理論單位線曲線族數(shù)學(xué)公式的提出

宋雅坪，房國(guó)忠，徐 崢，郭希海，孫 羽

(國(guó)家電網(wǎng)公司 東北分部，沈陽(yáng) 110000)

1 概 述

洪水經(jīng)驗(yàn)單位線是傳統(tǒng)的洪水匯流預(yù)報(bào)方法[1]，雖然方法簡(jiǎn)單，應(yīng)用也很廣泛，但預(yù)報(bào)時(shí)單位線的選取因人而異，預(yù)報(bào)結(jié)果的精度難以控制[2-3]。同時(shí)，經(jīng)驗(yàn)單位線的分割與制作過(guò)程十分繁瑣，難以達(dá)到理想完備的程度[4-5]。更重要的是經(jīng)驗(yàn)單位線只能從已發(fā)生的洪水過(guò)程當(dāng)中獲得有限的(常見(jiàn))洪水信息，對(duì)于未發(fā)生的罕見(jiàn)特大洪水的預(yù)報(bào)，由于缺少相應(yīng)的外推單位線，極有可能存在洪峰預(yù)報(bào)嚴(yán)重偏小的重大安全隱患(即經(jīng)驗(yàn)單位線缺乏外延遞推性)[6-8]。能否找到一個(gè)理想完備的洪水徑流單位線數(shù)學(xué)公式，使預(yù)報(bào)能夠連續(xù)覆蓋從極枯到極豐整個(gè)可能出現(xiàn)的土壤濕度狀態(tài)(具有外延遞推性)，且其預(yù)報(bào)結(jié)果滿足高精而穩(wěn)定的要求，這是水文基礎(chǔ)理論研究方面需要解決的基本問(wèn)題[9]。

本文創(chuàng)立的理論單位線曲線族數(shù)學(xué)公式，為預(yù)報(bào)理論的實(shí)際應(yīng)用提供了一種新的數(shù)學(xué)工具。期待該成果與產(chǎn)流預(yù)報(bào)模式相結(jié)合，在高精度預(yù)報(bào)模型中得到廣泛的應(yīng)用。

2 徑流過(guò)程的圖形描述

洪水徑流過(guò)程是一個(gè)漲水段短、退水段很長(zhǎng)的時(shí)序流量過(guò)程。當(dāng)流域土壤干旱和降雨小時(shí)，產(chǎn)流少，洪水過(guò)程為矮胖型(洪峰漲幅小、洪水歷時(shí)長(zhǎng))；反之，當(dāng)流域土壤濕潤(rùn)和降雨大時(shí)，產(chǎn)流多，洪水過(guò)程為尖瘦型(洪峰漲幅大、洪水歷時(shí)短)。徑流過(guò)程典型曲線見(jiàn)圖1。

圖1 徑流過(guò)程典型曲線

3 洪水徑流數(shù)學(xué)描述需解決的問(wèn)題

3.1 尋求洪水徑流過(guò)程Q-T曲線的數(shù)學(xué)公式

先要找到一個(gè)數(shù)學(xué)公式能夠描述某一次洪水過(guò)程的完整形態(tài)。

3.2 驗(yàn)證洪水徑流過(guò)程Q-T數(shù)學(xué)曲線族的代表性與完備性

在找到一個(gè)洪水徑流數(shù)學(xué)公式的基礎(chǔ)上，尋求一組洪水徑流過(guò)程Q-T曲線族，其等分或非等分變化要與流域不同干濕程度的相應(yīng)實(shí)際洪水單位線一一匹配，即理論單位線具有真實(shí)反映洪水徑流豐枯變化的全過(guò)程(完備性)，同時(shí)具有理論外延的合理性。

本文將試圖通過(guò)指數(shù)函數(shù)的初等運(yùn)算來(lái)解決這一復(fù)雜的匯流模式理論問(wèn)題。

4 徑流匯流模式的數(shù)學(xué)描述

4.1 徑流過(guò)程的數(shù)學(xué)描述

洪水徑流過(guò)程能否用數(shù)學(xué)公式來(lái)描述？如果能找到一個(gè)公式或初等函數(shù)來(lái)完整地反映洪水過(guò)程，不僅是一個(gè)十分有趣的數(shù)學(xué)練習(xí)，更重要的是可以通過(guò)后續(xù)預(yù)報(bào)應(yīng)用研究，建立起一個(gè)更為復(fù)雜、完美的數(shù)學(xué)表達(dá)公式，乃至為水文學(xué)建立更為科學(xué)的理論打下基礎(chǔ)。

