感生和動生磁動勢的產生和測量

鄒劍飛 張開驍

摘?要：全電流安培環路定律表明磁場的環量除了可以由傳導電流產生，還可以由電位移通量的變化產生，據此可以推廣磁路中磁動勢的概念。磁動勢應包括傳導電流產出的常規磁動勢和電位移通量變化導致的感應磁動勢。再類比電路中的感生和動生電動勢，可以把感應磁動勢分解為感生和動生磁動勢，其中感生磁動勢來自于穿過磁路的外電場的變化，動生磁動勢來自于磁路線段切割電場線的運動。而且本文提出了在實驗上測量感生和動生磁動勢的實驗方案。

關鍵詞：電磁學;磁路;磁動勢

1 緒論

把各種電氣元件如電源、電阻和電容等通過導線連成閉合回路就構成了電路。要在電路中形成電流，就要有電源提供電動勢。電動勢驅動電路中的電子（載流子）定向移動形成電流。所有的直流和低頻交流電路都滿足兩個基本定律，即基爾霍夫第一和第二定律。[1-2]其中第一定律即電流定律來源于電流的連續性方程，第二定律即電壓定律是靜電場和似穩電場環路定理的直接結果。電路是電流形成的閉合回路，與之對應，磁路是磁通構成的閉合回路。例如繞有線圈的閉合鐵芯環構成的磁路，其中高導磁的鐵芯組成導磁回路，相當于電路中的導線和電阻器。鐵芯上的線圈通有電流，在鐵芯環中產生磁通，相當于電路中的電源。可以看到磁路和電路具有類比（對偶）關系。[3-4]事實上，磁路系統也有類似于電路的歐姆定律和基爾霍夫定律。[1-2]根據磁路中磁通的連續性可以得到磁路的基爾霍夫第一定律，根據磁場強度的安培環路定律可以得到磁路的歐姆定律和基爾霍夫第二定律。磁路理論在電機、變壓器和磁流變阻尼器等電器的研發設計中發揮重要作用。[5-7]

電路中電源的類型有很多種，不同類型的電源產生電動勢的非靜電力不一樣。例如干電池和蓄電池把化學能轉化為電能，非靜電力是有效的化學力。發電機是把機械能轉化為電能，非靜電力是感生電場或洛倫茲力。而在磁路中，磁動勢的來源在教科書和其他研究論文中只涉及一種，即通電線圈或等效的磁鐵。本論文則提出了基于磁路中電位移通量的改變而引起的感應磁動勢的概念。類比電路中的感生和動生電動勢，我們把感應磁動勢細分為感生和動生磁動勢。而且我們在理論上設計了一個實驗裝置用于測量這兩種感應磁動勢。

2 推廣的磁動勢

先簡單回顧一下電路中電動勢的概念。電動勢是電源的重要參數，它表示把單位正電荷從負極經電源內部移動到正極的過程中非靜電力所做的功，其定義式是：

ε=∫?+?- E??ne?·dl，?（1）

其中?E??ne.為電源內部有效的非靜電力，例如在化學電池內部非靜電力為化學力。

電路中除了各種電池可以產生電動勢外，利用電磁感應現象也可以產生電動勢，例如發電機。根據法拉第電磁感應定律，線圈中磁通量的改變產生感應電動勢：

ε=-d?Φ??m?dt，?（2）

其中??Φ??m?=?SB·dS?是線圈中通過的總磁通，它關于時間的變化率可以分成兩部分：

-d?Φ??m?dt=-?SBt·dS+∮v×B·dl，?（3）

其中第一項?ε??i?=-?SBt·dS?表示線圈固定時改變磁場導致的感生電動勢，它的本質是變化的磁場在空間激發感生電場（渦旋電場），利用麥克斯韋方程表示即?∮?E??i?·dl=-?SBt·dS?，其中?E??i.表示感生電場或總電場。第二項?ε??e?=∮v×B·dl?表示在磁場不變的條件下導線以速度?v?運動導致的動生電動勢?ε??e.，它的本質是電子所受洛倫茲力沿著導線方向做功。

因此，一個電路回路中總的電動勢可表示為

ε=∮?E??K?·dl=?ε??ne?+?ε??i?+?ε??e?，?（4）

這兒總的非靜電力由三部分組成?E??K?=?E??ne?+?E??i?+v×B?，其中外接電源內部的有效非電場力（如化學力和熱力）?E??ne.產生外加電動勢?ε??ne.，感生電場?E??i.產生感生電動勢?ε??i.，洛倫茲力?v×B?產生動生電動勢?ε??e.。

類比電路中電動勢的概念，可以在磁路中引入磁動勢的概念，它表示在磁性材料中產生磁通或磁場的起因，定義為：

F??m?=∮H·dl，?（5）

其中?H?為磁路上的磁場強度。在傳統的磁路中磁動勢來源于勵磁電流?F??m?=NI?，其中?I?是纏繞在磁路上的載流線圈中的電流強度，?N?為匝數。但根據全電流安培環路定律：

