數(shù)學核心素養(yǎng)下的三角函數(shù)高考試題分析及建議-基于近五年全國Ⅰ卷數(shù)學(理科)試題的研究

李霞 姜晶 聊城大學數(shù)學科學學院 山東聊城 252000

一、引言

2018年,山東省教育廳發(fā)布的《山東省2018年普通高等學校考試招生工作(夏季高考)實施意見》,提出所有考試科目統(tǒng)一使用全國Ⅰ卷."三角函數(shù)的內(nèi)容至關(guān)重要,三角函數(shù)不僅是連接幾何和代數(shù)的一座橋梁,還是溝通初等數(shù)學與高等數(shù)學的一條通道【1】."本文基于近五年全國Ⅰ卷高考理科數(shù)學試題,對其中涉及到的三角函數(shù)試題的內(nèi)容、考點以及部分三角函數(shù)試題所考查的數(shù)學核心素養(yǎng)進行分析并提出教學建議.

二、三角函數(shù)的內(nèi)容分析

高中數(shù)學教材中,三角函數(shù)部分編排在必修課本中.盡管教材版本存在差異,但總體來說,三角函數(shù)的內(nèi)容概括為如下幾個方面:任意角的三角函數(shù)、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角恒等變換和解三角形.

根據(jù)《普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明》對三角函數(shù)部分的要求,可以分為13個知識考點,具體的知識考點如下:任意角和弧度制、任意角的三角函數(shù)的定義、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式 周期函數(shù)的定義、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的簡單應(yīng)用 兩角和與差公式、二倍角公式、簡單的三角恒等變換 正余弦定理、正余弦定理的簡單應(yīng)用.

三、數(shù)學核心素養(yǎng)下的三角函數(shù)考題分析

1.考題中的考點分析

對2014-2018年新課標全國Ⅰ卷理科數(shù)學試題的統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),共有12個題目考查了三角函數(shù)的內(nèi)容.2014至2015年,均以填空題和選擇題的形式考查 2016至2018年均以一個解答題和一個填空題或選擇題的形式進行了考查.對這12個題所涉及的考點進一步分析發(fā)現(xiàn),每年至少會涉及到13個考點中的5個考點,而且每道題目都是多個考點綜合考查,有的題目還會與其他章節(jié)的知識結(jié)合起來進行考查.

2.考題中包含的核心素養(yǎng)分析

《普通高中數(shù)學課程標準(2017)》指出,數(shù)學學科核心素養(yǎng)是數(shù)學課程目標的集中體現(xiàn),主要包括數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析六個方面【2】.筆者結(jié)合近五年全國Ⅰ卷理科數(shù)學試題,抽取三角函數(shù)的部分題目,基于數(shù)學核心素養(yǎng)來進行策略分析.

例 1.(2014高考新課標I,理6)如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角x的始邊為射線OA,終邊為射線OP,過點P作直線OA的垂線,垂足為M,M到直線OP的距離表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)在[0,π]上的圖象大致為( ).

分析:本題考查了任意角的三角函數(shù)和正弦函數(shù)的圖象.該題目注重對學生直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)學建模三大核心素養(yǎng)的考查.題中點P是動點,則需借助直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng),分析點P的運動規(guī)律,利用圖形解決數(shù)學問題 建立動點P的位置與"點M到直線OP的距離"之間的關(guān)系,進而探索解題思路,得到解析式.本題的背景正是借助單位圓給出了三角函數(shù)的自然語言表征與圖象表征,即"點M到直線OP的距離"與四個圖象的選項.考生要建立這兩者的關(guān)聯(lián),即需要學生具備數(shù)學建模的關(guān)鍵能力.

例2.(2015高考新課標 I,理 8)f(x)=cos(ωx+φ),函數(shù)的部分圖象如圖所示,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為( )

分析:三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以通過分析三角函數(shù)的解析式得到.本題中給出函數(shù)圖象,但解析式未知,所以要先求出函數(shù)的解析式,確定解析式f(x)=Acos(ωx+φ)+b的步驟如下:

(1)求A,b:確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則

.

(3)求φ:常用方法是代數(shù)法,即把函數(shù)圖象上的一個最高點(或最低點)代入解析式,進而求出φ的值.本題中A=1,b=0已知,所以只需要求出ω和φ即可.這樣就得到了三角函數(shù)的解析式,再利用其性質(zhì)求單調(diào)遞減區(qū)間.本題是對學生數(shù)學建模、邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)的考查.

