解答數學填空題的幾個技巧

尚麗麗

填空題與選擇題同屬客觀性試題，具有客觀性試題的特點，即題目短小精悍、知識覆蓋面廣、考查目標集中、形式靈活，答案簡短、明確、具體.但填空題還有其本身的特點，即沒有備選答案可供選擇，避免了選擇項所起的暗示或干擾作用.填空題不要求給出解題過程，在解答過程中比解答題有著更大的自由度.因此，在解填空題時，同學們一定要選擇最佳解題技巧，提高解題的速度和準確度.

一、直接求解

直接求解是指直接從題設條件出發，利用定義、定理、性質、公式等知識，通過變形、推理、運算等過程，直接得到結果.它是解填空題最基本、最常用的方法.

例1〈

解析：〈

說明：直接求解時就要熟悉試題所要考查的知識點，快速找到相應的定理、性質公式等.此題主要是運用消元法把方程組的問題轉化為一元二次方程問題，根據根的判別式求解.

二、巧取特殊值

當填空題的結論唯一或題設條件中提供的信息暗示答案是一個定值，而已知條件中含有某些不確定的量時，可以從不定量中選取一些符合條件的、恰當的特殊值（或特殊函數，或特殊角、特殊模型等）進行處理，得出結論，從而大大簡化推理、論證的過程.

例2有理數 a，b 滿足：-1

解析：

說明：1.不是所有的填空題都適用特殊值法，要根據題目的特點決定能否采用特殊值法.2.采用特殊值法，設特殊的值或特殊的點時，一定要在題目給定的范圍內.

三、數形結合

數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過以形助數或以數解形的方式優化解題過程.由于填空題不必寫出論證過程，因而對于抽象、復雜的數量關系，我們可以借助圖形進行直觀分析，并輔之以簡單計算得出結論.

例3已知函數 y =〈?（ì） x（x）-5（1）2（2）-1（1），（，）若使 y＝k成立的 x 值恰好有三個，則 k 的值為? .

解析：此題主要考查了利用二次函數的圖象解答交點問題.解題的關鍵是把解方程的問題轉換為根據函數圖象找交點的問題.首先在坐標系中畫出已知函數 y =〈?（ì） x（x）-5（1）2（2）-1（1），（，）的圖象：

根據圖象知道當 y ＝3時，對應成立的 x 有恰好有三個，所以 k ＝3.

說明：此題主要考查了利用二次函數的圖象解答交點問題.解題的關鍵是利用數形結合思想，把解方程的問題轉換為根據函數圖象找交點的問題.

四、歸納猜想

歸納猜想是根據已有的數學理論和方法，通過觀察題目中所給出的一些“數或圖形”的特點，分析其規律，從而總結出一般結論.這種方法一般適用于規律探索題.

例4一個自然數的立方，可以分裂成若干個連續奇數的和，例如：23，33和43分別可以按如圖所示的方式“分裂”成2個、3個和4個連續奇數的和．即23＝3+5；33＝7+9+11；43＝13+15+17+19；若73也按照此規律來進行“分裂”，則“分裂”出的奇數中最小的奇數是? .

解析：首先發現奇數的個數與前面的底數相同，再得出每一組分裂中的第一個數是底數×（底數-1）+1，

由23=3+5，分裂中的第一個數是：3=2×1+1，33=7+9+11，分裂中的第一個數是：7=3×2+1，43=13+15+17+19，分裂中的第一個數是：13=4×3+1，53=21+23+25+27+29，分裂中的第一個數是：21=5×4+1，63=31+33+35+37+39+41，分裂中的第一個數是：31=6×5+1，

∴m3“分裂”出的奇數中最小的奇數是m（m -1）+1，

∴73“分裂”出的奇數中最小的奇數是7×6+1＝43，

故答案為43.

說明：當某個數學問題涉及到的是至無窮多的情形，很難下手時，行之有效的方法是通過對若干簡單情形進行觀察，從中找出一般規律，求得問題的解.

五、逆向思考

逆向思考是一種從已有思路的反方向考慮問題的思維方法，是一種發散性的思維方式.有些問題我們無法直接正面求解時，要克服思維定勢，變換角度，可以由題目中給出的條件逆向思考、推理，得出結論.

例5甲、乙、丙三個箱子內共有小球384個，先由甲箱取出若干個球放入乙、丙箱內，所放個數分別為乙、丙箱內原有的個數，繼而由乙箱取出若干個球放進甲、丙兩箱內，最后由丙箱取出若干個球放入甲、乙兩箱內，放法同前，結果三箱內的小球個數恰好相等.問甲、乙、丙各箱內原有小球分別為? 個.

解析：直接入手需要設元，列方程（組），但列方程（組）時卻無從下手.那逆向思考，從最后三箱的小球相等入手，易知最后每箱各有小球384÷3＝128（個）；由后到前三次調動時各箱中的球數容易列出下表：

所以，由表知甲、乙、丙三箱原有小球分別為208個、112個、64個.

說明：當遇到的問題有多種情形或從正面入手解決比較繁雜時，可采用逆向思維.解答此題的關鍵是用倒推法，從后往前一步步推算，即可得出結果.