用“運動的合成與分解”分析復雜運動

徐富清

(揚州市邗江區(qū)公道中學 江蘇 揚州 225119)

不久前，講授“萬有引力”一章時學生提出一個問題：月球繞太陽運動的軌跡為什么是一個擺線？為什么不是圓形或其他圖形？怎樣分析月球的運動？帶著這個疑問筆者上網(wǎng)查詢了一些資料，發(fā)現(xiàn)有很多典型的運動，如果使用“運動的合成與分解”的思想分析，它們的運動過程、運動軌跡就很好理解，并且可以回避復雜的數(shù)學運算，而且隨著參數(shù)的變化，結果也不盡相同.由于要揭示復雜運動背后的規(guī)律，筆者將借助MATLAB這款軟件，將復雜運動以圖形、可視化方式表現(xiàn)出來，本文主要對下面3個典型的案例進行分析.

1 月球繞太陽的運動

(1)簡化運動模型

以太陽為中心建立x,y軸，太陽處于圓心O，地球繞太陽運動的半徑為R，其運動軌跡稱為本輪，月球環(huán)繞地球運動的半徑為r，月球繞地球運動的軌跡稱為均輪，如圖1所示.

圖1 簡化的運動模型

(2)建立函數(shù)

假設地球繞太陽運動的角速度是ω1，月球圍繞地球運動的角速度為ω2，則地球繞太陽運動的圓周運動方程為

月球繞地球運動的圓周運動方程為

根據(jù)運動的合成與分解，可將兩個分運動x方向、y方向分別相疊加，就得到月球繞太陽運動的圓周運動方程

(3)使用MATLAB描繪運動軌跡

為了突出反映該模型背后的變化規(guī)律，我們?nèi)?/p>

同時改變R和r的值，下面使用MATLAB工具描繪出運動軌跡.

1)若R=20,r=3，結果如圖2所示，月球運動軌跡顯示的是一個閉合的擺線.

圖2 R=20,r=3時,月球的運動軌跡

2)若R=20,r=11，其運動軌跡如圖3所示，隨著月球軌道半徑r的增加，擺線漸漸地發(fā)生重疊，且中心部分形成一個多邊形.

圖3 R=20,r=11時,月球的運動軌跡

3)若R=20,r=20，即月球繞地球運動的半徑與地球繞太陽運動的半徑相等(不考慮太陽對月球的影響)，月球的運動軌跡如圖4所示，此時月球要經(jīng)過太陽點，中心部分形成一個花瓣狀.

圖4 R=20,r=20時,月球的運動軌跡

4)若R=20,r=30，即月球繞地球運動的半徑超過地球繞太陽運動的半徑，月球運動軌跡如圖5所示，其中心部分趨近于一個圓形.

圖5 R=20,r=30時,月球的運動軌跡

2 小齒輪圍繞大齒輪的運動

(1)建立模型

假設大齒輪靜止不動，半徑為R，小齒輪繞大齒輪作無滑滾動，半徑為r，如圖6 所示.

圖6 小齒輪圍繞大齒輪運動的簡化模型

(2)建立函數(shù)

假設起始時圓心O、接觸點、M點共線，當小齒輪在大齒輪上滾過角θ時，小齒輪上的M點轉過角φ，則小齒輪的圓心O2圍繞大齒輪O的圓周運動方程為

M點圍繞小齒輪O2的圓周運動方程為

同理根據(jù)運動的合成與分解，將兩個分運動分別在x,y軸相疊加后，M點圍繞大齒輪O的圓周運動方程為

(3)使用MATLAB描繪運動軌跡

圖點的運動軌跡

圖點的運動軌跡

圖點的運動軌跡

圖點的運動軌跡

3 汽車的輪緣運動

(1)建立模型

設汽車車輪半徑是r，汽車勻速直線運動的速度是v，車輪勻速轉動的角速度是ω，且車輪作無滑滾動，滿足方程v=rω，如圖11 所示.

圖11 汽車輪緣運動的簡化模型

(2)建立函數(shù)

輪緣M點的運動可以看作是兩個分運動的疊加，一是隨圓心O在水平方向上的勻速直線運動，即x=vt，二是M點圍繞圓心的勻速圓周運動

同理根據(jù)運動的合成與分解，將兩個分運動疊加后，得到M點的運動方程

(3)使用MATLAB描繪運動軌跡

假設v=24 m/s,ω=30 rad/s時，車輪的臨界半徑為

使用MATLAB工具作出運動軌跡.

1)當車輪的半徑r=0.8 m，則M點的運動軌跡如圖12所示，其形是一個直線花邊.

圖12 r=0.8 m時，M點的運動軌跡

2)若取車輪內(nèi)的點P作為研究對象，即r<0.8 m(如圖13所示)，則P點的運動軌跡如圖14所示，其形似一個波浪.

圖13 取P點為研究對象

圖14 r<0.8 m時，P點的運動軌跡

3)若取車輪外的點Q作為研究對象，即r>0.8 m(如圖13所示)，則Q點的運動軌跡如圖15所示，結果呈現(xiàn)為擺線形狀.

圖15 r>0.8 m時，Q點的運動軌跡

4 結束語

當筆者將所發(fā)現(xiàn)的結果向學生一一展示，學生學習的好奇心高漲，這不僅僅是結論也包括探究的過程.這就給我們一個啟發(fā)，那就是對于一個看似簡單的事物如果進行細致的研究和分析，往往會帶來意想不到的驚喜.物理教學的目的是培養(yǎng)學生的科學素養(yǎng)、激發(fā)他們的想象，知道物理課程不是單調(diào)枯燥的，其關鍵是教師以何種方式激發(fā)學生的興趣，并把這種力量帶到學習中去.