基于配對t 檢驗計算分差
——Ranney 學校的平均SAT 與官方給出的有無偏差?

高翊瑋 新澤西州廷頓瀑布蘭尼學校

一、前言

在申請大學時，SAT 是每個北美高中留學生都會遇到的不可避免的挑戰。每年，大學都會提供所有錄取申請人的平均SAT 分數，我們想知道這些數據是否符合Ranney 學校的情況以及美國的大學是否會對Ranney 這所優秀的學校降低其SAT 分數標準。

SAT是由美國大學理事會(College Board)開發的標準化測試，并預測學生在大學的學業成功。SAT 的分數范圍是400 到1600，根據Fred Zhang 博士的說法，SAT 分數遵循正態分布，全國平均SAT 綜合分數為1068。

Ranney 學校是新澤西州的一所獨立日制學校，全美私立高中排名前300 名。在Niche 報告的平均SAT 分數是1290，比全國平均值高222 分。我們決定比較和對比Ranney 學生關于SAT 分數的30 個隨機學院選擇，并比較CollegeBoard 報告的平均SAT 分數與Ranney 申請者的平均SAT 分數有無差異。

二、數據收集和方法

1.通過R 語言將Ranney 學生畢業去向最多的50 所大學以數字代替并用rnorm 公式隨機出30 個。在Ranney 簡介2018 年的50個錄取大學中，將其編號01到50，使用rnorm 隨機選擇其中30 個(表1）。

2.收集College Board 發表的30 所大學的平均SAT 分數以及對應在Naviance 網站上收集Ranney 學生的平均SAT，其中列出了Ranney 申請人關于大學的所有SAT 分數。

3.計算差異以及使用配對t 檢驗比對alpha 值（列出所有平均SAT 分數后，計算30 所大學的兩個分數之間的差異）

此處我們提出假設：

H0：μdiff= 0

H1：μdiff ≠0（雙尾測試）

對于假設中的定義為：

零假設：CollegeBoard 報告的平均SAT 分數與Ranney 申請者的平均SAT 分數之間的真實平均差異為零，這意味著平均分數之間沒有差異。

另類假設：CollegeBoard 報告的平均SAT 分數與Ranney 申請人的平均SAT 分之間的真實平均差異不為零，這意味著平均分數之間存在差異。

三、數據分析

使用配對t 檢驗的條件：

1.配對數據條件：每個大學的平均SAT 分數和Ranney 申請生的SAT 分數相配對，因為每個值是CollegeBoard 網站和Naviance網站上同一所大學的平均SAT 分數。

2.獨立性假設：任何大學的平均SAT 分數獨立于其他大學，因此差異是相互獨立的。

3.隨機化條件：從50 所大學中隨機選擇30 所。

4.接近正常條件：SAT 平均得分差異的直方圖是單峰的并且大致對稱（如圖1）。

圖1 平均分差的直方圖

由于所有條件都已滿足，因此可以進行匹配t 檢驗。

以下為基于以上數據的計算過程：

四、結論

由于p 值=0.3774 大于α= 0.05 的顯著性水平，所以不能拒絕零假設。這里沒有足夠的證據證明CollegeBoard 報告的30 個大學的平均SAT 分數與本科申請的Ranney 申請者的平均SAT 分數之間存在顯著差異。 CollegeBoard 報告的平均SAT 分數與公認的Ranney 申請者的平均SAT 分數之間的真正平均差異為零。在實際意義中，這意味著針對Ranney 學校這所有著良好聲譽的私立高中，大學并沒有因此而降低其SAT 分數標準。

注：這份研究中，計算過程中的潛在問題是每個樣本中包含的數據相對較低。例如，申請賓夕法尼亞大學的申請人只有13 人，這可能會因人口相對較少而導致結果偏差。此外，數據源是準確的，因為它來自Ranney School Naviance 官網和CollegeBoard。結果是合乎邏輯的并且是并被精確計算并驗證的。