基于活動經(jīng)驗(yàn)的課堂嘗試
——以“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)1”為例

■蔣瑾鑫

教學(xué)設(shè)計

蘇科版教材中，“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)”安排了兩個課時。第1課時是用描點(diǎn)法畫圖像；第2課時是通過歸納反比例函數(shù)圖像的特征，研究圖像的增減性和對稱性。從一次函數(shù)到反比例函數(shù)，函數(shù)圖像由一條變成兩支，形態(tài)由直到曲，由連續(xù)到間斷，由與坐標(biāo)軸相交到與坐標(biāo)軸漸近，對學(xué)生的認(rèn)知是一次大的挑戰(zhàn)。第1課時畫圖后，反比例函數(shù)圖像已呈現(xiàn)明顯特征，為了讓學(xué)生更好地整體感知圖像和性質(zhì)，本節(jié)課上筆者引導(dǎo)學(xué)生在畫圖像的過程中進(jìn)行探究，不斷積累活動經(jīng)驗(yàn)，從幾何直觀的角度，發(fā)現(xiàn)曲線、分為兩支、分布區(qū)域、與坐標(biāo)軸無限靠近但不相交等反比例函數(shù)圖像特征，為后續(xù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)性質(zhì)做好鋪墊。

一、教學(xué)前的思考

“反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)1”在教材中的安排：

（1）x、y的值可以為0嗎？這個函數(shù)的圖像與x軸、y軸有交點(diǎn)嗎？

（2）x、y所取值的符號有什么關(guān)系？這個函數(shù)的圖像會在哪幾個象限？

（3）當(dāng)x＞0時，隨著x的增大（減小），y怎樣變化？當(dāng)x＜0時，隨著x的增大（減小），y怎樣變化？這個函數(shù)的圖像與x軸、y軸的位置關(guān)系有什么特征？

這是一個由“數(shù)”思“形”的環(huán)節(jié)，不僅傳承了技術(shù)操作的價值，而且為學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)圖像搭建了發(fā)展平臺。如何將編者的用意轉(zhuǎn)化成教與學(xué)的形態(tài)？筆者思考了以下問題：

基于這些思考，筆者認(rèn)為本節(jié)課可以從以下四個方面展開教學(xué)：

（1）由“數(shù)”思“形”，探究函數(shù)表達(dá)式的“式結(jié)構(gòu)”，猜想它的“形結(jié)構(gòu)”，畫出函數(shù)大致的模樣；（2）為“數(shù)”畫“形”，用“列表、描點(diǎn)、連線”的方法規(guī)范畫圖，驗(yàn)證猜想，讓“數(shù)”與“形”一致；（3）由以上過程中的活動經(jīng)驗(yàn)繼續(xù)猜想和驗(yàn)證y=-的圖像；（4）觀察圖像，找出反比例函數(shù)圖像的位置特征，為第2課時研究反比例函數(shù)的性質(zhì)做好鋪墊工作。

二、問題驅(qū)動下的活動設(shè)計

活動1：復(fù)習(xí)和引入。

問題1：上節(jié)課學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)的概念，請同學(xué)們回憶：什么樣的函數(shù)是反比例函數(shù)？

設(shè)計意圖：直接引入反比例函數(shù)的話題，強(qiáng)調(diào)反比例函數(shù)表達(dá)式中k、x、y的取值，為后續(xù)研究“式結(jié)構(gòu)”埋下伏筆。

問題2：你認(rèn)為還要研究哪些關(guān)于反比例函數(shù)的內(nèi)容？你怎么知道的？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生明晰研究函數(shù)的基本思路是“概念→圖像→性質(zhì)→應(yīng)用”。這一思路在一次函數(shù)的學(xué)習(xí)中就有所體現(xiàn)，也將是以后學(xué)習(xí)其他函數(shù)的思路。

問題3：一次函數(shù)圖像是什么？舉個具體的例子，說一說函數(shù)圖像是怎么得到的？

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回憶一次函數(shù)圖像的畫法是“列表（找兩對變量的值）、描點(diǎn)、連線（兩點(diǎn)確定一條直線）”，以此引發(fā)思考：如何研究反比例函數(shù)圖像？

