十字相乘法在含參二次方程（函數）問題中的應用研究

摘 ?要：十字相乘法是現階段教育體系中的重點內容，其知識本質是進行恒等變形，以幫助學生加深對知識內容的掌握，提升學生的綜合素養。本文探索十字相乘法在含參二次方程（函數）問題中的應用，探索其解題方法，以供參考。

關鍵詞：十字相乘法;含參二次方程;二次函數

一、利用十字相乘法求字母系數值

靈活利用十字相乘法可以簡化含參二次方程（函數）的難度.學生在解題過程中如果運用傳統的解題方法步驟較為復雜，通過十字相乘法將問題進行轉化，從全新的角度考慮問題，選擇不同的方法求解，幫助學生獲得正確答案^[1]。以實際的例題為例：

例題：已知關于 x 的方程（m -1）x²- 2mx + m + 1 = 0.

（1）求證：在方程中無論常數 m 取何值，方程均存在實數根.

（2）求證：當 m 取何整數時，方程存在兩個整數根.

解題分析：（1）選擇不等式進行驗證;（2）選擇十字相乘法進行求解，以分析的整除性質計算字母系數m值。

解：（1）在案例方程中當 m ≠1 時，該方程為一元二次方程，Δ = 4m²- 4（m - 1）（m + 1）= 4 > 0，因此當 m ≠ 1為其他值時，方程存在兩個不相等的實根。當 m = 1 時，案例方程為一元一次方程，存在一根。由此可知，無論m為何值方程（m -1）x²- 2mx + m + 1 = 0均存在實數根。

1. 將方程進行變形，轉化為（m - 1）x²- 2mx + m + 1 = 0，獲得[（m - 1）x -（m + 1）]（x - 1）= 0，方程存在兩根，x₁= 1，x₂=（m + 1）/（m - 1），其中x₁無影響，只需要使x₂為整數，（m + 1）/（m - 1）=（m - 1）/（m - 1）+2/（m - 1） 轉化為1+2/（m - 1），由此可知2/（m - 1）為整數即可保證存在兩個實數根，經過計算m=0、2、、-1。

二、利用十字相乘法求代數式的值

靈活利用十字相乘法可以簡便計算代數式值，簡化計算過程，降低知識難度，幫助學生擴展解題思路^[2]，獲得最終答案。以實際的例題為例：

例題：已知關于 x 的方程 x²-（2m + 1）x + m（+ 1）=0.

（1）求證：在方程中是否始終存在兩個不相等的實數根.

（2）求證：已知方程中一個根為0，計算代數式（2m -1）²+（3 + m）（3 - m）+ 7m - 5 .

解題分析：（1）選擇不等式進行驗證;（2）選擇十字相乘法計算，通過根的定義代入代數式中計算結果。

解：（1）計算Δ，Δ = 1 > 0.

（2）將原方程x²-（2m + 1）x + m（+ 1）=0進行轉化，獲得（x - m）[x -（m + 1）] = 0，計算得出x₁= m，x₂=m + 1。將代數式（2m -1）²+（3 + m）（3 - m）+ 7m - 5 化簡后獲得3m（m + 1）+ 5，其中一根為x=0則可知x₁= m=0時，代數式結果為5，當x₂=m + 1=0時，代數式結果為5，

三、利用十字相乘法與函數結合

十字相乘法與函數結合也是常見的一種解題方法，靈活利用兩種方法的優勢進行計算，簡化計算的過程^[3]，獲得精確的答案，以實際的例題為例：

例題：已知反比函數的解析式 y =3k/x（k > 0）.

（1）求證：若已知反比例函數與正比例函數y=2x的圖像存在交點，交點坐標為（未知，2），求k值。

（2）求證：直線l：y= kx + b 的圖像與反比例函數相交兩點，分別為A與B，且直線過點M（-2，0），當△ABO的面積為其=16/3時，計算直線的解析式。

解題分析：（1）利用反比例函數與正比例函數交點進行求解^[4]。

（2）利用反比例函數與直線交點進行聯合解題，形成一元二次方程，再利用十字相乘法求解。

解：（1）根據已知條件可知，正比例函數與反比例函數的交點坐標為（1，2），將交點坐標帶入反比例函數中，計算后求出k=2/3。

（2）根據已知條件，一次函數經過點M（-2，0），可計算出b=2k，轉化一次函為y = kx + 2k，同時又可知y=3k/x，經過求解將y消除，kx + 2k =3kx，獲得kx+2k=3k/x，而 k > 0，可知 x + 2 =3/x。繼續進行計算，x²+ 2x - 3 = 0，解得 x₁= 3，x₂= 1，獲得點A（1，6k），B（-3，-k）。當△ABO的面積為其=16/3時，可知S△ABO=S△AMO+S△BMO，1/2×2×（3k+k）=16/3，最終計算k值為4/，直線解析式為y=4x/3+8/3。

結束語：

綜上所述，經過例題分析發現，在解決含參二次方程或者函數問題過程中，學生選擇十字相乘法可以有效的簡化知識難度，并開闊學生的解題思路，提升解題質量。十字相乘法可以說初等數學與高等數學之間的紐帶，涉及的知識范圍較廣，靈活利用因式分解可以實現快速解決問題，但其方法也存在一定的限制性。教師在教學過程中應合理進行應用，注重學生思維能力的培養，消除十字相乘法中存在的猜想因素，以提升學生的數學綜合素養。

參考文獻：

[1]羅峻，段利芳.十字相乘法在含參二次方程（函數）問題中的應用[J].數理化學習（初中版），2019，11（01）：19-23.

[2]何衛群.把握已有教學資源，設計有效教學活動——“因式分解之十字相乘法”研究課題教學片斷及思考[J].數學學習與研究，2018，14（22）：121.

[3]易麗萍，張文麗.對知識過程性探索的思考——記《十字相乘法》引入部分的教學[J].中學數學研究（華南師范大學版），2019，14（16）：13-15.

[4]于大平.初中數學微課程的實踐探索——以“十字相乘法”分解因式微課程開發為例[J].數字教育，2018，2（01）：77-81.

作者簡介：

馬玉龍（1981.12-），男，彝，云南香格里拉，一級教師，本科，云南香格里拉市一中，初中數學數學，674499。