圓x2+y2=（a+b）2上的點到橢圓最短距離的探究

摘 要：數學教學通訊在2006年第17期教師版上刊登了一篇名為《正半軸上的點到橢圓、拋物線、雙曲線的最短距離問題》，又在2007年一月上半月總第266期刊登了一篇《直線上的點到橢圓最短距離的討論》。在此基礎上，本文再次研究了平面內一類特殊圓上的點到橢圓最短距離問題。本文采用初等方法得到了這類圓上的點到橢圓的最短距離，并確定了圓的點到橢圓的距離最短時對應橢圓上點的坐標。

關鍵詞：橢圓 點 距離 坐標

[定理]已知橢圓為橢圓的半焦距長。則圓上任意點到橢圓的最短距離為。

（其中即為點P的“勢”，關于“勢”的定義見我在《高考》2019年5月下旬刊總第343期第187頁刊登的文章《二次曲線等勢線性質妙解橢圓一類面積最值》）。[1]

分析：顯然，圓上的點必然在橢圓的外面。由橢圓的對稱性，我們不妨把圓上的任意點設定在第一象限。易知，有且僅有唯一的圓以為圓心，且與橢圓外切，切點也必然在第一象限。

[引理]已知圓上的任意點，則點必在橢圓上。且與橢圓垂直。[2]

證明：在上，則，

將點帶入橢圓方程得：

故，點必然在橢圓上;

連線的斜率為

設橢圓在點的切線為，由橢圓垂徑定理可知，

即 變形得，

∴與橢圓垂直。得證。

定理的證明：

由引理可知，點是上任意一點，則點到橢圓上的最小距離時，橢圓上的坐標即為點。

最小距離為：

證畢。

因為點是上任意一點

故圓上的點到橢圓距離。[3]

到此，圖二中曲線任意點到橢圓距離都有公式可算。

參考文獻

[1]董奇.正半軸上的點到橢圓、拋物線、雙曲線的最短距離問題.數學教學通訊，2006（9）.

[2]曾中君.直線上的點到橢圓最短距離的討.數學教學通訊，2007（1）.

[3]謝朝.用二次曲線等勢線性質妙解橢圓一類面積最值問題.高考，2019（5）.

作者簡介

謝朝（1987.5.6—），男，籍貫：四川省通江縣，職業：教師。