借助于“運動” 架設好“橋梁”
——例說全等三角形的構造

2019-10-22 02:15:00文丁建生

初中生世界 2019年34期

文丁建生

證明三角形全等或通過證明三角形全等進而證明線段、角等之間的關系是這一章中典型的問題。當全等三角形的條件很具體、直接、明顯時，這類問題很好解決，只需要我們識別圖形并規范、認真作答，做到步步有據即可。然而，有時題目中的全等三角形不是一眼就能看出來的，需要我們挖掘、構造。構造的過程其實就是在原有圖形的基礎上適當連接、添加輔助線的過程，輔助線的作用恰似“橋梁”。而構造全等三角形必須要有方向。從圖形的運動（平移、旋轉、翻折）出發，是一種有效、可行的方法，下面舉例說明。

一、運用平移構造全等

例1如圖1，在梯形ABCD中，AD∥BC，對角線AC、BD相交于點O。若梯形的面積為1，試求以AC、BD、AD+BC的長度為三邊長的三角形的面積。

圖1

【解析】要解決這個問題，應構造一個三角形，使三邊的長度與AC、BD、AD+BC相同。平移AC至DE，即過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E。由于AD∥BE，不難證得△ADC≌△ECD（ASA），所以AD=EC，AC=ED。故BE=BC+CE=BC+AD。

又因為△ABD與△ACD等積，所以△CDE與△ABD等積。所以△BDE的面積=梯形ABCD的面積=1。

例2 如圖2，正方形ABCD中，EF與MN相交于點O，EF=MN，求∠EON。

圖2

圖3

【解析】本題如果是填空或選擇題，可考慮特殊狀態：EF∥AB，MN∥BC（甚至更特殊的是EF、MN分別與AB、BC重合），則∠EON=90°。

在一般狀態下，可聯想到基本圖（如圖3）。正方形ABCD中，若AG=BH，則AG⊥BH；若AG⊥BH，則AG=BH。故在圖2中，過B作BH∥MN交CD于H，過A作AG∥EF交BC于G，AG交BH于K，此時不難證明EF=AG，MN=BH，∠AKH=∠EON，這就轉變成了圖3的問題。故得∠EON=90°。

【反思】平移就是將線段（或圖形）平行移動，自然就得到同位角、內錯角相等，平移前后的線段相等。通過平移，將角、線段實行了轉移，使分散的條件相對集中，構成了全等三角形，促使問題得到迅速解決。

二、運用旋轉構造全等

例3如圖4，△ABC中，AB=AC，M、N為BC上兩點，∠BAM+∠CAN=∠MAN，BM=2，CN=3，求MN的取值范圍。

圖4

【解析】根據兩角和的條件，設法將兩角拼在一起。因為AB=AC，故將△ANC繞點A旋轉至△APB處，則△ANC≌△APB。∠CAN=∠BAP，AN=AP，CN=BP，易證得△AMN≌△AMP，所以MN=MP。又因為△BMP中，BP=3，BM=2，所以 1＜MP＜5。故1＜MN＜5。

例4 如圖5，已知AC∥BD，AE平分∠CAB且E為CD中點，求證：AB=AC+BD。

圖5

【解析】本題的結論是要求兩線段的和AC+BD，故首先要作出或找到AC+BD的線段。因為AC∥BD，所以∠C+∠D=180°，所以將△ACE繞E旋轉180°至△FDE處。此時△ACE≌△FDE，所以∠C=∠EDF，∠CAE=∠DFE，AC=FD。所以 ∠CDB+∠EDF=∠CDB+∠C=180°，BF=DF+BD=AC+BD。又因為AE平分∠CAB，所以∠CAF=∠BAF。故在△ABF中，∠F=∠BAF，所以AB=BF，所以AB=AC+BD。

【反思】旋轉前后的兩個圖形是全等的。例3中，通過旋轉將分散但有關系的兩個角“合并”在一起，這樣才能運用題目條件求解相關問題。例4中的旋轉有兩個前提：CE=DE，∠C+∠D=180°，這才保證了△ACE≌△FDE，∠BDF=180°，這樣的旋轉才有價值。在圖5中，若連接BE，則能得到其他一些結論。同學們，你有什么發現？