煤層沖擊傾向性評價的新指標體系

吳學明，王蘇健，張天軍，黃耀光，黃克軍

(1.陜西煤業化工技術研究院，陜西 西安 710065；2.煤炭綠色安全高效開采國家地方聯合工程研究中心，陜西 西安 710065；3.西安科技大學 理學院，陜西 西安 710054)

0 引 言

沖擊傾向性是煤層的固有力學屬性，它是關于能量和時間的函數[1]。基于損傷統計本構模型的沖擊傾向性評價是評價、預測及防治沖擊礦壓的理論基礎[2-4]。針對煤層沖擊傾向性指標包括彈性能指數、沖擊能指數、動態破壞時間、單軸抗壓強度等[5]，其分別從能量、時間和承載能力的角度對煤層沖擊傾向性進行評價。蘇承東、蔡武根據現場實踐和室內實驗分析了上述指標間的相關性[3,6]，且蔡武等提出了最大損傷速率和反應動態破壞時間的動態損傷應變新指標[3]。此外，郭建卿、唐禮忠提出有效沖擊能指數、單軸抗壓強度與單軸抗拉強度之比、峰值前后應變量之比等指標[7-8]，并指出有效沖擊能指標更能反映煤樣在壓縮變形破壞過程吸收和釋放能量的關系[8]；潘一山提出用沖擊能量指數除以動態破壞時間得到沖擊能量速度指標[9]，解決了沖擊傾向性判別結果誤差大、離散性等難題；唐禮忠提出剩余能量的概念及以剩余能與峰后破壞耗散應變能的比值作為剩余能量指數指標[10]；姚精明從宏細觀能量耗散的角度出發提出彈性應變能衰減度和塑性變化率指標[11-12]，基于此的分級指標更貼近工程實際。以上研究極大地豐富了沖擊傾向性指標體系，但均從實驗曲線出發來直接制定評價指標，并且存在受實驗加載方式的限制，指標計算不便，評價結果誤差較大等問題。而吳政提出的損傷統計本構模型對未考慮殘余強度的應力—應變曲線擬合度較高，且曲線上不同特征點處的損傷規律簡潔、明了，但該模型未能體現出煤體存在殘余強度的這一事實[13]；楊圣奇利用損傷比例系數得到了可反映殘余強度的損傷統計本構模型，為煤巖沖擊傾向性的評價提供了新思路[14]；蔡武由此引進動態損傷應變和最大損傷速率指標來評價沖擊傾向性，但其動態損傷應變的力學意義不明確，且未得到最大損傷速率理論解，致其應用不便[15]。

基于以上研究中的不足，文中建立考慮殘余強度的損傷統計本構模型，研究了峰值點、損傷速率最大值點、損傷加速度最值點處的損傷規律，得到損傷速率最大值表達式，并討論了模型中各參數的物理意義。繼而對殘余強度和動態損傷應變進行修正，提出新的評價煤巖沖擊傾向性指標—盈余能指數變化率，并構建新的沖擊傾向性指標體系，最后利用沖擊傾向性實驗對上述指標體系的合理性進行驗證。

1 損傷統計本構模型及特征點

1.1 損傷統計本構模型

根據煤巖微元強度服從韋伯分布的假設[16]和連續介質損傷力學理論[17]，采用能夠反映煤巖材料彈性、塑性及殘余強度的單軸壓縮條件下考慮殘余強度的煤巖損傷統計本構模型為

(1)

m=

(2)

而該模型中，cn為損傷比例系數，其煤巖在殘余強度的取值范圍(0，1)，為無量綱常量，其主要用于描述應力應變曲線殘余強度特點而引進，需預先設定。除此外，上述參數還可用最小二乘法對實驗數據進行參數擬合得到[18]，進而與上述理論結果進行對比驗證。

1.2 特征點分析

損傷速率為描述煤層損傷積累快慢的物理量，通常由損傷因子對應變求一階導得到，即

(3)

因實驗過程中采用按位移加載的方式，故應變對時間導數dε/dt為定值，則式(3)即可描述損傷隨時間積累的快慢。

為了更加方便的研究損傷速率的變化規律及損傷速率的最大值，提出損傷加速度概念，可由損傷因子對應變求二階導得到，即

(4)

當cn=0.98，m=4，F=0.02，E=3 000，研究峰值強度點A(圖1)，損傷速率最大值點B、損傷加速度最大值點C和損傷加速度最小值點D的應力應變及損傷情況(圖2)。

