重力加速度隨緯度變化的精確值

廖蘊瑩 謝元棟

(華南師范大學物理與電信工程學院 廣東 廣州 511400)

一般情況下，物理學中處理有關力學問題時，取重力加速度g=9.80 m/s2，更粗略的計算甚至取g=10.0 m/s2.這種處理方法使求解問題簡單方便，精確度也能達到要求.但實際上,盡管重力加速度隨緯度和高度變化不大，但還是有明顯的變化.也就是說，地球表面的重力加速度并不是處處都相等，誤差來源于兩個方面：一是地球自轉產生慣性離心力；二是地球不是嚴格的球體.前一種情況，教科書中有詳細討論[1,2]，后一種情況則很少涉及.本文擬彌補這個缺陷.

眾所周知，地球不是一個嚴格的球體，兩極半徑小，赤道半徑大.這使重力加速度g隨緯度的升高而增大的效應更顯著.由于這個原因，各地實測的g也要比把地球當成一個球體算出的值大.下面詳細討論重力加速度與緯度變化的函數關系.

如圖1所示，可把地球看成是一個長半軸為a=6 379 250 m，短半軸為b=6 356 755 m的旋轉橢球體，圍繞y軸做自轉運動.地球不是一個嚴格的慣性系，其自轉的角速度為

(1)

其中T是地球自轉周期.

圖1 地球自轉運動示意圖

(2)

而物體M的受力分析圖如圖2所示.

圖2 物體M受力分析

對于地面上的觀察者來說，物體受到兩個力：地球引力F和慣性離心力Ft.實際所觀察到的重力Mg是F和Ft的合力

Mg=F+Ft

(3)

如果認為地球是均勻的剛性球體，則F的值各地相同.但Ft的值隨緯度λ而變：

Ft=MaΩ2cosλ

(4)

因此Mg的大小和方向都隨緯度λ而變，大小的變化反應在重力加速度g隨λ的變化，方向的變化反應在Mg的方向和引力F方向之間的夾角α隨λ的變化.下面我們來找出g和α隨λ變化的函數關系.

將F,Ft和Mg之間的關系用如圖3所示的三角形來表示[2].

從圖中可看出

Ftsinλ=Mgsinα

(5)

Fsinλ=Mgsin (λ+α)

(6)

F=Mgcosα+Ftcosλ

(7)

圖3 F,Ft和Mg的關系

而根據萬有引力定律

(8)

將式(4)代入式(5)得

(9)

由于α∝Ω2，故很小.則有sinα≈α,cosα≈1.

聯立式(7)和式(8)得

(10)

即

(11)

在赤道處，λ=α=0，g=g0，則根據式(11)，可得

(12)

將式(12)代入式(11)，則得出g隨λ變化的近似公式

(g0+aΩ2)(1-e2sin2λ)-1-aΩ2cos2λ≈

(13)

把g0=9.758 8 m/s2代入式(13)，于是得到g的近似公式

g=9.780 3(1+0.010 5sin2λ)

(14)

根據式(14)算得g的數據如表1所示.

表1 根據式(14)算得g的數據

根據式(13)算得g的變化趨勢如圖4所示.

圖4 根據式(13)算得g的變化趨勢

根據式(13)算得g的變化快慢如圖5所示.

由圖像可以得出結論，重力加速度g隨緯度λ的增加而增加.在赤道附近，重力加速度增長得比較緩慢.隨著緯度的增加，重力加速度增長變快.在緯度為45°時，重力加速度增長最快.在兩極附近，重力加速度增長又變得比較緩慢.

查閱資料得出[2]，當把地球看成是一個球體時，重力加速度g1的近似公式為

g1=9.780 3(1+0.005 3sin2λ)

(14)

圖5 根據式(13)算得g的變化快慢

把式(14)所算得的g1與式(13)所算的g相比較，數據如表2所示.

利用表2的數據與實際測量的重力加速度值進行比較

①在赤道λ=0處，g的實測值g測=9.780 m/s2.

表2 g1與g數據對比

根據式(13)計算得

g=9.780 3(1+0.010 5sin2λ)=9.780 3 m/s2.

相對誤差為0.2%.

根據式(14)計算得

g1=9.780 3(1+0.005 3sin20)=9.780 3 m/s2

相對誤差為0.2%.

根據式(13)計算得

相對誤差為0.02%.

根據式(14)計算得

相對誤差為0.5%.

并把式(13)和式(14)作比較，如圖6所示，比較結果略有偏差.

圖6 式(13)和式(14)所得結果對比圖

結論：當把地球當作一個旋轉橢球體而非球體時，重力加速度隨著緯度的增加會變得更明顯.這個結果應該更精確，是某些精確計算中需要考慮的修正.