問題4：根據(jù)畫一次函數(shù)圖像的經(jīng)驗(yàn)，你能畫出反比例函數(shù)y=的圖像嗎？

設(shè)計意圖：由于剛剛復(fù)習(xí)了一次函數(shù)圖像的畫法，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，有些學(xué)生會取兩個滿足表達(dá)式的點(diǎn)，畫出直線圖像；有的學(xué)生一籌莫展，無從下筆。這個陷阱的設(shè)計就是要暴露學(xué)生的思維缺陷，激發(fā)他們思考：反比例函數(shù)圖像可不可以類比一次函數(shù)圖像，找兩個點(diǎn)坐標(biāo)就能畫出？這樣的猜想哪里不對？這也是接下來以“數(shù)”思“形”教學(xué)片段的探究素材。

問題5：同學(xué)們所畫的圖像有什么問題？說明理由。

設(shè)計意圖：通過這個問題，教學(xué)自然地進(jìn)入到“為什么不先畫反比例函數(shù)圖像，而要先探究這個圖像的特點(diǎn)，猜想反比例函數(shù)圖像大致樣子”的情境。如：圖像不能與坐標(biāo)軸相交，因?yàn)楸磉_(dá)式中的x與y都不等于0；x可取正數(shù)與負(fù)數(shù)，相應(yīng)的y與x同號，說明圖像不可能畫在第二、四象限，應(yīng)該在第一、三象限呈現(xiàn)；肯定所畫圖像下降趨勢的合理性，因?yàn)闊o論x為正數(shù)，還是負(fù)數(shù)，從表達(dá)式看，在各象限內(nèi)，y都能隨x的增大而減小。

問題6：結(jié)合以上分析，同學(xué)們是否能大致畫出反比例函數(shù)y=的圖像？試一試。

設(shè)計意圖：根據(jù)“式結(jié)構(gòu)”，通過糾錯、分析、判斷，增加學(xué)生在畫圖前分析圖像特征的活動經(jīng)驗(yàn)。這里主張學(xué)生獨(dú)立作業(yè)，以培養(yǎng)學(xué)生的想象力和判斷力。

問題7：如何說明你猜想的大致圖像是正確的？請展示你所畫的比較精準(zhǔn)的圖像。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生回答，通過“列表、描點(diǎn)、連線”的方法畫出的圖像才能比較精準(zhǔn)。然后引導(dǎo)學(xué)生思考：如何列表？表達(dá)式、列表、圖像都是表達(dá)函數(shù)的三種方式，而表格中的數(shù)據(jù)會呈現(xiàn)一定的規(guī)律，對后面研究函數(shù)圖像和性質(zhì)都有提示作用。這一活動經(jīng)驗(yàn)與畫一次函數(shù)圖像時列表相比，是新的，需要學(xué)生全面思考，也需要教師適當(dāng)引導(dǎo)。在不斷更正中，學(xué)生了解了列表的重要性，列出如下的表格：

x y=6 x… …-6-1-3-2-2-3-1-6 1 6 2 3 3 2 6 1… …

學(xué)生在列表成功后，自信心大大增強(qiáng)，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，描點(diǎn)應(yīng)該比較順利。但是在最后的連線環(huán)節(jié)，又出現(xiàn)了思維火花的碰撞：點(diǎn)與點(diǎn)之間怎么連？學(xué)生會出現(xiàn)比較常見的兩種錯誤：用折線連接，或用圓弧連接。

問題8：為何采用了比較精準(zhǔn)的畫圖的方法，還是會有很多疑惑？

設(shè)計意圖：讓學(xué)生感知，畫圖時，點(diǎn)越少，越不能把握圖像形態(tài)；反之，點(diǎn)越多，圖像形態(tài)就越明確，但是這在實(shí)際操作中，會比較麻煩。因此，可以借助幾何畫板來實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的增加，讓學(xué)生再一次感受圖像的形態(tài)，感受用平滑曲線連接各點(diǎn)的合理性。這又成為學(xué)生畫函數(shù)圖像的一個新經(jīng)驗(yàn)。

