由一道圓錐曲線(xiàn)高考題引發(fā)的思考

李霞 聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 山東聊城 252000

一、引論

“按照新課標(biāo)的要求，圓錐曲線(xiàn)部分被編排在人教版選修2-1中的第二章。”【1】圓錐曲線(xiàn)作為平面解析幾何的核心內(nèi)容，是高考中考查的熱點(diǎn)內(nèi)容。而且多以大題的形式呈現(xiàn)，還會(huì)結(jié)合其他知識(shí)考點(diǎn)綜合考查。該類(lèi)型題目是考查學(xué)生對(duì)問(wèn)題的綜合分析能力。“《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017）》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，主要包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析六個(gè)方面。”【2】那么該類(lèi)型題目對(duì)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)能力也會(huì)做出相應(yīng)考查。文章在2017年全國(guó)Ⅰ卷理科數(shù)學(xué)試題中抽取一道題目對(duì)其進(jìn)行分析，并提出部分教學(xué)建議。

二、考題分析

（2017高 考 新 課 標(biāo) I， 理 20） 已 知 橢 圓 C：，四點(diǎn)中恰有三點(diǎn)在橢圓C上．

（1）求C的方程；（2）設(shè)直線(xiàn)不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為-1，證明：過(guò)定點(diǎn)．

1.解 法分析

（1）根據(jù)橢圓對(duì)稱(chēng)性，必過(guò)P3、P4，又P4橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過(guò)P1，所以過(guò)P2,P3,P4三點(diǎn)，將代入橢圓方程得： ，解得a2=4，b2=1，

（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)l:x=m，A(m,yA),B(m,-yA),，此時(shí)l過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿(mǎn)足．

②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè) l:y=kx+b（b≠ 1），A（x1,y1），B(x2,y2)

存在k使得△〉0成立．∴直線(xiàn)的方程為y=kx-2k-1，當(dāng)x=2時(shí)y=-1，，所以l過(guò)定點(diǎn)(2.-1)．

2.數(shù) 學(xué)核心素養(yǎng)分析

本道題目要求學(xué)生根據(jù)橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，橢圓的一般形狀以及直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系抽象出直線(xiàn)方程與橢圓方程之間的關(guān)系，并由此抽象出通過(guò)韋達(dá)定理來(lái)得到交點(diǎn)坐標(biāo)與斜率和截距間的關(guān)系，在這里考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力；在討論斜率是否存在這個(gè)問(wèn)題上考查了學(xué)生的直觀想象能力；數(shù)學(xué)運(yùn)算能力是指學(xué)生已經(jīng)明確解題方法的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程。該題中運(yùn)用到了大量的運(yùn)算，充分考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力；學(xué)生要熟練掌握橢圓的模型以及橢圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系的模型才能順利完成這道題目，所以考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力；本題將平面幾何與解析幾何進(jìn)行結(jié)合，考查了學(xué)生的邏輯推理能力。通過(guò)分析可知，本題除了數(shù)據(jù)分析這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)未考查到外，其他均有所考查。所以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已成為學(xué)生熟練掌握該類(lèi)型題目的關(guān)鍵所在。

三、教學(xué)建議

通過(guò)對(duì)題目的分析，我們認(rèn)為應(yīng)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線(xiàn)的興趣，可將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)貫穿于實(shí)際教學(xué)中，進(jìn)而提升數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。“應(yīng)建構(gòu)以能力培養(yǎng)為抓手，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教學(xué)策略”。【3】因此，從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)角度出發(fā)，提出以下建議：

1.滲 透建模思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力。

學(xué)生對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系較近的數(shù)學(xué)問(wèn)題頗感興趣， 從而對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模思想和方法產(chǎn)生濃厚的興趣。例如，在講解圓錐曲線(xiàn)的應(yīng)用性題目時(shí)，可以建立相對(duì)應(yīng)的模型來(lái)講解。因此，在圓錐曲線(xiàn)教學(xué)中融入建模思想式教學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力。

2.由 淺入深，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象能力。

數(shù)學(xué)最大的特點(diǎn)就是抽象性，在圓錐曲線(xiàn)這部分內(nèi)容表現(xiàn)的更為突出。教師在課堂教學(xué)中，可通過(guò)由淺入深的講解，循序漸進(jìn)的提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。例如：在橢圓定義的教學(xué)中，可以先給出標(biāo)準(zhǔn)的橢圓模型，并給出焦點(diǎn)的位置，讓學(xué)生在橢圓上任取一點(diǎn)，通過(guò)測(cè)量和計(jì)算得到該點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和，證明同學(xué)們得出的結(jié)果一樣。在此基礎(chǔ)上去學(xué)習(xí)橢圓的定義，使學(xué)生對(duì)其理解更加深刻。這樣在大量的感性材料的基礎(chǔ)上進(jìn)行抽象思維活動(dòng)，避免了學(xué)生被動(dòng)的接受知識(shí)，從而提高了教學(xué)質(zhì)量，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)抽象能力。

3.利 用信息技術(shù)工具，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象能力。

利用信息技術(shù)工具可以向?qū)W生展示不易想象的圖形，擴(kuò)大他們的空間視野。例如：在講解橢圓的概念時(shí)，可以通過(guò)幾何畫(huà)板直觀的演示動(dòng)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2距離的軌跡，學(xué)生就會(huì)很快領(lǐng)會(huì)是個(gè)橢圓。同時(shí)，通過(guò)幾何畫(huà)板的演示，理解要使點(diǎn)P的軌跡是個(gè)橢圓的條件是：|PF1|+|PF2|〉|F1F2|。通過(guò)幾何畫(huà)板畫(huà)出圖形，學(xué)生也可以非常直觀的理解圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)。通過(guò)直觀展現(xiàn)，培養(yǎng)了學(xué)生的直觀洞察力，進(jìn)而提高了學(xué)生的直觀想象能力。

4.多 元模式教學(xué)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理能力。

數(shù)學(xué)有嚴(yán)密邏輯性的特點(diǎn)，邏輯推理能力是學(xué)生必須具有的基本數(shù)學(xué)能力之一。在開(kāi)展數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)時(shí)，可運(yùn)用多元模式，以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。例如，開(kāi)展“推導(dǎo)橢圓被已知直線(xiàn)所截的弦長(zhǎng)”的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入推導(dǎo)。可采取小組教學(xué)的方式，讓學(xué)生分組、分環(huán)節(jié)、分步驟進(jìn)行深入解析，逐步構(gòu)建自身的知識(shí)體系，達(dá)到提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力的教學(xué)目標(biāo)。

5.強(qiáng) 化練習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。

圓錐曲線(xiàn)部分所涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，計(jì)算量很大，很多學(xué)生掌握了解題方法仍然不能得到準(zhǔn)確的答案。建議教師放手讓學(xué)生練習(xí)，使其不斷嘗試錯(cuò)誤，產(chǎn)生頭腦風(fēng)暴，從而達(dá)到知行合一。還要時(shí)刻提醒學(xué)生在做題的同時(shí)要注意總結(jié)方法，形成自己的解題思路，這樣才能達(dá)到培養(yǎng)運(yùn)算能力的效果。