線性增強,共振區向低頻區移動.通過對氣泡平衡半徑、雙泡平衡半徑比以及氣泡間距的分析發現,耦合作用較強的情形發生在系統共振頻率附近、氣泡半徑比接近1以及氣泡間距小于10R10的范圍內,同時觀察到了此消彼長的現象,充分體現了氣泡在聲場中能量轉換器的特征.

1 引 言

液體中的微氣泡在聲波的驅動下做受迫振動,它既是聲散射源[1,2],也是聲場中的換能器.液體中氣泡的振動引起周圍液體流場分布變化,進而影響液體內的壓力差分布,進一步增強了對液體介質的擾動作用.液體中空化氣泡在較高強度聲波作用下還會引起空化效應,伴隨氣泡振動還會出現聲致發光、局部高溫高壓、微射流以及沖擊波等現象,空化泡有效充當了能量轉換器的角色[3,4].人們對聲場中的氣泡運動相關的效應進行了大量的理論和實驗研究[5-13],對空化現象及其在超聲治療、超聲診斷、超聲提取、超聲清洗和超聲聲化學等領域的作用機理有了一定的認識.但由于氣泡振動以及其擾動下液體流場變化本身的復雜性使得空化氣泡以及空化場的物理圖景并不十分清晰,因此,聲場中的氣泡動力學仍然需要從理論和實驗等角度展開進一步研究.

實際的空化環境通常為多泡系統,氣泡動力學研究逐步從單氣泡動力學過渡到多泡動力學,然而,由于多氣泡系統是極為復雜的高維系統,人們在研究過程中常從雙氣泡耦合動力學入手.通過雙泡模型人們發現,氣泡之間的相互作用可引起復雜的微射流、負脈沖以及空化噪聲譜等[14-18],還可通過注入大氣泡來抑制空化氣泡振動強度進而達到抑制空化強度的效果[19].為了更好地分析氣泡間的耦合效應,球狀或者鏈式泡群模型也被廣泛采用[20].在理論分析時常將氣泡的徑向振動線性化為振子模型,分析氣泡在聲場中線性響應模式.但是,氣泡本身是三維系統,在絕熱條件下其內部氣泡的物態變化本身具有非線性特征,故為分析氣泡振子的非線性聲響應特征,在弱非線性條件下忽略振動方程中三階以上小量后可得到雙氣泡或多氣泡系統的非線性耦合振動方程,基于此方程可進一步探索多氣泡體系的聲響應特征[21-24].

Sugita和Toshihiko[22]通過多尺度法、微擾法等分析手段探索耦合振動氣泡在共振頻率附近的幅值和相位變化特征,發現在氣泡共振頻率附近存在四種模式的耦合振動狀態,即等幅同相振動、等幅反相振動、局域同相振動模式(x1a≤x2a或x1a≥x2a).Ooi等[1]采用線性化后耦合振子方程組分析氣泡鏈的耦合振動時發現該系統存在多共振頻率,氣泡鏈的存在可影響聲波在介質中的傳播特性.他們在研究中均計入了氣泡次級聲輻射延遲效應對耦合振動的影響.盡管有許多學者對雙氣泡耦合振動從不同角度展開了研究,但主要基于線性振子或者同尺寸氣泡系統研究,而實際的多氣泡系統氣泡平衡半徑通常處在分布狀態[24],如造影劑微泡尺寸范圍大致在1—10μm,因此,僅分析尺度相同的氣泡間相互作用的非線性特征是不夠的.本文分析了兩個不同平衡半徑氣泡組成的雙氣泡系統的共振行為及聲響應特性,考慮聲波、液體介質及氣泡本身相關的參量對雙泡系統振動行為的影響.

