淺論高考壓軸題中“點差法”運用

摘 要： 解析幾何在高考中占有重要地位，一般放在試題倒數第二題，有時也成為壓軸題。在高考中，絕大多數學生只能完成第1問，第2問，因計算量大而難無法完成。在平時學習及復習過程中，要讓自己真正理解解析幾何中的最優解法與算法，這樣在考試中才能作出正確的、最優的解法選擇，這樣才能事半功倍。

關鍵詞：點差法;橢圓;雙曲線;拋物線

一、“點差法”的基本步驟

若設直線與圓錐曲線的交點（弦的端點）坐標為、，將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩式作差，得到一個與弦的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算量。我們稱這種代點作差的方法為“點差法”。

二次曲線上兩點，設的中點，的斜率為。

由（1）-（2）得，

又∵

∴ 這一等式建立了二次曲線弦的斜率與弦的中點坐標之間關系式。

即已知弦的中點，可求弦的斜率;已知斜率，可求弦的中點坐標。同時也告訴我們當題目問題涉及到弦的斜率與弦的中點在一起時，就要想到“點差法”。

二、“點差法”的基本題型

題型一：以定點為中點的弦所在直線的方程

例1、已知拋物線，過點的直線交拋物線于A、B兩點且點平分AB，求直線的方程。

分析：此題涉及到弦AB的斜率及弦AB的中點坐標，故采用“點差法”。

解：設

則

從而直線的方程為。

題型二：過定點的弦和平行弦的中點坐標和中點軌跡

例2、已知橢圓C：，直線過點P（1，1）交橢圓C于A、B兩點，求AB中點M的軌跡方程。

分析：此題涉及到弦AB的中點坐標，且弦的斜率等于MP的斜率，故采用“點差法”。

解：設，則

∵點P在橢圓內部，直線與橢圓恒有兩個交點，∴點M的軌跡方程為：

。

題型三：圓錐曲線上兩點關于某直線對稱問題

例3、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關于該直線對稱。

解：設，為橢圓上關于直線的對稱兩點，為弦的中點，則，兩式相減得，

即

，，

這就是弦中點軌跡方程。

它與直線的交點必須在橢圓內

聯立，得 則必須滿足，

即，解得。

題型四：證明定值問題

例4、已知是橢圓不垂直于軸的任意一條弦，是的中點，為橢圓的中心.求證：直線和直線的斜率之積是定值。

證明 設且，

則，（1），（2）

得：，

，，

又，，（定值）。

三、“點差法”的局限性

舉例說明：已知雙曲線的方程，是否存在被點平分的弦，如果存在，求出弦所在的直線方程，如果不存在，請說明理由。

按照常規的解法：直線的斜率一定存在，設直線的方程為，與原雙曲線的方程聯立得：，由得且，但是由“點差法”仍然可得到一條直線的斜率顯然不符合題意。由此可見，“點差法”是有局限性的。

事實上： （1）若中點在圓錐曲線（包括圓）內部，則滿足條件的直線必定存在;

（2）若中點在圓錐曲線（包括圓）上，則滿足條件的直線必不存在;

（3）若中點在圓錐曲線（除雙曲線外）外部，則滿足條件的直線必不存在。

特別的，對對于點在雙曲線的外部時，滿足 時直線必定存在，否則一定不存在（當點在坐標軸上屬于特殊情況，應當特別考慮）。

參考文獻

【1】 韓曉剛，“點差法”解決圓錐曲線的中點弦問[J].學周刊， 2011， （12）：132-133

作者簡介：李紅艷（1993.6---）女，漢族，湖南衡陽人，中學教師，本科。