關于分塊矩陣求逆和行列式的方法探究與應用

沈進中，姜媛媛，朱洪波

（安徽理工大學電氣與信息工程學院,安徽淮南232001）

上海交通大學在2004研究生考試的科目中，高等代數第5題為：求下面多項式的所有根。

文獻[1]第57頁的93題恰為此題，并對其給出解答。作者經過計算，發現文獻[1]給出的結果是錯誤的。與此同時，作者在研讀文獻[2]的過程中，發現同一個分塊矩陣可以有兩種計算其行列式和逆矩陣的方法。但文獻[2]僅僅給出公式，而無任何證明過程，于是筆者針對此問題進行研究，并得出了若干結果。

1 主要結果

為方便閱讀，C表示復數域，0表示零矩陣，det(A)表示A的行列式。

引理1設A∈Cm×m,B∈Cn×n,均為非奇異矩陣,C,D均為階數適當矩陣，則

這樣便完成了證明。

推論1已知矩陣A∈Cm×m，B∈Cn×n，C∈Cn×m，D∈Cm×n，那么有如下結論：

（1）若A和B都是可逆矩陣，則(B-CA-1D)為可逆當且僅當(A-DB-1C)可逆。若A，B，(B-CA-1D)都是可矩陣，那么成立

可知 det(A)det(B-CA-1D)=det(B)det(A-DB-1C)，注意到A和B都是可逆，因此 det(B-CA-1D)與det(A-DB-1C)同時為零，或同時均不為零。這表明(B-CA-1D)為可逆當且僅當(A-DB-1C)可逆。

（2）根據定理1可知，H-1有兩種表示形式，但根據矩陣的逆具有唯一性知，這兩種形式表示的是同一矩陣，根據矩陣對應元素相等的原則，立即可得（2）中的三個等式。

推論2已知矩陣A∈Cm×m，B∈Cn×n，C∈Cn×m，D∈Cm×n，若A和B都是可逆矩陣，則

證明：根據推論1中的關于結論（1）的證明過程立即得推論2。

推論3A∈Cm×m是非奇異矩陣，u,v∈Cn×1，若滿足vHA-1u≠1，則

證明：令A=A，B=[1]，D=-u，C=vH，根據推論2中（2）的i的結論(A-DB-1C)=-1A-1+A-1D(B-CA-1D)-1CA，-1立即可得i

注：在文獻[2]的第10頁，推論3中結論稱為Sherman-Morrison公式,但文獻[2]未給出證明。

推論4A∈Cm×m，B∈Cn×n，C∈Cn×m，D∈Cm×n，且A和B都是可逆矩陣，

證明：根據推論2中（2）的i的結論,注意將D換成-D,注意將B換成B-1,便得到本推論中結論。

注：推論4的結論也稱Woodbury公式[2],但文獻[2]沒給出證明。

2 應用舉例

例1文獻[1]第57頁的93題的求解。問題為求本文引言部分的f(x)的根。

例2取自文獻[3]中47頁的兩個線性系統在反饋連接，系統Σ1=(A1,B1,C1)的傳遞函數為G1(s)，系統Σ2=(A2,B2,C2)的傳遞函數為G2(s)，系統那么整個系統的傳遞函數G(s)為W(s)=W1(s)(I+W2(s)W1(s))-1=(I+W1(s)W2(s))-1W1(s)。

證明：文獻[3]僅僅給出了W(s)=W1(s)(I+W2(s)W1(s))-1的證明，但沒有給出W(s)=(I+W1(s)W2(s))-1W1(s)的證明。根據本文推論2中的結論（2）的iii:(A-DB-1C)-1DB=-1A-1D(B-CA-1D)，-1令A=I,D=W1(s),B=I,C=-W2，(s)立即可得W1(s)(I+W2(s)W1(s))-1=(I+W1(s)W2(s))-1W1(s)。

3 結束語

本文詳細研究了定理1中分塊矩陣H，并給出兩個H可逆的充分條件，分別給出H的逆矩陣表達形式，給出完整證明，以此得到了3個矩陣求逆的公式。這些結果以推論2的形式給出。特別地，根據推論3，推論4的結果，這就給出了兩個著名的矩陣求逆公式：Sherman-Morrison公式和Woodbury公式完整證明，而文獻[2]并沒有給出這些結果的證明。作者還查閱其他專著，尚未見這兩個公式的證明。文獻[4]和文獻[5]也分析了Sherman-Morrison公式，做了一點推廣，通過對比可知，本文結果更一般化，文獻[4]和文獻[5]的結果是本文推論1和推論2的特例。作為應用，本文給出了兩個例子，第一個例子采用本文結果，很簡潔得得到文獻[1]中57頁第93題的正確結果，進一步驗證了文獻[1]中所給的結果是錯誤的。第二個例子是作者給本科生上現代控制理論課程時發現，文獻[3]在47-48頁分析求輸出反饋系統的傳遞函數矩陣時，給出了兩個求解公式，但有一個公式以“同理可得”的方式給出，作者曾試圖求解，而未能得出。現用本文的推論2便立即得出，有一種“撥開云霧見明月”之感。這也是寫此論文的一個初衷。