2 基本方程

2.1 雙氣泡動力學方程

超聲空化環境下液體中通常有大量的振動氣泡,其振動在液體中形成次級聲輻射,次級輻射聲場與源聲場一起共同影響空化場中氣泡的振動,因此,聲場中的空化泡構成多氣泡耦合振動系統.氣泡間耦合振動狀態非常復雜,與液體環境、驅動聲波屬性、氣泡分布特征等多種因素有關,而次級輻射聲場將隨距離的變化而衰減且有相位變化,因此,在引入次級聲輻射影響考慮氣泡的振動動力學時,需考慮聲傳輸相關的推遲效應的影響.為簡化分析,本文考慮耦合振動的雙氣泡系統,其振動可用修正的Keller-Miksis方程表示[22],即

式中Rj為初始半徑Rj0(j=1,2)的氣泡的瞬時半徑,τ=d/cl為推遲時間,d為兩氣泡中心距離,ρl和cl分別為液體密度和聲速,p0為液體環境壓力,pa和φ分別為驅動聲波壓力幅值和初相位.pB(Rj,t)為泡壁處液體壓力,可表示為

其中σ和η分別為液體表面張力系數和黏度系數,Rj=Rj0(1+xj),κ為泡內氣體多方指數.

為更好地分析次級聲輻射推遲效應對氣泡耦合振動的影響,假定氣泡振動保持球形且處于弱非線性狀態.令

式中xj為j氣泡壁無量綱振動位移,且xj視作一階小量.將(3)式代入(1)式,約去三階以上小量,則考慮次級聲輻射的時間推遲效應影響后的耦合振動動力學方程為

式中

其他系數參看附錄.在近似過程中,為分析氣泡振動導致的次級聲輻射引起附加壓力相關的因子3-j|t-τ中推遲時間相關的作用效果,取其線性近似[1],即

2.2 系統非線性共振頻率

由于氣泡間相互作用的影響,氣泡在外場作用下的非線性振動將變得更加復雜.下面分析雙氣泡系統在聲波作用下的非線性聲響應.忽略系統振動阻尼和驅動聲波的影響,耦合振動雙氣泡系統線性共振頻率ωr滿足特征方程

可得系統線性共振頻率近似為

由此可以看出,耦合振動系統線性共振頻率與各氣泡本征頻率相關,氣泡間的耦合相互作用將影響系統共振頻率.但從(7)式可以看出,次級聲輻射時間推遲效應對線性共振頻率的影響較小.為更好地認識聲波作用下氣泡較大振幅振動對氣泡共振聲響應的影響,下面分析耦合振動雙氣泡系統非線性振動頻率.對忽略系統振動阻尼和驅動聲波影響后的動力學方程(4)采用逐級近似法,設xj=xj0+xj1+xj2+ ···且零級近似解為

若要等式右端無共振項,必有qj=0,自然振動頻率偏移量近似為

且

式中

同理,將近似解(8)式和(11)式代入方程(4),約去三階以上的高階小量,得到二級近似解滿足的方程近似為

式中

要(12)式右側無共振項,必有 g1j=0,即

(13)式即為考慮氣泡相互作用以及時間延遲效應影響后的雙氣泡系統非線性振動頻率的表達式.對于液體中兩個不同初始半徑氣泡組成的雙氣泡系統,其非線性振動頻率分別分布在兩氣泡線性自由振動頻率附近.比較(13)式和(7)式可以看出,非線性情形下氣泡的振動頻率將受到振動幅值、系統本質屬性以及次級聲輻射作用相關的時間推遲效應的影響.