A點是指應力-應變曲線的峰值強度點，此處應力達到最大值，其坐標為A(εmax,σmax)。已知峰前彈性應變與峰值強度點應變關系為

εth=εmax/E

(5)

式中εth為峰前彈性應變；εmax為峰值點處的應變;E為材料的無損彈性模量。如圖1所示，此時的損傷因子約為20%，即當材料處于峰值強度時的損傷比例維持在較低水平。

B點是指損傷速率曲線的峰值點，其坐標為B(εB，DB)，對應的損傷加速度為零，如圖2所示。令損傷加速度表達式(4)等于零，可得

(6)

圖1 應力-應變、損傷因子曲線Fig.1 Stress-strain and damage parameter curve

將εB代入損傷因子D的表達式中可得對應損傷因子為

(7)

圖2 損傷速率和損傷加速度曲線Fig.2 Damage rate and acceleration curve

由式(7)可知，最大損傷速率點對應的損傷因子只由m決定，與F無關；將εB代入損傷速率表達式(3)中可得最大損傷速率為

(8)

式中e為無理數2.71.最大損傷率與F成反比例關系，損傷速率最大值由m和F共同決定與材料彈性模量無關，當損傷因子約為50%時，損傷速率的加速度為零。

通過對損傷加速度公式(7)求導后令其等于零，可得到損傷加速度最值點C、D對應的應變值，如圖2所示。其中損傷加速度最大值C點應變為

(9)

將圖2中C點應變值與圖1中A點應變值對比后發現，損傷加速度最大值C點橫坐標與峰值強度點A的應變值相同，即εc=εA.因此，當試樣處于峰值強度點時，其損傷加速度達到最大值，從圖1可知，此時損傷速率并不為零，對應的損傷因子為

(10)

此時對應的損傷因子僅由m決定，與F無關。

損傷加速度最小值D點代表損傷加速度達到最小值，可將此應變值作為材料殘余強度點對應的應變，即

(11)

式中εe為殘余強度，可見殘余強度由參數F，m共同決定。將D點應變代入損傷因子表達式得

(12)

將εD,DD代入本構方程，可得殘余強度σD為

(13)

經分析，D點處損傷因子約為84%，間接證明了文獻[11]中“以損傷因子約等于84%時對應應變值作為殘余應變”推斷的正確性，因此，將損傷速率加速度最小值D點作為殘余強度點，即εD=εe，具有明確的力學意義。通常認為煤巖達到殘余強度時的損傷因子為1，即所有微元單元破壞，這與實際情況不符合。因為既然煤巖仍存在殘余強度，就代表煤巖仍未完全破壞，這與所有微元單元破壞這描述相矛盾。

(14)

此式表明損傷加速度最大值點C和損傷加速度最小值點D處的應變值關于損傷速率最大值點B處的應變值對稱。

由于傳統評價指標測定實驗需要采用按位移和按應力2種加載方式，增加了實驗工作量。文中將峰值強度點(損傷加速度最大值點C點)作為動態損傷應變起始點，將殘余強度初始應變點(損傷速率加速度最小值點)作為動態損傷破壞的結束點，即動態損傷應變為

εDT=εe-εmax

(15)

根據上述對動態損傷應變的修正，可用式(15)得到按位移加載實驗中動態損傷應變與動態破壞時間的關系。從而利用動態損傷應變間接反映動態破壞時間，只需在試樣達到峰值強度以后，增大數據采集頻率即可提高數據精確度。

(16)

式中H為試樣高度，m；V下為壓頭下壓速度,mm/s.根據式(16)即可由動態破壞損傷應變求得動態破壞時間。

2 模型參數物理意義

2.1 損傷比例系數對應力應變曲線的影響

m反映煤巖材料內部微元強度的分布集中程度；參數F反映煤巖宏觀統計平均強度的大小。保持參數E，F，m不變，研究損傷比例系數cn對應力-應變曲線的影響，如圖3所示。

因為在峰值強度前煤巖損傷因子處于較低水平(一般小于0.3)，所以cn對峰值強度前的應力—應變曲線走勢影響有限，可以忽略。損傷比例系數的作用主要體現在對峰值強度點及峰后破壞階段的影響，如圖3所示。峰值點后曲線最終趨于平緩的這種趨勢即是煤巖材料存在殘余強度的體現。損傷比例系數的取值范圍是(0，1)，隨著cn的減小，峰值強度略微增強，但增幅有限；同時殘余強度增大、延性明顯增加、殘余應變降低。

