基于拓撲優化下發動機曲軸固有頻率優化

楊章林，胡 斌，賈會星

（滁州職業技術學院汽車工程系，安徽滁州239000）

0 引言

曲軸是現代發動機重要的轉動部件，不僅連接連桿、飛輪等部件，也承受著復雜的載荷[1]。曲軸過度振動引起的故障，會破壞發動機的正常工作。根據機械振動理論中無阻尼振動可知：振動與零件或者機構本身的固有頻率有關。通過曲軸的固有頻率表明：當曲軸被外部瞬態激勵時，將發生一定頻率的振動。在這種情況下曲軸更容易產生疲勞裂紋，更嚴重情況下會出現曲軸的斷裂，造成非常嚴重的后果。因此，在設計發動機曲軸的時候，曲軸的模態分析是非常重要的環節[2-3]。本文以四缸發動機曲軸為例，分析了模態，得到固有頻率和振型圖；再通過有限元中諧響應模塊對該曲軸進行諧響應分析，得到最大的應力和頻率、應變和頻率的關系；最后，使用OptiStruct軟件優化曲軸的一階固有頻率。這里，以某汽車發動機的曲軸參數建立三維模型來進行分析，如圖1所示。

圖1 曲軸三維模型

1 曲軸模態分析

1.1 曲軸網格劃分

曲軸結構比較復雜，在有限元求解之前首先要進行幾何清理工作，其目的在于減少一些對求解結果影響不大又影響計算效率的一些結構，如曲軸中工藝孔，工藝角及油道[4]。簡化后的曲軸采用六面體網格的處理，能夠保證有限元分析結果的精度。材料定義為：材料為40Cr，彈性模量為2.06×105MPa，泊松比為0.3，密度為7 850kg/m3。圖2所示為曲軸網格。

圖2 曲軸網格

1.2 曲軸有限元中的設置

大量的理論和實踐證明：系統中，固有頻率和振型受到阻尼的影響較小，所以在求解時，可以不計阻尼的影響[5]。模態分析研究的本質實際上是結構的固有屬性，它與外部載荷的存在與否無關。結構無阻尼自由振動方程為[6-7]

式中：

[M]—結構質量矩陣；

[K]—結構剛度矩陣；

{}—節點加速度矢量；

{U}—節點位移矢量。

根據公式（1）結構無阻尼自由振動方程可知，曲軸固有頻率跟加載無關，所以采用模態分析的結果無外部載荷。在HyperMesh軟件中的坐標系符合笛卡爾坐標系的原則，如圖3所示，其坐標系為HyperMesh坐標系，曲軸兩端紅色區域為約束端，即約束曲軸X，Y，Z的轉動和移動。

圖3 模態工況模型

1.3 結果觀察

利用HyperMesh求解，進入后處理模塊，依次可以得到曲軸各階模態的固有頻率、振型的具體情況，該曲軸前六階固有頻率和振型如圖4所示。

圖4 曲軸前6階振型圖

根據以上曲軸前6階振型圖可以得到表1曲軸模態分析結果，其中，1、2兩階相差16.4Hz，差值最小，很容易出現破壞。

表1 曲軸模態分析結果

2 諧響應分析

曲軸的模態分析表明：階數與固有頻率呈單調遞增的趨勢。第一階振型圖中的固有頻率不出現共振則往后的階數都不會出現共振。所以，對曲軸進行諧響應分析，找到應力-頻率和應變-頻率的最大峰值情況。以上文的模態分析為基礎，本文對曲軸進行諧響應分析采用模態疊加法[8]。

從圖4和表1可以得到：曲軸固有頻率范圍為345.5～981.6Hz,因此諧響應給激振頻率范圍取300～1 000Hz，載荷步數取10，并選取曲軸外表面作為響應面進行諧響應分析，目的是找到應力、應變、頻率之間的關系并得到最大峰值初步位置，如圖5、6所示。