設(shè)計意圖：反思活動過程，積累活動經(jīng)驗(yàn)，學(xué)以致用，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

活動4：觀察反比例函數(shù)圖像，圖像呈現(xiàn)了哪些特征（結(jié)合之前“式結(jié)構(gòu)”的分析）？

設(shè)計意圖：本環(huán)節(jié)主要讓學(xué)生關(guān)注兩個反比例函數(shù)圖像的一致性和位置區(qū)別，感受反比例函數(shù)圖像由兩條斷開的分支組成，不與坐標(biāo)軸相交，但會無限靠近坐標(biāo)軸。另外，對于圖像所在象限的不同，學(xué)生能猜測出是k的作用；兩個圖像具有對稱性，學(xué)生也可以直觀看出。這為后續(xù)探究反比例函數(shù)的性質(zhì)做好了鋪墊。

設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)知識點(diǎn)，同時積累本課中新的學(xué)習(xí)方法和活動經(jīng)驗(yàn)。有了經(jīng)驗(yàn)的積累，學(xué)生對一個陌生的函數(shù)便會有想要嘗試的動力和自信。

三、教后反思

1.保護(hù)學(xué)生的好奇心是激發(fā)求知欲的前提。

好奇心是個體學(xué)習(xí)的內(nèi)在動機(jī)之一，是學(xué)生主動觀察、積極探索的強(qiáng)大動力。上課前一天，筆者與學(xué)生見面后，沒有布置任何預(yù)習(xí)作業(yè)，也沒有告知上課的課題，目的就是希望學(xué)生保持一顆好奇心，課堂能回歸最樸質(zhì)的狀態(tài)。事實(shí)上，從課后學(xué)生的反饋以及與學(xué)生所在班級任課教師的交流來看，學(xué)生們還是非常喜歡這樣的學(xué)習(xí)方式的。不過遺憾的是，上課時并沒有很多學(xué)生積極發(fā)言，其實(shí)很多學(xué)生已經(jīng)有答案了。可能是筆者的詢問方式，或者教學(xué)環(huán)境等，讓他們有了緊張感。

2.發(fā)現(xiàn)問題和解決問題是互動生成的關(guān)鍵。

問題是數(shù)學(xué)的心臟。本節(jié)課設(shè)計了5個活動環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)都是以提問的方式，層層遞進(jìn)。有些問題是知識本身的需求產(chǎn)生的，有些問題是學(xué)生在活動時自然生成的，通過學(xué)生們的討論和筆者的適當(dāng)點(diǎn)撥，都可以一一化解。學(xué)生的理解力得到了提升，知識與技能也不斷被掌握。

3.積累活動經(jīng)驗(yàn)是教學(xué)設(shè)計的重要環(huán)節(jié)。

教材幾乎在每一課都設(shè)置了“數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室 ”“ 思 考”“ 討論”“操作 ”“嘗 試 ”“ 探 索 ”等 讓 學(xué)生活動、思考、合作交流的教學(xué)環(huán)節(jié)。這樣安排的用意是什么？數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)怎么形成？數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是不依賴記憶與模仿的，而是依賴?yán)斫馀c思考，這是日積月累的，同時需要教師引領(lǐng)。所以在設(shè)計本節(jié)課時，筆者站在學(xué)生的角度，以探究為主線，啟發(fā)學(xué)生不僅關(guān)注知識結(jié)果，更應(yīng)重視探究過程，走向以人為本、以素養(yǎng)為本的教學(xué)。數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)是長時間經(jīng)歷和感悟數(shù)學(xué)合情推理與演繹推理后的結(jié)果。本節(jié)課中，通過一探圖像，再探圖像，學(xué)生在合作探究中不斷更正，不斷猜想，接近事實(shí)。事實(shí)上，通過探究，學(xué)生不僅獲得了知識，更重要的是積累了基本的活動經(jīng)驗(yàn)。