圖3 損傷比例系數cn對全程應力-應變曲線的影響Fig.3 Influence of variance of parameter cnon complete stress-strain curve

2.2 參數m，F對損傷因子的影響

如圖4(a)所示，保持參數m不變，隨著參數F增大，損傷參量曲線變得平緩，損傷持續過程增大，材料延性增大，殘余應變增大；如圖4(b)所示，保持參數F不變，隨著參數m越大，損傷參量曲線越陡峭，損傷持續過程減短，材料脆性增強，殘余應變越小，且所有損傷因子曲線過定點

(17)

圖4 參數m，F對損傷因子的影響Fig.4 Effect of m and F parameters on the damage factor

2.3 參數m，F對損傷速率的影響

如圖5(a)所示，參數F不變，隨著m逐漸增大，損傷速率曲線偏態減小，最大損傷速率顯著增大，對應的應變值逐漸增大，最后趨于穩定；隨著m逐漸增大，損傷速率越來越陡峭；如圖5(b)所示，參數m不變，隨著F逐漸增大，損傷速率曲線偏態增大，最大損傷速率顯著減小，對應應變逐漸增大；隨著F增大，曲線趨于平緩，有效應變增大，煤樣脆性逐漸減弱。

圖5 參數m,F對損傷速率的影響Fig.5 Effect of m and F parameters on the damage rate

3 能量角度分析沖擊傾向性指標

3.1 傳統沖擊傾向性指標

沖擊地壓是聚集在煤巖內的彈性應變能忽然釋放的一種動力現象，其發生在受載煤巖殘余變形階段。通常以動態破壞時間(DT)、單軸抗壓強度(Rc)、沖擊能指數(KE)及彈性能指數(WET)4個指標值等作為沖擊傾向性的評價指標，而將煤層沖擊傾向性劃分為強、弱、無3類。

沖擊能指數(KE)指煤樣在單軸壓縮條件下的全應力-應變曲線峰值前所積蓄的變形能(AS)與峰值后損耗變形能(AX)的比值

(18)

彈性能指數(WET)指煤樣在單軸壓縮條件下，破壞前所積蓄的彈性變形能(Ue)與產生塑性變形所消耗的能量(Us)的比值。

在煤巖單軸壓縮實驗過程中，根據熱力學第一定律，峰值強度前外力做功所產生的能量被煤巖彈性變形和塑性變形所消耗，則有

(19)

(20)

式中Ue為彈性應變能，J；Us為塑性應變能，J，則彈性能指數計算公式為

(21)

3.2 盈余能指數變化率指標

盈余能(剩余能)：是指峰值強度之前存儲的彈性應變能與峰值后破壞過程中消耗的能量的差值，它是沖擊地壓的能量來源，可描述峰值前彈性能積累與峰值后破壞過程耗散能的關系。

盈余能釋放速度：是指盈余能除以動態破壞時間，其物理意義是煤巖在破壞過程中單位時間內釋放的剩余能量數。它將盈余能與時間結合起來，體現了沖擊傾向性是關于能量和時間函數的特性。

盈余能指數：煤樣盈余能與峰后破壞耗散能的比值，其物理意義是在峰后破壞過程中，煤體每耗散單位數量的變形能，伴隨著釋放的盈余能的數值。它將盈余能和峰后耗散能結合起來，描述了峰值強度后煤巖破壞過程中能量的變化關系。

基于以上指標，提出一種可將盈余能、峰后破壞耗散能、動態破壞時間三者相結合的新的綜合性沖擊傾向性評價指標-盈余能指數變化率K。其盈余能指數變化率K是盈余能除以彈性應變能和動態破壞時間所得的比值，如式(22)所示

(22)

式中WS為盈余能，J；DT為動態破壞時間，ms；Uh為峰后破壞過程消耗的變形能,J.

