永磁偏置磁軸承的H∞混合靈敏度控制研究

姜浩 竇珂

摘 要：闡述了徑向四自由度永磁偏置磁軸承的系統結構及工作原理，采用機理建模法建立了控制系統的數學模型并進行簡要分析。應用H_∞混合靈敏度控制方法和MATLAB魯棒控制工具箱設計了永磁偏置磁軸承控制器，并在MATLAB/Simulink平臺下對控制系統性能進行了仿真，仿真結果表明：H_∞混合靈敏度控制系統的魯棒穩定性及抗干擾能力均達到預期指標。

關鍵詞：永磁偏置磁軸承;H_∞混合靈敏度控制

TheH_∞?mixed-sensitivity Control of Permanent Magnetic biased Magnetic Bearings

JIANG Hao，DOU Ke

（NO. 710 R&D Institute CSIC， Yichang 443003， China）

Abstract： The structure?and principle of the four-DOF radial Permanent Magnet biased?Magnetic Bearings is described.The mathematic model of?the control system is established by?the physical theory.?the control system is designed by TheH_∞ mixed-sensitivity?control?approach and?the?MATLAB?Robust Control?Toolbox， and under the MATLAB/Simulink?platform， the?performance of?the designed?controller?is?simulated， the simulation?results show that the prospective?robust stability?and disturbance suppression?performance?of theH_∞mixed-sensitivity?control system?are both reached.

Key words： Permanent Magnets Biased Magnetic Bearings;H_∞mixed-sensitivity Control

0 ??引言

磁軸承（又稱磁力軸承、磁懸浮軸承）是一種能進行主動控制的機電一體化軸承。其基本原理是利用磁場力將轉軸懸浮在磁場中，使轉軸在空間無機械接觸、無磨損的旋轉。與傳統的滾動軸承和滑動軸承相比，磁軸承不存在機械接觸，轉子可以達到很高的旋轉速度.具有無磨損、能耗低、噪聲小、壽命長、無需潤滑、無油污染等優點，具有廣泛的應用前景^{[1] [2]}。

永磁偏置磁軸承是一種混合磁路型磁軸承，利用永磁材料替代主動磁懸浮軸承中的偏置電流產生靜態偏置磁場，具有耗能低、線圈匝數少等特點，具有一定的研究和應用價值。近年來，隨著高磁能積稀土永磁材料的發展和成熟，對永磁偏置磁軸承的研究逐漸成為國內外磁軸承領域的研究熱點之一^[3]。

控制系統是磁軸承系統的核心，不但決定能否實現系統的穩定而且決定系統的剛度和阻尼，影響系統的動態特性和魯棒性^[2]。考慮到永磁偏置磁軸承系統被控對象存在以下特點：1）控制電流和轉子位移的強烈非線性;2）各自由度之間存在較強的慣性耦合和陀螺效應;3）轉子密度不均引起的干擾力及較大負載力變化，因而在永磁偏置磁軸承的控制系統設計中魯棒穩定性問題和抗干擾問題異常突出。

針對這種存在較大不確定性的系統，理論和試驗均表明經典PID控制往往難以取得好的控制效果，因而本文嘗試采用H_∞控制理論中的混合靈敏度方法進行研究。

1 永磁偏置磁軸承的工作原理及模型描述

1.1 工作原理

徑向四自由度永磁偏置磁軸承系統主要包括位移傳感器、控制器、功率放大器、永磁體、電磁鐵芯和轉子六部分，其任一自由度工作原理如圖1所示：永磁體和電磁線圈分別用于在定子鐵心、氣隙和轉子鐵芯形成的磁場回路中產生偏置磁通和控制磁通。當轉子向下偏離中心位置時，上氣隙變大，磁阻增加，偏置磁通減小，同理，偏置磁通增加，由于<永磁體產生的偏置磁通不能使轉子回到中心位置，這時通過閉環控制在上下氣隙產生相同控制磁通，使氣隙較大一側總磁通為，使氣隙較小一側總磁通為，當控制磁通滿足時，轉子受到的電磁力>，使被控轉子返回到平衡位置。

1.2 控制系統數學模型

參考文獻[4]所述主動磁軸承模型建立永磁偏置磁軸承模型。為了簡化系統模型、便于分析先作如下假設：1）徑向四個自由度的結構和電氣參數認為完全一致;2）轉子為軸向對稱剛性轉子，繞X、Y兩個軸的轉動慣量相等;3）忽略重力對轉子的影響。基于以上假設，運用剛體動量定理、動量矩定理及有關線性化的電磁力計算公式，得到轉子四個平動自由度的時域模型如式（1）所示。

（1）

采取單自由度分散控制策略，在數學模型中略去陀螺耦合和慣性耦合，對轉子運動模型進行強制解耦，對解耦后時域微分方程進行拉普拉斯變換即可得到徑向四個平動自由度上線圈電流和轉子位移之間的傳遞函數模型如式（2）所示。

