淺談最優同倫漸近法(OHAM)在求解偏微分方程中的應用

胥康 任金蓮

摘? ?要：本文介紹一種使用簡單計算并擁有足夠好的近似解的求解偏微分方程的方法，最優同倫漸進法（OHAM），也稱為半解析法。先后將該方法應用于傳熱方程和KDV-Burgers方程的求解中。OHAM方法對這兩類方程都提供了靈活可靠的解決方案，體現出其在求解偏微分方程中的優越性。

關鍵詞：OHAM方法? 傳熱方程? KDV-Burgers方程

中圖分類號：O175? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2019）05（b）-0186-02

1? 最優同倫漸近法（OHAM）的提出

近年來，Marinca和Herisanu[1]在同倫分析法（HAM）的基礎上提出了一種求解偏微分方程的更加靈活的方法：最優同倫漸進法（OHAM）[2]。在一系列的文章中，作者[3]成功地證明了該方法的可靠性、有效性和優越性，且運用該方法得到了許多工程和科學中重要應用的解決方案，可見該方法在科學和工程應用中的潛力。

2? 最優同倫漸近法（OHAM）基本算法

考慮微分方程，其中Ω為求解區間，分別為未知方程和已知方程，L，N分別為線性算子和非線性算子。首先構造方程

是未知函數，（H（0）=0）為輔助函數[4]。函數關于p泰勒展開，得。若方程（3）收斂，則，將（4）式帶入（2）中，得到剩余誤差。用最小二乘法得到的Cj值，并將Cj代入（5）（6）中，得到方程近似解[4]。

3? 最優同構方法求解傳熱方程

考慮傳熱方程[5]，邊界條件，初值為，精確解為[5]。運用上述所提OHAM方法，方程（7）得到如下情況：①0階情況：，初值為，其對應的解為;②1階情況：，初值，其對應的解為;③2階情況為，初值，解為

。由解得，再根據最小二乘法得到當時，，代入（11）得到方程（7）的近似解。

4? 最優同構方法求解KDV-Burgers方程

考慮KDV-Burgers方程[6-7]，初值，精確解為。運用OHAM方法，可以得到0階、1階和2階解：，，，則C1，C2可由最小二乘法確定：，從而得到近似解。

5? 結語

本文介紹了一種可靠的求解偏微分方程的方法：最優同倫漸進法（OHAM），先后將其應用于傳熱方程和KDV-Burgers方程的求解中，文中給出了具體的求解過程，從中可以看出OHAM方法使用簡單計算便可擁有足夠好的近似解，體現出其在科學和工程應用中的潛力。

參考文獻

[1] N.Khan， M.S.Hashmi， S.Iqbal， T.Mahmood. Optimal homotopy asymptotic method for solving Volterra integral equation of first kind[J]. Alexandria Engineering Journal， 2014（53）： 751-755.

[2] V. Marinca， N. Herisanu. Application of homotopy asymptotic method for solving non-linear equations arising in heat transfer[J]. I. Comm. Heat Mass Trans.， 2008（35）： 710-715.

[3] N. Khan， T. Mahmood， M.S. Hashmi. OHAM solution for thin film flow of a third order fluid through porous medium over an inclined plane[J]. Heat Transfer Res， 2013（44）： 1-13.

[4] 哈米德，孫華飛，宋揚.最優同倫漸近法在帶滑移的6常數Oldroyd流體模型中的應用[J].北京理工大學學報：自然科學，2019（3）：327-330.

[5] Fazle Mabood. The Application of Optimal Homotopy Asymptotic Method for One-Dimensional Heat and Advection-Diffusion Equations[J].Inf.Sci.Lett，2013（2）： 57-61.

[6] H. Jafari and S. Gharbavy. The Solution of KDV-Burgers Equation by the Optimal Homotopy Asymptotic Method[J]. Studies in Nonlinear Sciences， 2012（3）：1-7.

[7] Haq， S.， S. Islam and M. Uddin. A mesh-free method for the numerical solution of the KDV-Burgers equation[J]. Applied Mathematical Modelling， 2009（33）：3442-3449.