引導學生思維自由生長

■華云鋒

教學案例

對于圖形中的計算問題，很多學生感到比較棘手，因為這類問題都離不開幾何結論的證明。可以說，幾何圖形中的計算問題是基于“證明”之上的數量關系研究，對學生的數學綜合素養要求較高。要想幫助學生渡過難關，教師就要引導學生學會發現問題、提出問題，并嘗試解決問題，努力打造讓學生思維自由生長的成長課堂。

添加輔助線可以對圖形進行模型再構建，形成與已知信息相關聯的全新圖形，從而找到新的突破口，這就是所謂的“一線生機”。在教學中，教師要一步步啟發學生沿著解題脈絡不斷思考、探索，這樣，學生的數學思維才會漸進漸深，數學能力才會漸生漸長。下面，筆者試以兩道圖形中的計算問題的課堂教學為例，展示一下成長課堂的做法。

【問題1】如圖1，半徑為1的⊙O沿著△ABC的內部邊緣滾動一周，回到起點D后，停止運動。已知AB=15，AC=13，BC=14，求圓心O的運動路徑長。

圖1

圖2

圖3

師：解決路徑長的問題，我們首先需要做什么呢？

生：畫出動點的運動路徑。

師：如圖2，我們發現圓心的運動路徑長就是△O1O2O3的周長。那么如何求這個三角形的周長呢？

生：我想到2017年鹽城市中考卷中一道類似的題目，那道題是以特殊角為切入口，運用三角函數分別算出相關線段的長。

師：聯想是解決問題的重要方法之一，值得稱贊！可是本題沒有特殊角，怎么辦呢？

生：根據圓與三角形三條邊相切的條件，可以添加過切點的半徑。已知三角形的三條邊長，只需再想方法求出6條切線BG、BL、CK、CM、AP、AN的長度或長度和即可。

師：你的思路完全正確。那么如何求切線的長度或長度和呢？

生：可以考慮整體求值，如圖3，畫A1C1∥AC且與圓O相切，這樣6條切線長度之和就等于△A1BC1的周長，可是我不知道如何求△A1BC1的周長。

師：出現思維“斷檔”現象，可能是思考方向有問題，誰有其他思路嗎？

生：我發現△A1BC1的內切圓半徑為1，我想求出△ABC的內切圓半徑再試試。根據圖4，運用勾股定理先求出AH的長度為12，再運用面積法求出△ABC的內切圓半徑IE=4。由圖3的△A1BC1∽△ABC，容易證得圖3的△OBC1與圖4的△IBC相似，得到，所以路徑長為15+14+13-10.5=31.5。

師：這位同學的思路清晰流暢，解法自然，一氣呵成，這是經常積極參與、深刻思考所獲得的學習能力。受這位同學的啟發，有沒有同學能提供新的解題思路？

生：由題意可知△O3O1O2與△ABC有相同的內心I，分別作出它們的內切圓。

如圖5，易證O1O2∥ BC，O2O3∥ CA，O3O1∥AB，所以△O3O1O2∽ △ABC，得到13）=31.5。

圖4

圖5

師：這位同學沿著“前人的足跡”，靈活運用相似三角形的周長比等于相似比，輕松求解。還有不同的解法嗎？

生：我們小組的意見是構造半角的三角函數。

師：很好！請你代表小組，到臺前說說解題思路。

生：為便于觀察關系量，可以分解圖形如下：

圖6

圖7

圖4中，BC邊上的高AH將△ABC分割成兩部分，得到直角三角形AHB、AHC。設∠ABH=α，6、圖7，此時易得

師：這組同學通過構圖，將半角的三角函數巧妙地“創造”出來，這種“圖形智造”產生的效果是明顯的，更是神奇的。這就是思維的延展性和生長性，我們必須為這個小組點贊！以上我們欣賞到了三種不同的解法，都很精彩。下面我們換一道題，再試試好嗎？

生（齊）：好的。

【問題2】如圖8，O是半圓的圓心，半徑為4，C、E是圓上的兩點，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO，∠COA=60°，則FG= 。

圖8

師：這道題初看無從下手，再看你一定會有所發現。

圖9

生：我們可以運用特定的解法——特殊圖形法。如圖9，假定點E運動到某一位置，使得點G與點O重合，即EO⊥CO,此時有EO=CO，△OEF≌△COD，可得EF=2，CD=FG=23 。

師：很好！還能試試其他特殊位置嗎？

生：如圖10，當點E運動到某一位置，使點F與點O重合，即EO⊥AO,此時EO=CO,△OEG≌△COD，可得FG=CD=2。

圖10

生：如圖11，當點E運動到與點A重合的位置時，此時點F也與點A重合，便能求出FG的長度。

圖11

師：特殊圖形法就是將圖形特殊化，對動點運動到特殊位置（包括臨界位置）的圖形進行研究，相當于代數中的“特值法”。假如這是一道解答題而不是填空題，大家有更高明的解法嗎？

生：老師您說過，大戰可以搬救兵，讓我們多想輔助線。

師（微笑）：是的，輔助線可以改變圖形的“格局”，對圖形進行創新。

圖12

生：根據圖中線段垂直關系的條件，可以聯結半徑OE，得到兩個直角三角形；兩個直角三角形有公共斜邊，可以聯想到四點共圓。如圖12，由題意可知∠OGE=∠OFE=90°，因為∠COD=60°，所以∠COB=120°，∠GEF=60°，聯結OE，取OE中點 I，聯結 IG、IF，可得 IG=IF=OE=IE=2，所以∠GIO=2∠GEI，∠FIO=2∠FEI，即∠GIF=120°，作IH⊥FG，根據“三線合一”可得GH=HF=直角三角形IGH中，有cos30°=

生：我們小組討論后認為，要想求線段FG的長，可添加輔助線，構造以FG為一條邊的直角三角形，再運用勾股定理解決問題。

圖13

如圖13，根據“一中同長”得出G、O、F、E四點共圓，可得∠GFO=∠GEO，作 GH⊥OA，有△GHF∽△OGE，得出CD，有△GHO∽△CDO，得到

師：有沒有小組能再一次錦上添花呢？

生：我們小組認為，G、O、F、E四點共圓，圓的直徑為OE，直角三角形CDO的外接圓直徑為OC，因為OE=OC，所以這兩個圓是等圓，由∠COD=∠FEG可得弧CD與弧FG度數相等，所以FG=23。

師：果真厲害！你們小組繁花似錦，你就是其中最為奪人眼球的一朵！

一題多解，解法同源；一題多圖，殊“圖”同歸。在平時的學習中，如果教師能夠引導學生善于發現，善于歸納，數學思維之花就能永不凋謝。“獨學而無友，孤陋而寡聞。”課堂需要每個人的獨立思考，但更需要集思廣益，需要小組合作的頭腦風暴。這樣，學生的思考才會更深刻，思維才能更自由，這也是成長課堂的價值所在——讓每一個生命個體都能健康、快樂地成長。