移動荷載作用下多跨梁的振動特性研究

朱偉偉

摘? ?要：利用傳遞矩陣法，在隨荷載移動的動態坐標系下建立了彈性地基上帶阻尼多跨梁的波傳播分析模型，分析了阻尼和失諧各自單獨作用以及同時存在對波動速度帶的影響。研究表明，阻尼和失諧均會導致結構中發生波動局部化，隨著阻尼和失諧程度的增大，波動衰減增強。在速度通帶內，阻尼和失諧引起的效應可以簡單疊加。對于同一阻尼系數和失諧水平，阻尼引起的衰減效應明顯大于失諧所致。

關鍵詞：周期梁? 移動荷載? 失諧? 阻尼? 波動特性

中圖分類號：O327;TH113? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號：1674-098X（2019）04（c）-0063-03

實際工程中移動荷載經常出現，并使結構產生強烈的振動以及顯著的變形，因此，研究結構中移動荷載引起的波傳播問題得到了學術界的廣泛關注，但以往的研究對象主要集中在均勻結構中。

近年來，一些學者開始致力于研究諧調周期結構中由移動荷載引起的波動傳播現象。Aldraihem和Baz[1]利用有限單元法和沖量參數激振法研究了恒定移動荷載作用下諧調周期階梯梁的動態穩定性，研究發現通過調整階梯梁的空間間距可以改變結構的某些振動模態，從而提高其穩定性，且壓電驅動器的嵌入將會使結構的穩定效果達到更佳。Ruzzene和Baz[2]針對軸對稱諧調周期加固圓柱殼，計算了傳遞矩陣的特征值，并給出了不同移動荷載速度和結構尺寸變化對波傳播動力學的影響，指出周期結構在移動荷載作用下存在傳播域和衰減域，周期性地加固結構可以顯著改善殼體的動態穩定性。Yu等[3]將該方法應用到彈性地基上由兩種不同材料構成的諧調周期復合管系統中，研究了恒定移動荷載作用下結構的穩態振動波傳播，明確指出類似于頻域，速度域內同樣存在振動帶隙，可以利用此特性控制移動載荷下波動的傳播。但是，實際工程結構總是不可避免地同諧調周期結構存在一定的偏差，稱之為失諧。失諧會顯著地影響周期結構的動力特性[4-5]。對于帶阻尼失諧周期結構，Bouzit和Pierre[6]以及王晶和于桂蘭[7]對比分析了頻域內失諧和阻尼對多跨梁動力特性的影響，指出不同激振頻率下，阻尼和失諧引起的梁動力特性的變化規律相同。而到目前為止，關于帶阻尼失諧周期結構由移動荷載引起的波傳播問題的研究很少涉及，因此有必要對其進行研究。

本文由彈性地基上梁的垂向波動微分方程，建立了結構中各跨在隨荷載移動的動態坐標系下的動態剛度矩陣，并利用傳遞矩陣法得到了相鄰各跨的傳遞矩陣，進而采用局部化因子分析了阻尼和失諧對波動局部化特性的影響，為周期多跨梁的振動控制提供了新的思路。

1? 多跨梁波動控制方程和傳遞矩陣

圖1為彈性地基上的多跨梁，荷載以速度沿梁移動。相鄰跨間通過線彈簧和抗彎彈簧與基礎相連，線彈簧剛度和抗彎彈簧剛度分別為Ks和Cs。

利用Winkler地基和Timoshenko梁理論[8]，阻尼采用復阻尼，則移動荷載下第j跨梁的彎曲波動微分方程可寫為

（1）

式中：wj和θj分別為垂向位移和橫截面轉角;A為截面面積;κ為截面幾何形狀系數;I和ρ分別為截面慣性矩和密度;，E0為彈性模量，η為阻尼系數，為剪切模量;ν為泊松比。Kf為彈性地基剛度系數;t為時間。為垂向外荷載，其沿著梁長度方向以勻速v0移動;F0為荷載幅值，δ為Delta函數。

引入隨荷載移動的動態坐標系ζ

（2）

則垂向位移和轉角變為

（3）

考慮梁結構的穩態響應，式（1）中關于時間的偏導項等于零，則式（1）在動態坐標系下可表示為

（4）

式（4）的解可寫成

（5）

式中：為常數，其值可以通過邊界條件求得;βn為系數;為彎曲波數。

將式（5）代入微分方程式（4）中可到關于波數的特征方程

（6）

進而可得4個彎曲波數和。

第j跨梁兩端的垂向位移和轉角邊界條件可表示為

（7）

將式（5）代入式（7）可得到節點由垂向位移和轉角構成的向量δj和系數向量α間的關系

（8）

其中（n=1，2，3，4）。

第j跨梁兩端的剪切力和彎矩表達式可表示為

（9）

將式（5）代入式（9）得到節點由剪切力和彎矩所構成向量Fj和系數向量α間的關系

（10）

其中，（n=1，2，3，4）。

由式（8）和式（10）可消除系數向量，得到節點力向量Fj與位移向量δj的關系

（11）

Kj為第j跨梁在動態坐標系下彎曲波動的動態剛度矩陣。

第j跨梁的動態運動方程可由式（11）寫成如下形式

（12）

其中，為Kj中22階子矩陣。

經調整，式（12）可表示為

（13）

進一步，式（13）可寫為

（14）

其中，、分別為第j跨梁左、右兩端的狀態向量。

根據連續性條件，第j跨和第j+1跨間的狀態向量可表示為

（15）

上式可簡化為

（16）