垂徑定理的應(yīng)用

垂徑定理及其推論，是圓一章最重要的定理，在計(jì)算、證明、作圖、生產(chǎn)生活等各個(gè)方面都有廣泛的應(yīng)用.

一、確定圓心和半徑

確定圓心的常用方法有：① 用垂徑定理 作任意兩條弦的中垂線，這兩條中垂線的交點(diǎn)就是圓心；② 利用垂徑定理的推論 90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，兩條直徑的交點(diǎn)就是圓心.

例1 有一塊圓形木板，小軍要在它的正中間打一個(gè)小孔，制一個(gè)玩具，而身邊只有一塊三角板（三角板的斜邊大于圓的直徑），你能幫他找到圓心嗎？

解析： 借助三角板的直角，可以利用垂徑定理的推論來確定圓心.如圖1，首先將三角板的直角頂點(diǎn)放在圓周上任意一點(diǎn)，兩條直角邊交圓于A，B兩點(diǎn)，則AB就是圓的直徑.同樣方法再得到另一條直徑CD.兩條直徑交于O點(diǎn)，則O點(diǎn)就是要找的木板圓心.

例2 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一圓弧過小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)A，B，C，已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（－3，5），則該圓弧所在圓的圓心坐標(biāo)為．

解析： 本題可以利用垂徑定理解決.如圖3，弦AB，BC的兩條垂直平分線的交點(diǎn)G就是圓心.從圖上可以看出，G點(diǎn)的坐標(biāo)為（－1，0）.

二、實(shí)際應(yīng)用

例3 小明不慎將家里的一塊圓形玻璃打碎了，其中四塊碎片如圖4所示.為配到與原來大小一樣的圓形玻璃，小明帶到商店里去的一塊玻璃碎片應(yīng)該是（）.

A. 第①塊 B. 第②塊

C. 第③塊 D. 第④塊

解析： 只要知道圓上的一段弧，就可以畫出兩條弦，只要知道圓的任意兩條弦，這兩條弦的中垂線交點(diǎn)就是圓心，確定了圓心及半徑就確定了整個(gè)圓.因此，只要帶第②塊就可以了.選B.

例4 如圖5，有三家工廠A，B，C，它們不在一條直線上，現(xiàn)在三家共同出資打一口井向三家供水，要求這口井到三家的距離相等，你能幫他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)方案嗎？

解析： 三家的地點(diǎn)可以確定一個(gè)圓，水井打在這個(gè)圓的圓心上，到三家的距離相等.這就歸結(jié)為作三點(diǎn)確定的圓的圓心.分別作線段AB，BC的垂直平分線，兩條直線交于點(diǎn)O，則O點(diǎn)就是打井的地點(diǎn)，如圖6.