2.3 雙氣泡系統的非線性聲響應

雙氣泡系統受到聲波激勵,氣泡將做受迫振動.下面采用逐級近似法,基于振動方程(4)分析不同初始半徑氣泡組成的雙氣泡系統的非線性聲響應特征.為簡化計算,設近似解x1=x1acos(ωt+φ1),x2=x2acos(ωt),代入方程(4),有

式中

(14)式—(17)式給出了一級近似下不同平衡半徑組成的雙泡系統氣泡徑向振動幅值和相位隨驅動聲波頻率和振幅的變化關系.可以看出,在考慮氣泡徑向耦合振動的情形下,由于次級聲輻射以及介質黏性等因素的共同影響,氣泡的小振幅非線性受迫振動并不是同相位振動,雙氣泡系統非線性振動相位差和氣泡平衡半徑、驅動聲波壓力幅值和頻率等有關.因此,平衡半徑不同的氣泡構成的多氣泡-液體混合介質中氣泡在聲波驅動下的振動行為將變得更加復雜.液體空化場內存在大量平衡半徑不同的氣泡,氣泡間的相互作用必將增加空化場分布的復雜性,雙氣泡系統相互作用引起的聲響應狀態分析必將為理解空化場的復雜性奠定基礎.

3 數值分析

在一定強度聲波的作用下,氣泡對在聲場中做非線性徑向振動,其振動相圖可展示出豐富的信息.從不同情形下氣泡的振動相圖可知,考慮次級聲輻射對鄰近氣泡作用的延遲效應后,氣泡的振動相位和幅值均可能發生變化.由于氣泡受迫振動相關的次級聲輻射延遲效應與氣泡受迫振動頻率成正比,當驅動聲波頻率較低時,次級聲輻射延遲效應的影響幾乎可忽略,因此,主要分析頻率500 kHz以上超聲波作用下氣泡振動行為的變化規律.本文數值計算所取各參量值如下: 驅動聲壓幅值0.5 atm(1 atm=1.013 × 105Pa),驅動聲波頻率515 kHz,液體密度998 kg/m3,液體黏滯系數0.001 Pa·s,液體表面張力為0.0725 N/m,泡內氣體多方指數為1.4.主要考察驅動聲波頻率、驅動壓力幅值、氣泡間距,兩氣泡平衡半徑比等因素對氣泡聲響應的影響.

3.1 聲輻射延遲效應對氣泡振動行為的影響

為考察次級聲輻射的延遲效應對氣泡振動行為的影響,利用Mathmatica軟件對(1)式進行數值分析,取平衡半徑 R10=2 μm 和 R20=2R10的氣泡對,氣泡間距為 2 0R10,當驅動聲壓幅值分別為0.5,1.0 atm和1.5 atm時,氣泡1振動相圖如圖1(a)—圖1(c)所示,氣泡2振動相圖如圖1(d)—圖1(f)所示.結果表明,驅動聲波壓力幅值越高,次級聲輻射對氣泡振動行為的影響越顯著; 氣泡的初始半徑越小,延遲效應對氣泡振動的影響越大.影響氣泡非線性振動行為的因素很多,驅動聲壓幅值越高,氣泡的振動越劇烈,越容易在幾個聲周期后崩潰,形成沖擊波和微射流等次級效應,還可形成更多的微氣泡核調節空化進程.

3.2 氣泡振動幅值-頻率特性分析

求解(14)式和(15)式可得一級近似條件下氣泡振動幅值隨驅動聲波頻率的變化,如圖2(a)所示.對雙氣泡組成的系統而言,弱非線性情形下系統存在兩個共振區,分別在兩氣泡本征頻率附近.氣泡在其本征頻率附近將出現強烈的非線性響應,表現為共振頻率的偏移以及振幅的躍變,即驅動聲波頻率的微小變化可導致氣泡振動振幅的大幅變化和不穩定響應.因此,在共振區內,氣泡吸收聲波能力明顯增強,不穩定性也明顯增強,進而增加系統的復雜性.為驗證一級近似條件下氣泡振幅—頻率關系,根據動力學方程(1)式對幅值-頻率關系做數值分析,結果見圖2(b).對比圖2(a)與圖2(b)發現,一級近似條件下氣泡振幅-頻率變化特征與動力學方程給出的特征基本一致.由于氣泡間相互作用以及氣泡振動非線性的影響,共振頻率發生偏移,在兩共振區內均出現非主共振氣泡的小幅共振峰,且小幅共振峰值均在主共振氣泡峰值的左側,但兩種分析得到的峰值頻率稍有差別,主要原因在于理論分析過程中取一級近似抑制了氣泡振動的某些非線性特征,圖2(b)顯示雙泡振動系統存在次諧頻共振現象.隨著驅動聲波壓力幅值的增加,氣泡將做強非線性振動,氣泡振幅幅值-頻率在低頻區的響應將更加復雜,在低頻區更容易激勵氣泡的大振幅振動,如圖3所示.對比考慮氣泡間相互作用相關的次級聲輻射延遲效應影響的各曲線發現,除共振區外,一般情況下次級聲輻射的延遲效應對氣泡非線性振動幅值影響不大.

