曲面上布朗運動的數值計算

周文杰 冮鐵強

摘? ?要：本文將以二維曲面為研究對象，建立正則曲面上布朗運動軌跡與測地線之間的聯系，通過測地線的相關理論，實現曲面上的布朗運動數值計算。通過對布朗運動均方位移的計算驗證愛因斯坦關系。

關鍵詞：布朗運動? 二維曲面? 測地線? 數值計算

中圖分類號：O552? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）05（b）-0014-02

Abstract： In this paper， the two-dimensional manifold surface is taken as the research object， and the relationship between the Brownian motion trajectory and the geodesic line on the regular surface is established. The theory of the geodesic is used to simulate the Brownian motion on the manifold. The Einstein relationship is verified by the calculation of the mean square displacement of the Brownian motion on the manifold

Key Words： Brownian motion; Two-dimensional manifold surface; Geodesic; Numerical Simulation

愛因斯坦于1905年發表論文[1]，對布朗運動[2]的機理進行了定量的描述，得到了著名的愛因斯坦關系：

式中，為均方位移，D為擴散系數。

關于流形上布朗運動研究大多集中在從理論上研究布朗運動的性質[3]，本文將以二維曲面為研究對象，提出利用測地線的方法實現二維曲面上布朗運動的數值計算。

1? 測地線與布朗運動

在微分幾何[4]中，存在關于測地線一個重要的定理：

定理1：曲面S上的一條曲線是測地線，當且僅當它或者是一條直線，或者它的主法向量處處是曲面S的法向量。

假設質量為m的布朗粒子在曲面S上運動，運動軌跡為r（t），粒子僅受曲面法向約束力力F（t）的作用。由牛頓第二定律可得：

由式（2）可知的方向沿著曲面S的法方向，因此可知粒子運動軌跡的主法向量為曲面S的法向量，結合定理1可得布朗粒子的運動軌跡為曲面S上的測地線。

2? 曲面上布朗運動的數值模擬

曲面上測地線所滿足方程為：

當u1、u2為正則參數系時，還滿足：

式中θ為測地曲線與u1-曲線的夾角。

曲面S上的布朗運動隨機方向的定義，以對夾角θ的隨機來生成。下圖1為利用測地線方法實現布朗粒子在曲面S上隨機運動800步的軌跡圖。

3? 均方位移計算

曲面上對均方位移的計算采用計算兩點間的測地距離。下圖2為計算得到的均方位移圖，可以看到，布朗運動均方位移與時間之間滿足愛因斯坦關系。

4? 結論

（1）曲面表面的布朗運動軌跡為曲面上的測地線，利用測地線的理論實現了二維曲面上布朗運動的數值模擬;

（2）二維曲面表面的布朗運動的均方位移依然滿足愛因斯坦關系，即均方位移與時間的線性關系。

參考文獻

[1] Einstein A. ?ber die von der molekularkinetischen Theorie der W?rme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen[J]. Annalen der physik， 1905， 322（8）：549-560.

[2] 郝柏林.布朗運動理論一百年[J].物理，2011，40（1）：1-7.

[3] Castro-Villarreal P. Brownian motion meets Riemann curvature[J]. Journal of Statistical Mechanics： Theory and Experiment， 2010， 2010（8）：P08006.

[4] 陳維桓.微分幾何[M].北京大學出版社，2017.