∮H·dl=NI+d?Φ??D?dt，?（6）

其中??Φ??D?=?SD·dS?是電位移通量，它關于時間的變化率可以分成兩部分：

d?Φ??D?dt=?SDt·dS-∮v×D·dl，?（7）

上式中的第一項?F??im?=?SDt·dS?代表磁路固定時電位移（電場）變化導致的磁動勢，第二項?F??mm?=-∮v×D·dl?表示電位移不變的條件下磁路運動產生的磁動勢。仿照法拉第電磁感應定律中感應電動勢的分類，我們稱?F??im.為感生磁動勢（induced magnetomotive force），?F?mm.為動生磁動勢（motional magnetomotive force）。這兩種磁動勢都是電位移通量的變化引起的，可以統稱為感應（induction）磁動勢。另外，由勵磁電流激發的傳統磁動勢不妨稱為電流磁動勢?F?cm?=NI?。這樣，磁路中總的磁動勢可表示為

F?m=F?cm?+F?im?+F?mm?，?（8）

可以看到，推廣的磁動勢和電動勢公式形式上具有一一對應關系，它們的對應關系見下表。

電動勢和磁動勢的對應關系表

總電動勢

ε=∮?E??K?·dl

總磁動勢

F??m?=∮H·dl

外接電源電動勢

ε??ne?=∫?+?- E??ne?·dl

電流磁動勢

F??cm?=IN

感生電動勢

ε??i?=-?SBt·dS

感生磁動勢

F??im?=?SDt·dS

動生電動勢

ε??e?=∮v×B·dl

動生磁動勢

F??mm?=-∮v×D·dl

對于一個簡單的閉合磁路，全磁路歐姆定律可表示為：

F??m?=∑?i.R??i. Φ??m?，?（9）

這里?R??i.表示第?i?段磁路的磁阻，??Φ??m.表示磁路中的磁通。對于復雜的磁路，全磁路歐姆定律可以推廣到基爾霍夫第二定律的形式。需要強調的是，據我們所知，感生磁動勢和動生磁動勢這兩個概念還沒有在其他的文獻中提出過，而且動生磁動勢的表達形式也沒有在任何其他文獻中出現過。

3 感生磁動勢的實驗測量

考慮下圖所示的矩形磁路系統，放置在真空或空氣中并處在?xoy?平面，外加電場?E?垂直于磁路所在平面。我們采用細長的磁性材料做磁路，其中磁路?ab?—?段長為?l??1.，?bc?—?段長為?l??2.，磁路線段的截面積均為?S?。磁路中?ab?—?段磁棒可沿水平（?x?軸）方向自由滑動，其他線段都固定不動。?cd?—?段纏繞一個線圈，匝數為?N?，它外接一個電壓表，用以測量感應電動勢。?da?—?段中開一個小空隙放置Hall探頭，用以測量磁場。

感生和動生磁動勢的產生和測量圖

當磁路固定不動電場變化時，系統中有感生磁動勢產生。假設電場變化規律?E（t）=?E??0.cos?ωt?，則根據公式（7）得感生磁動勢

F??im?=-?0.l??1.l??2?ω?E??0.sin?ωt，?（10）

根據磁路歐姆定律可得磁路中產生的磁通

Φ??m?=-?0.l??1.l??2?ω?E??0.sin?ωt?R??m?，?（11）

其中?R??m.為磁路中的總磁阻。考慮磁路中空隙長度?δ?為小量，總磁阻可表示為?R??m?=2（?l??1?+?l??2?）?μ??0?μ??r?S+δ?μ??0?S?，其中?μ??0.和?μ??r.分別表示真空磁導率和導磁材料的相對磁導率。因此空隙中的磁感應強度

B=?Φ??m?S=-?0.l??1.l??2?ω?E??0.sin?ωt?R??m?S，?（12）

利用霍爾效應傳感器，通過測量霍爾電壓可以求出空隙中的交變磁感應強度，從而可求出外加電場的強度和頻率，進一步可求出感生磁動勢。

另外，根據法拉第電磁感應定律，線圈中有感應電動勢產生，即實驗上測得線圈兩端的電壓：

U=-Nd?Φ??m?dt=?N??0.l??1.l??2.ω.2.E??0.cos?ωt?R??m?，?（13）

可以看到線圈輸出一個和外加電場同頻率的交變電壓，并且電壓正比于外加電場強度?E??0.和頻率的平方。因此通過測量線圈中的感應電動勢也可以求得外加電場的強度和頻率，再代入公式（10）可得磁路中的感生磁動勢。

