基于牛頓環(huán)等厚干涉的數(shù)值分析*

楊利利

(寧夏大學(xué)物理與電子電氣工程學(xué)院 寧夏 銀川 750021)

在牛頓環(huán)等厚干涉實(shí)驗(yàn)中，可觀察到干涉條紋是以接觸點(diǎn)為中心的一系列同心圓環(huán)，且干涉圓環(huán)明暗相間，內(nèi)疏外密.若采用不同曲率半徑的透鏡進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，則觀察到干涉圓環(huán)半徑也不同[1].本文重點(diǎn)分析不同曲率透鏡下牛頓環(huán)等厚干涉圓環(huán)的半徑及相鄰明環(huán)或暗環(huán)的間距，獲悉牛頓環(huán)等厚干涉的特點(diǎn)，揭示其中蘊(yùn)含的規(guī)律，幫助學(xué)生正確理解實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象.

1 牛頓環(huán)等厚干涉原理

牛頓環(huán)等厚干涉原理圖如圖1(a)所示[2,3]，一曲率半徑較大的平凸透鏡的凸面與平面玻璃之間形成空氣薄膜.當(dāng)單色平行光垂直照射牛頓環(huán)時，入射光在空氣薄膜上表面部分被反射.另一部分折射后又被空氣薄膜下表面反射，并與上表面反射光相遇，如圖1(b)所示.

圖1 牛頓環(huán)等厚干涉原理圖

若該兩束反射光滿足相干條件，相遇后則產(chǎn)生如圖2所示的干涉圖樣.

圖2 牛頓環(huán)等厚干涉圖樣

顯然，空氣薄膜厚度d相同的點(diǎn)，形成同一級干涉圓環(huán)，此時對應(yīng)兩束反射光的光程差為[4,5]

(1)

而產(chǎn)生明、暗紋的條件即光程差與波長之間的關(guān)系為

(2)

(3)

2 干涉圓環(huán)半徑的數(shù)值分析

若已知牛頓環(huán)儀平凸透鏡的曲率半徑為R，k級干涉條紋的半徑為rk，則由幾何關(guān)系可得

(4)

因?yàn)榭諝獗∧さ暮穸萪遠(yuǎn)小于透鏡的曲率半徑R，即d?R,忽略式(4)中的二階無窮小量，可得

(5)

聯(lián)立式(2)、式(3)和式(5)，并消去公式中的d，則形成的k級干涉暗紋半徑rk和明紋半徑r′k分別為

(6)

(7)

式(6)和式(7)表明，牛頓環(huán)等厚干涉圓環(huán)半徑與入射光波長λ、透鏡曲率半徑R以及干涉級次k有關(guān).為了探究干涉圓環(huán)半徑r與透鏡曲率半徑R之間的關(guān)系，本文采用單色鈉光源，以排除不同光源的干擾[6].若以干涉暗環(huán)為例，通過理論計算，利用Origin軟件繪圖，分別在不同透鏡曲率半徑下討論干涉圓環(huán)半徑的變化規(guī)律,如圖3所示.

圖3 不同R對應(yīng)干涉暗環(huán)半徑隨k的變化

由圖3可知，對于不同曲率半徑的透鏡，其等厚干涉形成的圓環(huán)半徑均隨干涉級次k的增加而單調(diào)遞增,且透鏡曲率半徑越大，干涉圓環(huán)半徑增大趨勢越明顯；對于同一干涉級次，透鏡曲率半徑R越大，則干涉圓環(huán)半徑r越大.

3 相鄰干涉圓環(huán)間距的數(shù)值分析

從式(6)和式(7)可以看出，干涉圓環(huán)半徑的表達(dá)式不是等差數(shù)列[7]，即干涉圓環(huán)半徑r隨干涉級次k的增大并非呈線性關(guān)系，圖3也客觀地證明了這一點(diǎn).這表明相鄰暗環(huán)或明紋間距并不相等，根據(jù)式(6)和式(7)，可得相鄰暗環(huán)間距Δr和相鄰明環(huán)間距Δr′分別為

Δr=rk+1-rk=

(8)

Δr′=rk+1-rk=

(9)

同樣，式(8)和式(9)表明，牛頓環(huán)等厚干涉形成的相鄰暗環(huán)或明環(huán)間距與入射光波長λ、透鏡曲率半徑R以及干涉級次k有關(guān).同樣以干涉暗環(huán)為例，通過理論計算，利用Origin軟件繪圖，分別在不同曲率半徑下討論干涉條紋間距的變化規(guī)律，如圖4所示.

圖4 不同R對應(yīng)相鄰干涉暗環(huán)間距隨k的變化

由圖4可知，對于不同曲率半徑的透鏡，其等厚干涉形成的相鄰暗環(huán)間距均隨干涉級次k的增加而單調(diào)遞減；對于同一干涉級次，透鏡曲率半徑R越大，對應(yīng)相鄰干涉暗紋間距Δr也越大；當(dāng)干涉級次較小時，透鏡曲率半徑越大則相鄰暗環(huán)間距遞減趨勢越明顯；當(dāng)干涉級次較大時，相鄰暗環(huán)間距基本趨于穩(wěn)定，且不同曲率透鏡下的圓環(huán)間距差別甚小.不難證明，對于牛頓環(huán)等厚干涉形成的明環(huán)，同樣具有類似的規(guī)律.

4 結(jié)束語

通過數(shù)值分析，客觀反映了牛頓環(huán)等厚干涉形成的條紋半徑及相鄰明、暗紋間距隨干涉級次的變化規(guī)律，且均與平凸透鏡的曲率半徑有關(guān).從本質(zhì)上理清這種變化規(guī)律，有利于學(xué)生在學(xué)習(xí)時正確理解等厚干涉的原理及特點(diǎn).