洪水來(lái)水過(guò)程是一個(gè)漲水段相對(duì)較短、退水段相對(duì)較長(zhǎng)的時(shí)序物理現(xiàn)象。這種形態(tài)的過(guò)程在其它領(lǐng)域也廣泛存在，如通信的電話流量、公路交通流量過(guò)程等等。

由于許多水文物理量與指數(shù)函數(shù)e-at有密切聯(lián)系，那么，由此推測(cè)洪水過(guò)程線的公式表達(dá)應(yīng)當(dāng)是以指數(shù)函數(shù)的初等運(yùn)算為構(gòu)成形式。果然，將兩個(gè)不同退水系數(shù)的指數(shù)函數(shù)進(jìn)行相減，就是一條很完美的洪水流量過(guò)程線。

Q(t,a,b)=A×(e-at-e-bt) 或

Q(t,a,b)=A×(exp(-at)-exp(-bt))

其中a

注：洪水曲線公式Q(t,a,b)=A×(e-at-e-bt) 的積分面積(洪水總量)：

4.2 理論單位線曲線族數(shù)學(xué)公式

發(fā)現(xiàn)洪水徑流過(guò)程Q-T曲線的數(shù)學(xué)公式后，工作僅僅是開(kāi)始，還需要對(duì)洪水過(guò)程線公式進(jìn)行數(shù)學(xué)處理，并解決Q-T曲線族的等分或非等分變化，目的是要讓徑流過(guò)程曲線族與實(shí)際流域不同干濕條件下的洪水單位線一一匹配，這樣才有可能解決數(shù)學(xué)公式其代表的完備性與理論外延的合理性，其成果可以視為理論單位線。之所以稱(chēng)為理論單位線是因?yàn)镼-T曲線族的每條曲線的積分面積均為1。

通過(guò)反復(fù)試錯(cuò)后，合理選取不同的(a，b)參數(shù)，就可以完整地反映所有的洪水過(guò)程的變化趨勢(shì)。理論單位線曲線族典型曲線見(jiàn)圖2。

圖2 理論單位線曲線族典型曲線

理論單位線曲線公式：

Q(t,a,b)=1/(1/a-1/b)×(e-at-e-bt)

峰現(xiàn)時(shí)間：

Tf=ln(a/b)/(a-b)

洪峰流量：

Qf=ab/(b-a)×(e-aln(a/b)/(a-b)-e-bln(a/b)/(a-b))

每條理論單位線的積分面積(t=0～∞)：

每條理論單位線的計(jì)算面積(t=0～∞)：

s=∑Q(t,a,b)<1.0

注：曲線公式Q(t,a,b)=A×(e-at-e-bt)的面積S=A/(1/a-1/b)(A為常數(shù))

基本假定:存在某一組參數(shù)(a,b)或(ai，bi)的理論單位線曲線族與徑流系數(shù)(產(chǎn)流系數(shù))可以建立唯一的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即曲線Q1，Q2，Q3，Q4，Q5，Q6，Q7，Q8，Q9，Q10分別對(duì)應(yīng)徑流系數(shù)為0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9，1.0的洪水過(guò)程。基本假定能否符合實(shí)際，將通過(guò)后續(xù)預(yù)報(bào)應(yīng)用和試錯(cuò)方法來(lái)檢驗(yàn)。

5 理論單位線應(yīng)用建模(匯流理論模式)

給定不同的a,b參數(shù)就能得到不同的單位線，只要根據(jù)產(chǎn)流條件不同去合理調(diào)整a,b參數(shù)就能獲得理想的洪水過(guò)程線，同時(shí)也就完成了相應(yīng)的洪水徑流匯流預(yù)報(bào)計(jì)算。

建模方式：先給定一組a,b參數(shù)的洪水預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)模型，建立徑流系數(shù)與理論單位線族的關(guān)系對(duì)應(yīng)表；實(shí)際流域預(yù)報(bào)將根據(jù)徑流系數(shù)(又稱(chēng)產(chǎn)流系數(shù)、出流系數(shù))找到對(duì)應(yīng)的單位線。同時(shí)，計(jì)算實(shí)際流域洪水歷時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)洪水歷時(shí)的比值作為匯流標(biāo)尺參數(shù)，進(jìn)而計(jì)算時(shí)間標(biāo)尺進(jìn)行時(shí)標(biāo)變換，代入理論單位線曲線公式即可完成洪水匯流預(yù)報(bào)計(jì)算。