實驗上若取磁路尺寸?l??1.=l??2?=20cm?，截面積?S=1?cm.2.，空隙?δ=0.5cm?，材料相對磁導率?μ??r?=1000?，線圈匝數?N=1000?，電場幅度?E??0?=300V/cm?，頻率?f=ω2π=10KHz

。可得磁場的頻率為?10KHz?，磁場振幅?B??0?=1.4×?10.-3?Gs

，可見磁場太小，實驗上測量困難，但可以通過增加電場強度或頻率的辦法來增大感應磁場。另一面，線圈電壓的頻率也為?10KHz?，振幅?U??0?=0.91mV?。若磁路中無空氣隙，電壓可增大到?U??0?=66mV?。可見實驗上線圈輸出電壓容易測量。

4 動生磁動勢的實驗測量

當磁路置于沿?z?方向的靜電場?E??0.中時，磁棒?ab?—?沿?x?方向以速度?v?運動，磁路中有動生磁動勢產生，表達式為

F??mm?=D?l??1?v=?0??r.E??0.l??1?v，?（14）

注意這里的電位移位于相對介電常數為??r.的磁棒中。就像電路中導線不考慮磁化一樣，傳統的磁路線段是不考慮介質的電極化的，這時??r?=1?。但實際的磁路若用硅鋼、碳鋼等金屬作導磁材料，它們處在靜電場中時內部的電位移為零，因此用金屬材料做磁路難以觀測到動生磁動勢。實驗上要觀測動生磁動勢，應使用非金屬磁性材料，如稀土氧化物。

根據磁路歐姆定律可得空隙中的磁感應強度

B=?Φ??m?S=?0??r.E??0.l??1?vS?R??m?，?（15）

注意磁棒運動導致總磁路長度的改變，因此磁阻隨時間發生變化，變化率?d?R??m?dt=2v?μ??0?μ??r?S?。如果磁棒以速度?v?做勻速直線運動，則?v>0?（?v<0?）時磁場隨時間單調減小（增加）。

另一方面，由于磁棒的運動導致磁動勢和磁阻的變化，從而導致磁通量的變化，因此在線圈中產生感應電動勢

U=-Nd?Φ??m?dt=- N??0??r.E??0.l??1.R??m?dvdt+?N??0??r.E??0.l??1?v?R.2??m?d?R??m?dt，?（16）

其中第一項來源于磁棒的加速運動導致的感應電動勢，第二項來源于磁阻的變化導致的感應電動勢。如果磁棒做勻速直線運動則，則式中第一項為零，且?v>0?（?v<0?）時測得的感應電動勢隨時間逐漸減小（增加）。

如果磁棒在?x?方向做簡諧振動，速度為?v=?v??0.sin?ωt?，則磁路中產生交變磁動勢?F??mm?=?0. ?r.E??0?l??1?v??0.sin?ωt?。若磁棒振動幅度小，可忽略磁路因長度的變化導致的磁阻變化，則磁感應強度表達式為：

B=?0??r.E??0. l??1?v??0.sin?ωtS?R??m?，?（17）

可見磁感應強度是交變的，頻率同磁棒的振動頻率。同時線圈中產生的交變感應電動勢簡化為：

U=- N??0??r.E??0. l??1?v??0?ω?cos?ωt?R??m?.?（18）

因此當磁棒運動時，也可以通過測量磁場或感應電動勢的方法測量磁動勢。

實驗上若磁路參數同上一節，導磁材料相對介電常數??r?=5?，靜電場?E??0?=300V/cm?，磁棒振動頻率?f=ω2π=500Hz?，振幅?A=2cm?，可得磁場振幅?B??0?=3.6×?10.-5?Gs?，這個磁場太小，實驗上測量困難，但可以通過增加磁棒振幅或頻率的方式增大磁場。另一面，磁路中有無空隙時線圈兩端電壓幅度分別為?U?0=1.1μV?和?82μV?。線圈輸出電壓也較小，但在實驗上還是容易測量的。因此實驗上測量感生和動生磁動勢的最好方法都是利用線圈測量感應電動勢。需要說明的是，我們這里研究的是理想的磁路系統，沒有考慮導磁材料的磁滯損耗、邊界效應以及磁漏等因素。這在磁性材料磁導率很高，電導率很小，線圈匝數很密，磁路中空隙很小，電場強度和頻率不大的條件下是合理的。

5 總結

根據全電流安培環路定律以及電路和磁路的類比關系，我們提出了與感生和動生電動勢對應的感生和動生磁動勢的概念，指出了變化的電場產生感生磁動勢，預言了磁路的一部分切割電場線運動時產生動生磁動勢的現象，并指出了在實驗上可以通過測量線圈中感應電動勢的辦法來觀測感應磁動勢。

致謝

作者感謝河海大學理學院朱衛華教授有益的討論。本論文受國家自然科學基金（批準號：61404044）的資助。

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