立足核心知識 增強應用意識

文康葉紅

第一章 一元二次方程

領 銜 人：諸士金

組稿團隊：南京市秦淮區初中數學骨干教師孵化第六組

一元二次方程作為整式方程家族里重要的一員，是繼一元一次方程、二（三）元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程后，又一個常見的方程模型。二（三）元一次方程組可以看作是對一元一次方程在“元”上的推廣，那么一元二次方程可以看作是對一元一次方程在“次”上的推廣。

在現實生活中，許多問題中的數量關系都可以抽象為一元二次方程，方程模型豐富多彩。一元二次方程是以前學習的方程知識的延續和深化，它在現實生活以及數學中同樣有著廣泛的應用。我們知道方程模型的研究路徑一般是“概念——解法——應用”，一元二次方程也不例外，下面對本章的知識進行梳理，具體如下：

由這個知識框架我們可以知道，從實際問題中抽象出數量關系、列出一元二次方程、求出方程的解，解決實際問題是學習一元二次方程這一章的主線。因此，我們需要明確學習目標，具體如下：

1.理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程；

2.會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等；

3.了解一元二次方程的根與系數的關系；

4.能根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理；

5.能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型。

了解學習目標后，我們結合中考真題，一起來看一下一元二次方程這一章中的核心知識。

核心知識1：解系數是數字的一元二次方程

例1（2018·徐州）解方程：2x2-x-1=0。

【解析】想要求方程的解，需要觀察這個方程的結構。經判斷這是一個一元二次方程，二次項系數是2，一次項系數是-1，常數項是-1，我們可以選擇配

例2 （2019·揚州）一元二次方程x（x-2）=x-2的根是 。

【解析】觀察這個方程的結構，發現等號兩邊都有x-2，可以移項為：x（x-2）-（x-2）=0，選擇因式分解法（提取公因式）來求解，或者將這個方程化成一般式x2-3x+2=0，選擇公式法或配方法來解這個一元二次方程。

【答案】x1=2，x2=1。

【總結】這兩題考查了一元二次方程的解法。一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是一元二次方程這一章的重點內容之一。解一元二次方程的基本策略是降次，即通過配方、因式分解等，將一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解。具體地，根據平方根的意義，可得出x2=p和（x+n）2=p的解法。通過配方，我們可以將一元二次方程轉化為（x+n）2=p的形式再求解；一元二次方程的求根公式x=方法或者公式法來解這個一元二次方程。，就是對方程ax2+bx+c=0（a≠0）配方后得出的。

核心知識2：判別方程是否有實根和兩個實根是否相等

例3 （2016·宿遷）若一元二次方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是 。

【解析】由題目中信息“方程x2-2x+k=0有兩個不相等的實數根”可聯想到，當b2-4ac＞0時，有兩個不相等的實數根。因此 b2-4ac=（-2）2-4×1×k=4-4k＞0，即k＜1。

【答案】k＜1。

【總結】本題考查的是一元二次方程的根的情況，利用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等。我們只要掌握如下知識，這一類問題便可迎刃而解。

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情況如下：

當b2-4ac＞0時，有兩個不相等的實數根；

當b2-4ac=0時，有兩個相等的實數根；

當b2-4ac＜0時，沒有實數根。

核心知識3：一元二次方程的根與系數的關系

例4 （2019·鹽城）設x1、x2是方程x2-3x+2=0的兩個根，則x1+x2-x1x2=___。

【解析】已知一元二次方程x2-3x+2=0的二次項系數a=1，一次項系數b=-3，常數項c=2，由一元二次方程的根與系數的關系可得x1+x2-x1x2=3-2=1。

【答案】1。

【總結】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，此為選學內容。一元二次方程的根與系數有如下關系：

方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1、x2，則它們之間有如下關系：

核心知識4：用一元二次方程解決實際問題

例5 （2016·泰州）隨著互聯網的迅速發展，某購物網站的年銷售額從2013年的200萬元增長到2015年的392萬元。求該購物網站平均每年銷售額增長的百分率。

【解析】平均變化率問題（以增長為例）中常用的數量關系是：“變化前的量+增長的量=增長后的量”“增長的量=變化前的量×增長率”。將這兩個數量關系合起來可表示為：變化前的量×（1+增長率）=增長后的量。如果設平均增長率為x，2013年的年銷售額為200萬元，2014年的年銷售額為200×（1+x）萬元，2015年的年銷售額為200×（1+x）×（1+x）萬元，即200（1+x）2萬元，根據“從2013年的200萬元增長到2015年的392萬元”，即可列出方程。

解：設該購物網站平均每年銷售額增長的百分率是x。

根據題意，得200（1+x）2=392。

解這個方程，得x1=0.4，x2=-2.4（不合題意，舍去）。

答：該購物網站平均每年銷售額增長的百分率是40%。

【總結】平均變化率問題的關鍵是理解變化率和變化量的區別，進而正確理解經過1次、2次變化，數量的變化量和變化率的表示。可設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過2次變化后的數量關系可表示為a（1±x）2=b。

例6 （2018·鹽城）一商店銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元。為了擴大銷售、增加盈利，該店采取了降價措施，在每件盈利不少于25元的前提下，經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件。

（1）若降價3元，則平均每天銷售數量為_______件；

（2）當每件商品降價多少元時，該商店每天銷售利潤為1200元？

【解析】問題中涉及的數量關系較多，如：“降價前每件商品的利潤×降價前每天的銷售量=降價前總利潤”“降價后每件商品的利潤×降價后每天的銷售量=降價后總利潤”“降價前每件商品的利潤-每件商品的降價數=降價后每件商品的利潤”“降價前每天的銷售量+2×降價數=降價后每天的銷售量”等。

我們可以借助列表的形式分析其中的數量關系，其中設每件商品降價x元時，該商店每天銷售利潤為1200元，則可表示如下表：

800 1200每天的銷售量（件）總利潤（元）降價前降價后每件商品的利潤（元/件）40 40-x 20 20+2x

解：（1）26；

（2）設每件商品降價x元時，該商店每天銷售利潤為1200元，則平均每天銷售數量為（20+2x）件，每件盈利為（40-x）元，且40-x≥25，即x≤15。

根據題意可得（40-x）（20+2x）=1200，

整理得，x2-30x+200=0，

解得x1=10，x2=20（不合題意，舍去）。

答：每件商品降價10元時，該商店每天銷售利潤為1200元。

【總結】一元二次方程是刻畫現實世界中某些數量關系的有效數學模型。在運用一元二次方程分析、表達和解決實際問題的過程中，利用表格可以幫助我們分析其中的數量關系，建立數學模型解決實際問題。

此外，我們還要根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理。

總之，對于一元二次方程的學習，我們在解一元二次方程時，抓住“降次”這一基本策略，在解決實際問題時，利用表格或者線段示意圖分析題意，尋求數量關系，嘗試建立方程模型解決問題，增強數學應用意識，努力做到化繁為簡、化難為易、有的放矢。