圖1 驅動壓力幅值分別為1.5,1.0和0.5 atm時氣泡徑向振動相圖 其中圖 (a)-(c)為氣泡1的振動相圖,圖(d)-(f)為氣泡2的振動相圖Fig.1.Radial vibration phase diagram at 1.5,1.0,0.5 atm driving pressure amplitude for bubble 1 (a)-(c)and bubble 2 (d)-(f).

圖2 氣泡振動幅值-驅動頻率響應關系對比 (a)理論分析; (b)數值分析(bubble 1,3 μm,bubble 2,5 μm,驅動聲波壓力幅值pa=0.1 atm)Fig.2.Comparison the responding relationship between vibration amplitude and driving frequency: (a)Theoretical analysis; (b)numerical analysis,where the diameter of the bubble 1 is 3 μm and the bubble 2 is 5 μm,the amplitude of driving pressure is pa=0.1 atm.

圖4給出的數值分析結果表明,平衡半徑在2—10 μm間的氣泡具有較強的聲響應能力,即在同樣的驅動聲波條件和液體環境中,氣泡能夠獲得較大徑向振動振幅,且平衡半徑接近3 μm的氣泡能夠在較寬的頻率范圍內有較好的聲響應.為探究氣泡平衡半徑變化對氣泡間相互作用的影響,保持兩氣泡平衡半徑比為5/3,分析平衡半徑 R10在1—30 μm間變化時氣泡在驅動聲波強度為0.5 atm和500 kHz的振動幅值變化規律.驅動聲波頻率500 kHz對應的線性氣泡共振半徑約為6.25 μm,兩氣泡的響應曲線均在線性共振半徑處出現共振峰; 此外,在平衡半徑為3.58 μm處出現次共振峰,此為非線性振動氣泡的倍頻共振現象.對比兩氣泡響應曲線可以看出,在考慮次級聲輻射影響后,發生相互作用的兩不同平衡半徑氣泡構成的系統中小氣泡振幅-平衡半徑曲線的主共振峰受到一定程度的抑制,次共振峰得到加強,對相對尺度較大的氣泡而言,其兩次共振峰值影響不大,幾乎可以忽略不計.

圖3 氣泡振動幅值與驅動頻率的關系 (a)pa=0.5 atm; (b)pa=1 atm (bubble 1,3 μm; bubble 2,5 μm)Fig.3.Vibration amplitude vs.driving frequency: (a)pa=0.5 atm; (b)pa=1 atm,where the diameter of the bubble 1 is 3 μm,the bubble 2 is 5 μm.

圖4 氣泡振動幅值隨初始半徑變化曲線 (a)氣泡1; (b)氣泡2Fig.4.Curves of vibration amplitude with initial radius: (a)Bubble 1,(b)bubble 2.

