方程模型有途徑 表格策略尋等量

文李 丹

方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。同學們已經學習了一元一次方程、二元一次方程組、分式方程和一元二次方程等知識，感受了方程模型對解決實際問題的作用和價值，積累了一些利用方程解決問題的經驗，即尋找等量關系，必要時可以通過表格幫助我們理清已知與未知的關系，從而列出方程求解。一元二次方程解決問題的基本類型有：圖形面積問題、變化率（增長或下降）問題、銷售利潤問題等。

一、圖形面積問題

例1 南京市某小區有一塊長12米、寬6米的矩形空地，計劃在其中修建兩塊相同的長方形綠化地，它們的面積之和為36平方米，兩塊綠化地之間及周圍留有寬度相等的小路，求小路的寬度為多少米？

【解析】本題可以把兩個綠化矩形拼成一個大矩形，此大矩形的面積為36，找到該矩形的長與寬，其乘積為36建立一元二次方程求解。

解：設小路的寬度為x米，根據矩形的面積公式可得一元二次方程：（12-3x）（6-2x）=36。解這個方程，得 x1=1，x2=6（不合題意，舍去）。

答：小路的寬度為1米。

【點評】本題是典型的圖形面積問題，除了拼接大矩形解決問題外，還可以用整個圖形的面積減小路面積，得到兩塊矩形綠化地面積36，建立方程求解。解決此類問題時，同學們最關鍵的就是找到圖形之間的面積關系。

二、變化率（增長或下降）問題

例2 為了鞏固全國文明城市建設成果，突出城市品質的提升，近年來，某市積極落實節能減排政策，推行綠色建筑。據統計，該市2014年的綠色建筑面積約為700萬平方米，2016年達到了1183萬平方米，若2015年、2016年的綠色建筑面積按相同的增長率逐年遞增，求這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長率。

【解析】設這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長率為x，本題可借助表格分析數量關系：

__________________________________2015年2016年____新增建筑面積（萬平__方________________________________米）總綠色建筑面積（萬__平方米）700x 700（1+x）x 700+700x=700（1+x）700（1+x）+700（1+x）x=700（1+x）2

2016年總綠色建筑面積為1183。再根據相等關系建立一元二次方程求解。

解：設這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長率為x，由題意得：

700（1+x）2=1183，

解得：x1=0.3，x2=-2.3（不合題意，舍去）。

答：這兩年該市推行綠色建筑面積的年平均增長率為30%。

【點評】本題是基本的增長率問題，同學們真正理解a（1+x）n的意義是解決問題的關鍵。

例3 某種商品經過兩次連續降價后，單價由200元下調至128元，求這種商品平均每次降價的百分率。

【解析】設這種商品平均每次降價的百分率為x，本題可借助表格分析數量關系：

_________________________標價（元）200-200x=200（1-x）____200（1-x）-200（1-____________________x）x=200（1-x）2第一次降低（元）__________________200x第二次200（1-x）x

兩次降價后標價128元。再根據相等關系建立方程求解。

解：設這種商品平均每次降價的百分率為x，根據題意得：200（1-x）2=128，

解得：x1=0.2，x2=1.8（不合題意，舍去）。

答：這種商品平均每次降價的百分率為20%。

【點評】本題是基本的下降率問題，同學們真正理解a（1-x）n的意義是解決問題的關鍵。

三、銷售利潤問題

例4 我區正大力發展綠色農產品，有一種有機水果A特別受歡迎，某超市以市場價格10元每千克在我市收購了6000千克A水果，立即將其冷藏，請根據下列信息解決問題。

①水果A的市場價格每天每千克上漲0.1元；

②平均每天有10千克的該水果損壞，不能出售；

③每天的冷藏費用為300元；

④該水果最多保存110天。

（1）若將這批A水果存放x天后一次性出售，則x天后這批水果的銷售單價為______元；可以出售的完好水果還有______千克；

（2）將這批A水果存放多少天后一次性出售所得利潤為9600元？

【解析】（1）根據銷售價=成本價+每天每千克上漲0.1元填空；完好水果的質量=總質量-損壞的水果的質量；

（2）按照等量關系“利潤=銷售總金額-收購成本-各種費用”列出方程求解即可。

售價（元）____銷量（千克）成本（元）冷藏費（元）利潤（元）10+0.1x 6000-10x_____10×6000 300x 9600

可借助表格分析各個量的表示：；

【解答】（1）10+0.1x；6000-10x；

（2）由題意列方程：

（10+0.1x）（6000-10x）-10×6000-300x=9600，

解得：x1=80，x2=120（不合題意，舍去）。

答：這批A水果存放80天后一次性售出所得利潤為9600元。

【點評】本題是典型的銷售利潤模型，等量關系一般為：（售價-成本）×銷售量=總利潤，其中售價和銷售量都跟價格有關，從而據此設定未知量建立方程。

小試牛刀

1.有一條長40cm的繩子，要把它圍成一個矩形，若設矩形的一邊長為xcm，回答以下問題：

（1）怎樣圍成一個面積為75cm2的矩形？

（2）能圍成一個面積為101cm2的矩形嗎？如能，說明圍法；如不能，說明理由。

2.為了建設生態園林城市，某市大力開展植樹造林活動，該市林業部門調查情況如下表：

2011年底21.6年份全市森林擁有面積（萬畝）2009年底15

求2009年底至2011年底該市森林擁有面積的年平均增長率。

3.某玩具廠生產一種玩具，按照控制固定成本降價促銷的原則，為使生產的玩具能夠及時售出，據市場調查：每個玩具按480元銷售時，每天可銷售160個；若銷售單價每降低1元，每天可多售出2個。已知每個玩具的固定成本為360元，問這種玩具的銷售單價為多少元時，廠家每天可獲利潤20000元？

4.某水果店銷售一種水果的成本價是5元/千克。在銷售過程中發現，當這種水果的價格定在7元/千克時，每天可以賣出160千克。在此基礎上，這種水果的單價每提高1元/千克，該水果店每天就會少賣出20千克。

（1）若該水果店每天銷售這種水果所獲得的利潤是420元，則單價應定為多少？

（2）在利潤不變的情況下，為了讓利于顧客，單價應定為多少？