則( )

分析:公式的活學活用在三角函數(shù)這一部分尤其重要.本題中給出α,β的范圍,并且給出一個關(guān)系式,學生要學會使用轉(zhuǎn)化的思想,即要注意公式的逆用和變形,本題的解法中用到了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角差的正弦公式等知識.總體來看學生應(yīng)掌握三角函數(shù)公式的活用技巧,即在解題的過程中頭腦中要有一定的邏輯性,本題主要是對學生邏輯推理素養(yǎng)的考查.在解題過程中還考查到了數(shù)學運算素養(yǎng).

通過以上分析可以看出,三角函數(shù)這一部分除了數(shù)據(jù)分析外,其他核心素養(yǎng)教學過程中都會有所體現(xiàn),所以在教學中除了要求學生掌握基本知識,也應(yīng)該發(fā)展學生的核心素養(yǎng).

四、核心素養(yǎng)下三角函數(shù)部分的教學建議

根據(jù)對近五年全國Ⅰ卷理數(shù)試題中三角函數(shù)部分的試題分析,我們認為應(yīng)激發(fā)學生的學習興趣,將核心素養(yǎng)應(yīng)用于實際教學中,提升數(shù)學教學質(zhì)量."應(yīng)建構(gòu)以能力培養(yǎng)為抓手,提升學生數(shù)學素養(yǎng)的教學策略【3】."因此,從數(shù)學核心素養(yǎng)角度出發(fā),提出以下建議:

1.利用數(shù)形結(jié)合,發(fā)展學生直觀想象的核心素養(yǎng)

"數(shù)學概念是數(shù)學的基石【4】."將抽象的數(shù)學概念轉(zhuǎn)化為具象的數(shù)學圖形可以加強學生的理解,這就要求學生具備直觀想象的核心素養(yǎng).根據(jù)三角函數(shù)概念的基本特征,教師應(yīng)從數(shù)和形兩個方面來加深學生對基本概念的理解,從而發(fā)展學生直觀想象的核心素養(yǎng).例如,在求解例1時,需要利用數(shù)形結(jié)合幫助學生理解用單位圓定義三角函數(shù)這一概念,發(fā)展學生直觀想象的核心素養(yǎng),進而幫助學生理解該題的運算方法.

2.借助多媒體,提升學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

例2考查了學生的數(shù)學建模核心素養(yǎng),要培養(yǎng)學生的這一核心素養(yǎng),可以借助多媒體來幫助學生理解三角函數(shù)的圖象和性質(zhì).正弦和余弦函數(shù)圖象非常相似,有些學生經(jīng)常混淆相關(guān)的知識點,多媒體能夠直觀的展示出圖象的變化過程,幫助學生理解參數(shù)對圖象變化的影響,從而提升學生數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

3.利用口訣記憶,培養(yǎng)學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng)

在求解例1~3時,都用到了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).尤其是解例3時,要求學生對三角函數(shù)公式能夠活學活用.為方便學生對公式準確記憶,更好的進行數(shù)學運算,我們可以根據(jù)公式特點概括出相應(yīng)口訣,促進記憶,從而培養(yǎng)學生數(shù)學運算的核心素養(yǎng).例如,對于誘導(dǎo)公式,可以總結(jié)出"奇變偶不變,符號看象限"的口訣.

4.加強思維訓練,發(fā)展學生邏輯推理的核心素養(yǎng)

在求解例2~3的過程中,都考查了邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).為了發(fā)展邏輯推理這一核心素養(yǎng),要注重學生思維能力的培養(yǎng).首先,培養(yǎng)邏輯表達能力.教師應(yīng)充分利用三角函數(shù)知識特點,積極開展合作學習,引導(dǎo)學生進行分析和總結(jié).其次,注重邏輯思維同步模仿訓練.教師要充分調(diào)動學生學習的積極性和主動性.最后,注重思維過程的展示.教師應(yīng)通過示范和啟迪,充分展示自己多層次的思維過程,以發(fā)展學生的邏輯推理的核心素養(yǎng).

5.注重討論探究,提升學生數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)

抽象來自于對于具體事物的抽象與概括,數(shù)學抽象是指抽取出同類數(shù)學對象本質(zhì)的屬性或特征.在三角函數(shù)的教學過程中,注重學生的討論探究更有利于學生對本章知識的理解.例如,在任意角三角函數(shù)這節(jié)課的學習過程中,可以先復(fù)習定義,然后將角放入直角坐標系中,經(jīng)過學生的討論探究,就可以抽象出任意角的三角函數(shù)的定義了.