引入電荷面密度處理平行板電容器動態問題

戎加磊

摘 要：本文將介紹運用電荷面密度快速判斷電場變化的方法，避開繁瑣的計算過程，進而快速求解其他物理量，為該類問題教學提供參考。

關鍵字：高斯定理；平行板電容器；電場強度

一、引入電荷面密度

在電磁學中，根據高斯定理：通過一個任意閉合曲面 的電通量 等于該曲面所包圍的所有電量的代數和 除以 （ 為真空介電常數），與閉合曲面外的電荷無關。可以用以下公式表示[1]

對于平面均勻帶電情形，利用高斯定理，可以求解出其電場強度 。現在假設一個面積為 、帶電量為 的平面，如下圖甲所示，為方便討論，建立空間直角坐標系，作出高斯閉合曲面（虛線長方體），將帶電平面包圍，如圖乙所示。

根據帶電平面電場分布呈對稱性且垂直于帶電平面（即上圖中的與 軸平行方向）[1]，為方便起見，上圖乙中的高斯閉合曲面取為一個長方體，因為 軸和 軸方向沒有電場，故電場僅僅穿過長方體左右兩個面，面積均為 ，電場與之垂直。利用高斯定理，電通量表示為

因此，帶電平面電場強度為

由上式可得，真空中帶電極板的電場強度與距離無關，而是取決于電荷面密度 和 ，因此從電荷面密度和真空介電常數可以直接判斷出電場強度的變化，避開繁瑣計算過程，掌握這個技巧，對數學基礎薄弱的學生會有很大幫助。

二、平行板電容器的極板間的電場

平行板電容器由正負兩個極板組成，所帶電荷量為某一極板電荷量。因此極板間的電場強度需要經過兩個帶電平面的電場強度矢量疊加合成，在真空中如下