盈余能指數變化率既能表征煤體的剩余能量與破壞耗散能之間的相對大小，又能表征動態破壞時間。將盈余能、破壞過程損耗變形能和動態破壞時間綜合起來以衡量煤層沖擊性。

綜上所述，以可描述殘余強度特征的損傷統計本構模型為基礎，利用修正后的動態損傷應變(εD)來表征動態破壞時間(DT)，確定出損傷速率最大值表達式，提出更具綜合性的盈余能指數變化率指標，從而形成了新的沖擊傾向性評價體系。

4 實驗驗證

4.1 沖擊傾向性指標測定實驗

主要采用DNS200電子萬能實驗系統，參照《煤層沖擊傾向性分類及指數的測定方法》，選取3組煤樣，每組3～4個，將其制成φ50×100 mm的圓柱形標準試樣。

應變能測定實驗的采用按位移控制的加載方式，加載速率為0.002 mm/s，采樣間隔為200 ms；測定動態破壞時間實驗采用按應力控制的加載方式，加載速率為0.1 kN/s，采樣間隔為5 ms.

4.2 實驗結果

各組實驗數據利用最小二乘法反演得到模型參數F,m,cn，從而得到能反映實驗曲線的本構方程。進而分別利用公式(18)、(19)、(20)、(21)、(22)求解沖擊能、彈性能、峰值損傷速率、盈余能指數變化率。根據第1組、第2組實驗數據直接獲取動態破壞應變，進而利用公式(16)來求解動態破壞應變；根據第三組實驗數據直接獲取動態破壞時間，也由公式(16)求解動態損傷應變。各組煤樣的模型擬合參數、傳統評價指標、新增指標體系見表1.

1)利用Matlab軟件提供的最小二乘法函數Lsqcurvefit反演出各組煤樣的模型參數，反演結果表明，理論分析與實驗曲線吻合度較好(圖6)，從而驗證了理論模型的合理性。在實驗加載初期，煤樣要經過原生裂隙閉合的過程(即實驗曲線在線彈性階段前會有明顯的上凹階段)，但文中所述的本構模型對此并不涉及，從而導致理論和實驗結果存在一定的誤差，如圖6(a)所示；當煤體原生裂隙越少、脆性越強，則誤差越小，如圖6(b)所示。

圖6 實驗曲線與損傷本構模型理論曲線對比Fig.6 Comparison between experimental curve and theoretical curve for damage constitutive model

顯然，理論分析偏向于將沖擊傾向性判定為危險程度更高的方面，只要將上述誤差控制在一定范圍之內，則該模型仍是可接受的。

2)修正后的動態損傷應變和動態破壞時間具有明顯的相關性。因此，利用動態損傷應變表征動態破壞時間是切實可行的。直接根據實驗曲線來求解沖擊傾向性指標值的傳統方法誤差較大，而文中所述根據實驗數據反演損傷統計本構模型的參數，再據此求解沖擊傾向性指標的思路是可取且準確的。根據動態損傷應變與動態破壞時間的關系式(16)，二者即可相互轉化，從而避免了傳統沖擊傾向性實驗受加載方式限制的問題，減少實驗工作量。

3)煤體脆性越強，在峰值強度前積累的彈性應變能越多，則峰值強度后盈余能釋放形式越猛烈，動態損傷應變和動態破壞時間數值越小，盈余能指數變化率指標越大，煤體在破壞過程中伴隨的碎塊彈射現象越明顯，最終煤體沖擊傾向性越強，這與之前研究結果相吻合。

4)各煤樣的沖擊傾向性危險等級是根據傳統評價指標來確定的，結果顯示：第1組和第3組沖擊傾向性危險等級為“弱”，第2組沖擊傾向性為“無”。新提出的沖擊傾向性指標體系可由模型參數直接求解，其靈敏度較高，與傳統指標體系吻合度較好，作為新的沖擊傾向性指標是切實可行的。

表1 沖擊傾向性實驗測定結果及模型計算結果

5 結 論

1)考慮殘余強度的損傷統計本構模型能較好的反映煤巖材料峰值強度后的應力-應變曲線的變化趨勢及殘余強度特點，為評價煤層沖擊傾向性奠定了理論基礎。

2)基于損傷速率提出損傷加速度概念，并得到峰值強度點、損傷速率最值點、損傷加速度最值點處的應力、應變及損傷因子的表達式，進而獲得可間接表征動態破壞時間的修正動態損傷應變，使沖擊傾向性實驗不再受加載方式的限制。

3)提出一種評價煤巖沖擊傾向性的新指標-盈余能指數變化率指標，且將盈余能指數變化率、損傷速率最大值和修正后動態損傷應變構成沖擊傾向性評價新的指標體系。利用沖擊傾向性實驗表明，新提出的沖擊傾向性指標評價結果穩定可靠，能有效減小評價誤差和降低實驗工作量。