Kirchhoff方程Neumann問題的無窮多解

胡愛蓮

(喀什大學 數學與統計學院，新疆 喀什 844006)

1 引言和主要定理

本文考慮如下的Kirchhoff方程：

(1)

(2)

文獻[1-8]對Kirchhoff方程的Dirichlet問題進行了研究，文獻[2-3]在Ambrosetti-Rabinowitz條件(簡記為(AR)條件)下得到了這類問題解的存在性。這里(AR)條件如下：

(AR)條件可以保證問題(1)對應的能量泛函的所有(PS)序列有界，從而保證了變分方法的應用。但很多超線性函數并不滿足(AR)條件。本文利用噴泉定理，在比(AR)條件更弱的一類超線性條件之下，得到了問題(1)無窮多個大能量解的存在性，主要結果如下：

定理1設f(x,u)∈C(Ω×R,R)，且滿足式(2)及以下條件：

(f4)對(x,t)∈Ω×R，有f(x,-t)=-f(x,t)，則問題(1)存在一列解{uk}k∈Ν滿足：k→+∞時，

2 Cerami條件和噴泉定理

對于問題(1)，考慮泛函I:H1(Ω)→R，

(3)

(4)

定義1設X是Banach空間，稱泛函J∈C1(X,R)滿足Cerami條件，如果對任何的{un}?X,由J(un)→c,(1+||un||)J′(un)→0(n→∞)，可推得{un}存在收斂的子列。

要證明定理1，需用到如下的臨界點定理——Bartsch噴泉定理。

命題1[9]設X是可分的Banach空間，于是存在{vn}n∈Ν?X,{φn}n∈Ν?X*，使得

注1在文獻[9]中，噴泉定理是在(PS)條件下得到的，雖然Cerami條件比(PS)條件弱，但和(PS)條件一樣，Cerami條件足以保證(第一)形變定理的成立(見文獻[10]),所以可以在Cerami條件下得到噴泉定理。

引理1設f(x,u)滿足式(2)以及條件(f1)、(f2)和(f3)，則泛函I(u)滿足Cerami條件。

則存在C4>0，使得

||I(un)||≤C4，(1+||un||)||I′(un)||≤C4

(5)

由條件(f2)可知，存在常數C5>0，使得

(6)

對所有s∈R,x∈Ω。

由式(3)～(6)可得

(7)

于是存在常數C6>0，使得

(8)

(9)

由內插不等式及式(9)，有

(10)

由式(4)可得

當||un||→∞(n→∞)，由式(5)，當n充分大時，有

(11)

由條件(f3)及式(7)，可得

(12)

由積分絕對值不等式、Holder不等式、式(10)(12)有

3 定理1的證明

由條件(f4)可知，I(-u)=I(u)，由引理1，泛函I(u)滿足Cerami條件，要證明定理1，下面只需證明I(u)滿足命題1中的條件即可。

由式(2)知，存在常數C8>0，使得

(13)

于是對u∈Zk，由式(3)(13)有

2)因dimYn<+∞，由有限維空間上各種范數等價，故存在C9>0，對任u∈Yk，有

(14)

(15)

由式(14)(15)知，對任u∈Yk，||u||充分大時，有

由此可見，對充分大的ρk>rk>0，有

由命題1知，泛函I(u)有一列臨界點{uk}k∈Ν，使得I(uk)→∞(k→+∞)。

定理1證畢。

注2下面說明條件(AR)比條件(f1)、(f2)和(f3)要強。

事實上，由(AR)條件，有

(16)

即(f1)成立。

由式(2)有

(17)

(18)

由(AR)條件，得

(19)

再由式(18)(19)，可得存在C3>0，使得

即條件(f3)成立。