如果預(yù)報(bào)結(jié)果不理想，重新給定另一組a,b參數(shù)的洪水預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)模型，進(jìn)行預(yù)報(bào)應(yīng)用檢驗(yàn)，直至預(yù)報(bào)結(jié)果完美。

5.1 洪水預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)模型表(理論單位線族)

洪水預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)模型表見(jiàn)表1。

表1 洪水預(yù)報(bào)標(biāo)準(zhǔn)模型表

5.2 確定退水系數(shù)B和時(shí)間標(biāo)尺Tc

用退水段的平均退水系數(shù)代表該洪水曲線的退水系數(shù)(稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)退水系數(shù)B標(biāo)準(zhǔn))，并與徑流系數(shù)r建立回歸關(guān)系。見(jiàn)圖3。

本地退水系數(shù)：B本地=B標(biāo)準(zhǔn)^Tc

時(shí)間標(biāo)尺：Tc=BT×DT/24

其中:DT為當(dāng)?shù)啬Ｐ陀?jì)算時(shí)段長(zhǎng)(小時(shí))，匯流標(biāo)尺BT為實(shí)際流域洪水歷時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)洪水歷時(shí)的比值。 退水系數(shù)B與徑流系數(shù)r關(guān)系見(jiàn)表2。

表2 退水系數(shù)與徑流系數(shù)關(guān)系

退水系數(shù)僅用于預(yù)報(bào)模型開(kāi)始時(shí)(預(yù)熱段)的前期退水的計(jì)算，之后的連續(xù)預(yù)報(bào)則無(wú)此需求。

5.3 確定理論單位線參數(shù)

理論單位線曲線參數(shù)：

ai=0.00875×(ri×Kqqt×10)^2+0.02375×(ri×Kqqt×10)+0.0175

bi=0.00875×(ri×Kqqt×10+1)^2+0.02375*(ri×Kqqt×10+1)+0.0175

si=100×(1/ai-1/bi)

其中：Kqqt各種匯流應(yīng)用調(diào)節(jié)系數(shù)，用于洪水過(guò)程的局部修正(主要由人類(lèi)活動(dòng)影響確定)和洪水過(guò)程的整體修正(可由洪峰修正系數(shù)確定)；ri為時(shí)段i的徑流系數(shù)(又稱(chēng)產(chǎn)流系數(shù)、出流系數(shù))，是參數(shù)ai，bi的主要控制變量。

5.4 計(jì)算單位線匯流時(shí)段平均流量

單位線匯流時(shí)段平均流量(m3/s)：

qij=0,當(dāng)tj-ti<1

qij=-Ri/0.000864×100/si×TC×((exp(-ai×(tj-ti)×TC)-exp(-ai×(tj-ti)×TC))/ai/TC-(exp(-bi×(tj-ti)×TC)-exp(-bi×(tj-ti)×TC))/bi/TC),當(dāng)tj-ti>=1

其中：Ri為時(shí)間標(biāo)尺TC、時(shí)段i的產(chǎn)流量(又稱(chēng)徑流總量)，108m3。

理論單位線預(yù)報(bào)應(yīng)用實(shí)例：將理論單位線曲線族模型應(yīng)用到豐滿2013年連續(xù)洪水預(yù)報(bào)當(dāng)中，預(yù)報(bào)曲線與實(shí)際曲線符合程度較高，預(yù)報(bào)結(jié)果見(jiàn)圖4-圖6。

圖4 豐滿流域面雨量

圖5 單位線曲線族疊加曲線

圖6 豐滿2013年連續(xù)洪水預(yù)報(bào)曲線

6 結(jié) 論

1) 洪水徑流數(shù)學(xué)描述——理論單位線曲線族數(shù)學(xué)公式的提出，為水文基礎(chǔ)理論在匯流方面的研究提供了一種新的完備理論匯流模式。

2) 理論單位線曲線族數(shù)學(xué)公式及其標(biāo)準(zhǔn)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具備外延遞推的合理性，通過(guò)理論單位線曲線族與徑流系數(shù)之間建立恰當(dāng)?shù)年P(guān)系，可以解決復(fù)雜的流域徑流的匯流預(yù)報(bào)問(wèn)題。

3) 由于理論單位線族具備豐枯全過(guò)程連續(xù)覆蓋的洪水匯流計(jì)算特性，從而有望與其它高精產(chǎn)流預(yù)報(bào)模式相結(jié)合，為后續(xù)建立精確的產(chǎn)-匯一體預(yù)報(bào)模型提供堅(jiān)實(shí)的理論算法，達(dá)到自動(dòng)選配單位線，實(shí)現(xiàn)高精、高效預(yù)報(bào)的目的。