通過對耦合振動雙氣泡系統的幅值-頻率以及幅值-平衡半徑響應分析看出,平衡半徑約為3 μm的小氣泡更容易激發非線性振動,但其非線性振動幅度在一定程度也受到大氣泡的抑制,此抑制與彼此間次級聲輻射導致的相互作用有關.在考慮延遲效應影響后,彼此間的次級耦合受到氣泡間距的影響,因此,對氣泡振幅隨距離變化關系進行了數值分析,如圖5所示.當氣泡間距離較小時,氣泡間的相互作用強,小氣泡振動受到的抑制也強.隨著距離的增加,小氣泡振動振幅先減小后增大,最后趨于單氣泡在聲場中的受迫振動幅值,大氣泡振動幅值有先增加后減小并趨于定值的趨勢,說明氣泡間距超過一定距離后彼此間的相互作用可忽略不計.經估計,平衡半徑分別為3 μm和5 μm的氣泡間的有效相互作用距離小于30 μm.

圖5 氣泡間距對氣泡聲響應的影響Fig.5.Influence of bubble distance on sound response of bubbles.

氣泡間的耦合振動還受到初始半徑比的影響.圖6給出了平衡半徑 R10=3 μm的氣泡1與不同平衡半徑 R20的氣泡2相互作用的振動幅值變化趨勢,驅動聲波頻率為氣泡 R10的線性共振頻率.隨著比值 R20/R10的增大,氣泡1的振動幅值先減小后逐步小幅起伏變化,兩氣泡的平衡半徑越接近,氣泡振動耦合作用越強; 在 1 ＜R20/R10＜2 的范圍內,氣泡1的振動受抑制程度逐漸增加; 在比值 R20/R10＞2 的范圍內,氣泡2平衡半徑的變化對氣泡1振動幅值的擾動相對較小.對氣泡2而言,其振動幅值先增加后減小并逐步過渡到小幅起伏區,除耦合作用較強的峰值區外,其聲響應變化趨勢與單氣泡基本一致.氣泡在聲場中平衡半徑會隨著液體中溶解氣體濃度變化有發生變化,但從本文數值分析結果可以看出,當 R20/R10＞2 時,弱非線性條件下其平衡半徑變化不會大幅增加對氣泡1的抑制作用.

圖6 氣泡平衡半徑比的影響Fig.6.Influence of bubble equilibrium radius ratio.

圖7 驅動壓力影響 (a)R10=R20=3 μm ; (b)R10=3 μm ,R20=5 μmFig.7.Effects of driving pressure: (a)R10=R20=3 μm ; (b)R10=3 μm ,R20=5 μm .

事實上,氣泡的非線性聲響應影響因素很多,驅動聲波壓力幅值、頻率以及氣泡大小是決定性因素,首先頻率和氣泡大小決定了聲場中能夠有共振現象發生,驅動聲波壓力幅值則影響聲響應的強弱,如圖7所示.從圖7(a)可以看出,初始半徑相同的兩氣泡在頻率為其線性共振頻率的聲波驅動下當驅動壓力幅值超過0.5 atm后將顯示出較強的非線性特征,次級聲輻射延遲效應的影響也表現得更為顯著; 驅動聲波壓力幅值影響可分為三個區域,當pa＜ 0.5 atm時,壓力幅值增加,氣泡振幅也隨之增加,二者間的變化率也緩慢增加; 當0.5 atm＜ pa＜ 0.7 atm時,壓力幅值變化將引起氣泡振幅較大變化; 當pa＞ 0.7 atm,隨著驅動壓力幅值增加氣泡振幅進入起伏變化區,表明在此區域內氣泡振動具有強非線性,極小的擾動可能引起氣泡狀態的變化.從圖7(b)可以看出,當兩平衡半徑不同的氣泡在聲波作用下耦合振動時,小氣泡( R10=3 μm)的振動將受到抑制,但由于驅動聲波頻率等于小氣泡的自然振動頻率,故小氣泡為共振氣泡,仍有較強的聲響應,但是其振幅隨驅動聲波壓力幅值增加的速率變慢,共振氣泡振幅-驅動聲波幅值變化的趨勢和雙共振氣泡幅值的變化一致; 雙氣泡系統中大氣泡( R10=5 μm)在該條件下振幅增加的趨勢相對平緩,聲響應狀態相對較弱,但是由于耦合作用的影響,在共振氣泡振幅變化率較大的區域內( 1 .0atm＜pa＜1.5atm ),大氣泡幅值有小幅減小的情況發生,表明系統在聲耦合時存在一定程度的此消彼長的情形.