圖5應力-頻率圖和圖6應變-頻率圖出現的情況都是在X、Y、Z三個方向上的應力峰值處于400～500Hz之間，到達峰值之后開始下降，在超過700Hz之后應力和應變有一定趨勢的反彈上升現象，但是沒有超過在400～500Hz之間的峰值。

圖5 應力-頻率曲線圖

圖6 應變-頻率曲線圖

3 固有頻率優化

上面的諧響應分析顯示了曲軸的應力和應變峰值出現在400～500Hz之間。為了避免這種情況，通過優化軟件OptiStruct軟件對曲軸的第1階和第2階固有頻率進行優化，根據模態分析的結果可知：階數與固有頻率成單調遞增的趨勢，所以為了求解方法和減少計算量，在進行優化的時候，僅對曲軸的第1階固有頻率進行優化，使固有頻率提高到500Hz以上。

3.1 OptiStruct內部優化流程

優化設計時，需要考慮三個要素，即設計變量、目標函數和約束條件[9]。設計變量是發生改變來獲得性能提高的參數；目標函數與設計變量相關，要求設計性能的最優；約束條件是對設計進行限制，是對設計變量和其他性能的要求[10]。優化屬性模型可表述為[11]

對曲軸來說其中X=(x1,x2???,xn)，對應曲軸外形參數為設計變量，f(X)對應有限元模態分析之后的第1階固有頻率為優化目標，g（X）和hk（X）對應曲軸應力和應變大小為約束條件。根據優化屬性模型可知，OptiStrcut軟件優化可以對設計變量、優化目標和約束三個主要要素進行定義。

首先定義設計變量：根據之前諧響應分析的結果和拓撲優化理論公式得到優化目標為曲軸的1階固有頻率。優化設計變量為曲軸外形參數，即X=(x1,x2,…，xn)對應曲軸外形參數。

定義約束：根據固有頻率、剛度、體積三則的關系選取體積分數作為約束條件。但是對于OptiStrcut必須定義相應的響應，完成響應之后才能其定義約束條件。定義曲軸體積分數響應和頻率響應，并把體積分數響應作為約束條件，即優化變量為體積分數。

定義目標：根據之前分析的結果，優化曲軸的第1階固有頻率345.5Hz，把定義好的第一階固有頻率響應定義給優化目標，即f(x1,x2,…，xn)為曲軸的第1階固有頻率345.5Hz。

3.2 優化的結果

完成OptiStruct軟件設置之后進行求解得到第1階固有頻率的優化曲線圖7和體積分數變化圖8。

圖7 優化結果曲線圖

圖8 體積分數變化圖

圖7橫坐標為優化迭代次數，縱坐標為第1階固有頻率。從圖中可以看出，經過5次優化迭代后，曲軸的一階固有頻率從最初的300Hz上升到504Hz，固有頻率在5次迭代后趨于穩定。從圖8可以得到優化軟件5次的迭代優化體積分數從0.805下降到0.705，5次之后的迭代體積分數幾乎不變。優化后體積分數減少了0.1，根據無阻尼自由振動方程可知，體積分數下降固有頻率會上升，因此優化結果是合理的。同時，也為曲軸輕量化設計提供了可能。

4 結論

本文對曲軸進行模態分析、諧響應分析及拓撲優化我們可以得到：

1）利用HyperMesh進行模態分析找出該曲軸的固有頻率，避免曲軸在研發和設計過程中出現的共振，但是在該曲軸加載的時候采用兩端固定的方式加載，這樣加載方式雖然符合無阻尼振動方程，但是剛度較大，在接下來研究當中應該放在曲軸有限元的模態分析加載方式上。

2）利用Workbench中諧響應模塊得到曲軸在400～500Hz之間出現應力和應變的峰值。

3）使用OptiStruct軟件優化一階固有頻率。優化設計的結果是使一階的固有頻率增加到504Hz，以避免諧響應的峰值現象。

4）進行固有頻率優化的時候體積分數從0.805下降到0.705，減少的0.1體積分數雖然很小，但是可以為曲軸的整體輕量化提供理論參考。