推導矩形邊界磁場對各邊導線產生的電動勢

鄭 金

(凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500)

1 提出問題

對于有界磁場隨時間均勻變化而產生感應電動勢的問題，如果磁場邊界為矩形，那么對位于邊界的導線框各邊分別產生的感應電動勢的大小無法應用初等方法來求解，而需應用麥克斯韋電磁場理論和高等數學中的微積分知識進行定量推導.

鑒于文獻[3]～[5]中的推導過程大都省略了數學微積分部分而顯得不完整，下面通過對一道例題的解答進行詳細推導和計算,使數學和物理結合得更加完美.

2 例題的錯解與辨析

【例題】如圖1所示，用均勻金屬導線做成的正方形線框，邊長為0.2 m，有一半放在勻強磁場邊界，當磁感應強度以k=10 T/s的變化率均勻增強時，線框的中線MN兩端的電勢差UMN是多少？

圖1 例題題圖

解法1:將左半部分電路MADN視為電源，右半部分電路MFCN視為外電路.磁場區域的面積為

S=0.2×0.1 m2=0.02 m2

由法拉第電磁感應定律可知感應電動勢為

由楞次定律可知感應電流沿逆時針方向，則N點的電勢比M點的電勢高.由于內、外電阻相等，即R=r，可得路端電壓為

UNM=ε-Ir=0.5ε=0.1 V

所以

UMN=-0.1 V

辨析:雖然線框右半部分導線MFCN在磁場之外，但也產生感應電動勢.因此算得電動勢是整個回路的總電動勢，不能作為左半部分電路的電動勢.

圖2 圖1的等效圖

辨析:由于矩形邊界的磁場產生的渦旋電場不是勻強電場，那么在AM,MN兩邊各自產生的感應電動勢并非與直導線的長度成正比，因此,不能認為長邊產生的電動勢等于短邊產生的電動勢的2倍.

該題實際是求解位于磁場邊界的矩形線框各邊在渦旋電場中產生的電動勢，無法用初等方法解答，只能應用大學物理知識和高等數學知識進行推導.

3 圓形邊界磁場隨時間均勻變化時產生的渦旋電場

圖3 圓形邊界磁場與導線環示意圖

當圓形邊界的勻強磁場均勻變化時，產生渦旋電場的電場線是系列同心圓，因此導體圓環與一條電場線重合，則圓環上的場強大小處處相等.假如導線環有一個很小的缺口，那么感應電動勢等于缺口兩端的電勢差，跟勻強電場中的電勢差公式U=Ed類比可知，導線環兩端的電勢差在數值上等于導線環上的場強與路徑長度的乘積，因此感應電動勢與場強的關系為

ε=El=2πrE

可知圓形渦旋電場的場強為

各種圖形邊界的勻變磁場激發的渦旋電場在閉合回路中產生的感應電動勢可用微積分表示為

ε=∮lEdl

(1)

4 用渦旋電場和場的疊加原理對例題進行深度解析

首先推導渦旋電場強度分量表達式，然后推導各邊的電動勢的表達式，最后求出數值.

對圖2建立空間直角坐標系如圖4所示，為右手系，可知z軸方向垂直于紙面向外，與磁場方向相反，則有B=-B(t)k.當矩形邊界的勻強磁場隨時間均勻變化時，產生渦旋電場的電場線不是同心圓.

圖4 建立右手空間直角坐標系

兩式聯立可得

(2)

位矢r的方向由Q指向P，考慮到dE→r→B三者方向關系遵循右手螺旋定則，則場強的矢量式為

(3)

由電場疊加原理可知，整個矩形截面S區域內的磁場在P點激發的感應電場的強度為

(4)

Q到P的位矢用坐標軸方向的單位矢量表示為

r=(x0-x)i+(y0-y)j

代入式(4)可得P點的電場強度為

E(x0,y0)=

由于叉積i×k=-j，j×k=i，則有

E(x0,y0)=

(5)

可知電場強度在x軸方向的分量為

設矩形區域沿x軸方向的長度為2a，沿y軸方向的長度為2b，磁場微元的面積大小為dS=dxdy，即得

(6)

令F(y)=(x0-x)2+(y0-y)2，取微分，得

dF(y)=-2(y0-y)dy

即

當y=-b時

F1(y)=(x0-x)2+(y0+b)2

當y=b時

F2(y)=(x0-x)2+(y0-b)2

將各式代入式(6)可得

即

(7)

再令X=x0-x，則dX=-dx，當x=-a時，X1=x0+a;當x=a時，X2=x0-a,可知

(8)

由于導線AM位于磁場的上邊界，則y0=b，應用積分公式

對式(8)進行積分并整理得

(9)

在渦旋電場中，一段導體產生的電動勢為

對于導線AM，若積分路徑為M→A，則有

(10)

利用積分公式

得

令

[(x0-a)2+4b2]=X

則有

可得

2(a2+b2)ln(4a2+4b2)-2a2-4b2ln2b

4b2ln2b-2(a2+b2)ln(4a2+4b2)+2a2

考慮到反正切函數是奇函數，可得

利用積分公式

得

綜上可知導體AM產生的感應電動勢為

即得

ln(4a2+4b2)-2a2ln2a+2b2ln2b]

(11)

同理得

ln(4b2+4a2)-2b2ln2b+2a2ln2a]

(12)

這就是矩形邊界磁場隨時間均勻變化時位于邊界的矩形線框各邊產生的感應電動勢的計算公式.

把a=0.05 m,b=0.1 m,k=10 T/s代入式(11)，并將arctan 0.5=26.565°化為弧度，可得

εMA=εDN≈0.035 3 V

由法拉第電磁感應定律可得回路中的感應電動勢為ε=0.2 V.則

ε=2εAM+2εNM=0.2 V

由此可知NM邊的電動勢為

εNM≈0.064 7 V

設電路的總電阻為r，對應圖2的等效電路如圖5所示.由閉合電路歐姆定律可知

UMN=εMN-IrMN≈

0.064 7 V-0.1 V=-0.035 3 V

圖5 圖2的等效電路圖

5 結束語

利用麥克斯韋電磁場理論無法直接求出矩形線框的總電動勢，但可分別求出矩形線框各邊產生的感應電動勢，取代數和即為總電動勢;利用法拉第電磁感應定律不能分別求出矩形線框各邊導體產生的電動勢，但可直接求出線框的總電動勢，二者所得結果完全相等，可謂殊途同歸，互為驗證.對于矩形邊界磁場激發的渦旋電場在矩形線框各邊分別產生的感應電動勢的大小是否跟導線的長度成正比，只能進行詳細的定量推導，通過具體的物理情境使得有關物理和數學知識在實際應用中完美結合.