（2）

將實際系統中的陀螺耦合與慣性耦合視作受控對象的不確定性，對系統每個徑向自由度模型分別設計魯棒控制器。

根據四自由度轉子運動模型、位移傳感器模型、電流型功率放大器模型和AD轉化模塊的數學模型，得到受控對象的名義模型為：

（3）

2 基于H_∞混合靈敏度方法的控制器設計

2.1 混合靈敏度方法^{[5] [6]}

采用混合靈敏度方法設計控制器一方面可以使系統具有魯棒穩定性的同時能較好地兼顧一定的干擾抑制能力，是H_∞控制理論的典型設計方法。混合靈敏度設計問題的H_∞控制標準化框架如圖3.4所示：

圖中、、、、、、分別為參考輸入、控制誤差、控制輸出、干擾信號、評價信號、系統輸出及控制器輸入，且。為廣義受控對象的傳遞函數模型，為名義受控對象傳遞函數模型，、、分別定義為系統的靈敏度加權函數、控制靈敏度加權函數和補靈敏度加權函數，魯棒性設計指標通過這3個加權函數體現，為根據混合靈敏度優化方法設計的控制器。

目標函數（到的加權傳遞函數矩陣）可以表示如下：

混合靈敏度優化方法可描述為：對廣義受控對象，設計真實有理函數、、，求反饋控制器，使得閉環系統穩定，且有：

在目標函數矩陣中、、為性能函數，他們依次稱為靈敏度函數，補靈敏度函數以及控制靈敏度函數，其表達式分別為：

混合靈敏度優化問題的本質即是通過設計、和依次對、及這三個性能函數的優化。

是是干擾到輸出之間的傳遞函數，是控制器的實際抗干擾能力的度量，代表系統的魯棒性能，越小，則閉環系統的抗擾能力越強，魯棒性能越好;是參考輸入到系統輸出的傳遞函數，則是系統能穩的乘性不確定性的幅值界限，越小，系統能穩的乘性不確定性的幅值界限越大，系統對乘性不確定性的魯棒穩定性越強;是參考輸入到控制器輸出的傳遞函數，則是系統能穩的加性不確定性的幅值界限，越小，系統能穩的加性不確定性的幅值界限越大，系統對加性不確定性的魯棒穩定性越強。

2.2 加權函數選擇及H_∞魯棒控制器設計

關于加權函數的諸多選取原則和技巧參考文獻[7]，對于永磁偏置磁懸浮軸承系統這個具體的研究對象，需要結合該實際系統的不確定性情況進行具體設計。

設定系統的魯棒穩定性指標為：允許的相乘性不確定性在高頻段（大于20000 rad/sec）增益為-3dB;魯棒性能指標為：對低頻（低于942.5 rad/sec）干擾的衰減倍數為-26dB。通過反復比較和分析，三個加權函數分別設計如下：

1）的設計（調整魯棒穩定性）。在系統魯棒穩定性指標的基礎上，反復調整、、、、得到加權函數如下：

2）的設計（調節系統的魯棒性能）。考慮魯棒性指標，調整和得到補靈敏度傳遞函數如下：

3）取為一常數：

圖3為加權函數、的奇異值曲線圖，滿足回路成形不等式的要求。

選定三個加權函數后，利用MATLAB魯棒控制工具箱中混合靈敏度設計相關的命令，得到魯棒控制器K的傳遞函數表達式^[8]。

（12）

2.3 設計結果檢驗

圖4、5分別為靈敏度函數、補靈敏度函數與其加權函數倒數的奇異值曲線，由圖可知：靈敏度函數和補靈敏度函數達到了預期指標要求。

3 控制系統仿真

3.1 系統魯棒穩定性仿真

當名義模型中的參數α和β存在±80%的攝動時，得到基于H_∞魯棒器的轉子位移階躍響應曲線如圖6和圖7。

3.2 系統抗干擾能力仿真和比較

另外設計的PID控制器^[9]，受控對象輸出端分別加入AD幅值為160（156μm），頻率為628rad/sec及1884rad/sec的正弦干擾信號，用于代表實際系統中轉子轉速在100Hz和300Hz時不平衡激振力產生的位移干擾信號。位置參考階躍信號始終都設為0，得到H∞魯棒控制器和設計的PID控制器下轉子位移階躍響應曲線如圖8、圖9。

4 結論

仿真表明，當系統存在較大的參數不確定性和較強的不平衡激振力干擾時，設計的基于混合靈敏度方法的魯棒控制系統能夠使轉軸穩定懸浮，而且具有良好的抗干擾性能，實現了預期魯棒性和抗干擾能力要求，為永磁偏置磁軸承數字魯棒控制系統設計、改善系統可靠性奠定了理論基礎。

參考文獻

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