3.3 氣泡非線性振動相位特征

Sugita 和Toshihiko[22]在分析平衡半徑等大的氣泡組成雙氣泡振子系統在共振頻率附近的弱非線性聲響應時發現存在四種模式: 等幅同相振動、等幅反相振動、局域同相振動模式 (x1a≤x2a或 x1a≥x2a),展示了平衡半徑有微小差異時雙泡振子系統在共振頻率附近聲響應的幅值和相位變化特征.實際上,聲場中的氣泡尺寸分布范圍較大,僅分析等大的雙泡振子系統是不夠的,因此,本文在一級近似條件下分析了黏性液體中雙泡振動系統的相位特征,發現兩氣泡振動相位差在系統共振頻率兩側有躍變現象,如圖8所示,與Sugita和Toshihiko的分析結論一致.本文中,氣泡1振動初相位為φ1,氣泡2振動初相位為0,驅動力振動初相位為φ,兩氣泡的振動相位差可用φ1表示.雙泡系統存在兩共振頻率,對由3 μm和10 μm氣泡組成的雙泡系統,共振頻率約為 0 .27ω10和 ω10.從驅動力相位變化看,對氣泡R10=3 μm 而言,當ω＜ω10時,氣泡1與驅動力相位相同,當ω＞ω10時,可近似認為氣泡1與驅動力相位相反.對氣泡R20=10 μm 而言,在區間 ( 0.27ω10,ω10)內,氣泡 2相位落后 π ,其他頻率范圍內,其振動幾乎和驅動力同步.隨著驅動頻率的增加,兩氣泡保持一定的相位差振動,相位差大小與驅動聲波頻率、驅動聲波強度以及液體黏性等因素有關.在區間(0.27ω10,ω10)內,兩氣泡幾乎反相振動; 但在其他區域內,總體上看,平衡半徑3 μm的氣泡1的振動超前于平衡半徑10 μm的氣泡2.

圖8 氣泡振動相位隨頻率變化 (a)R10=3μm 氣泡初相位φ1; (b)驅動力振動初相位φFig.8.Oscillation phase varies with frequency: (a)Initial phase φ1 of R10=3μm ; (b)initial phase φ of driving force.

4 結 論

基于雙氣泡系統耦合振動方程,考慮聲波作用下振動氣泡次級聲輻射延遲效應的影響,通過微擾法分析了平衡半徑不同的雙氣泡系統的非線性聲響應.從數值分析結果可看出,微擾法的一級近似解可近似表征系統聲響應的振幅和相位的變化趨勢和大致規律.同時,基于非線性振動方程分析了驅動聲波頻率、氣泡平衡半徑、氣泡間距、氣泡平衡半徑比值以及驅動壓力幅值等因素對氣泡聲響應振幅的影響.結果表明,氣泡在聲波驅動下其振動可表現出明顯的非線性特征甚至過渡到混沌狀態.次級聲輻射的延遲效應只在共振區內對氣泡的耦合振動幅值有影響,其他區域可忽略不計.但當驅動聲波頻率處在兩氣泡非線性共振頻率之間時,耦合振動氣泡在聲波作用下可出現反相振動現象.一般應用環境下,超聲波與氣泡之間能量交換環境為多氣泡體系,體系內氣泡間耦合將非常復雜,因此,通常情況下簡化為特定模型,如雙泡、球狀泡群等研究氣泡間耦合相互作用,雙氣泡體系的聲響應研究對認識多氣泡體系的聲響應具有非常重要的研究意義,可為超聲波作用下氣泡參與的超聲治療、超聲診斷以及超聲清洗等應用提供理論基礎.