考慮動態性能退化的生產系統預防維護和緩存配置策略

郭聞雨， 張秀芳， 修玉皎， 夏唐斌， 潘爾順

(上海交通大學 機械與動力工程學院， 上海 200240)

為了提高生產系統的可靠性，并保證其具有一定的生產加工能力，科學制定預防維護策略至關重要.然而,預防維護工作會造成設備停機，引起系統生產中斷，導致相應損失.在生產系統的配置中，合理設置緩存區能有效減少因上游設備故障或上游設備維護而停機導致的下游設備空閑和生產缺貨問題[1]，從而降低損失成本；但緩存區的設立也會導致相關成本增加.因此，合理配置緩存容量并優化系統的維護策略，有著迫切的現實意義.

圖2 第i個預防維護周期不同階段的緩存波動示意圖

目前，針對帶緩存生產系統的維護策略的研究主要集中于雙機系統.周炳海等[2]以“兩設備帶緩存區”的系統模型為研究對象,基于田口質量損失理論，綜合考慮產品質量損失和緩存區的影響，建立以最小化單位運行成本為目標的預防性維護模型.Dimitrakos 等[3]假設系統中的上游設備會發生故障，下游設備為完美機器不故障，以Markov過程對上游設備的維護閾值進行優化，并證明了設立緩存區對于降低長期生產成本的作用.Meller等[4]提供了此類系統的典型應用場景，即汽車總裝線，其中設備M1代表裝配線，設備M2代表直接供給裝配線的并行加工作業之一，系統特點在于設備M1維護導致停機而中斷生產的代價高昂.Cheng等[5]在此基礎上，考慮更符合實際的不完美維護，使用幾何分布來描述退化過程.Gan等[6]則研究了在預防維護過程中備件與緩存區容量的聯系，考慮維護或維修過程中存在備件短缺的問題，將備件響應時間也作為決策變量.Rezg等[7]建立有限時間域內包含維護、緩存和缺貨的總平均成本數學模型，同時對緩存容量和維護役齡進行優化決策，并利用模擬與試驗設計相結合的方法簡化求解同一問題，通過對精確數學模型和模擬試驗結合法的結果進行比較，證明后一種方法的準確性，為復雜系統聯合優化提供了思路.以上文獻在描述退化過程時，未考慮退化對設備加工性能造成的影響，因此無法全面反映設備的綜合狀態，也難以進一步討論設置緩存對生產系統帶來的整體影響.

本文以此類帶有緩存區的雙機生產系統為研究對象，引入設備動態性能退化模型，同時對緩存變化的多個階段建模，以壽命周期內的平均總成本最低為目標，對系統的最優維護以及緩存設置進行聯合決策，改善單一目標決策的不足，從而更好解決工業制造實際場景的需求.

1 問題描述

本文的研究對象如圖1所示，I為生產系統的上游設備，P為下游設備，B為I和P之間的緩存區；I為P提供待加工的零部件和半成品等，具體應用如汽車總裝線、座椅裝配線等[4].

圖1 帶有緩存區的雙機生產系統模型

本文全面地考慮了實際生產中隨維護作業與緩存變化而形成的3個階段：

(2) 平穩生產期.當緩存容量達到上限K之后，I的額定加工周期調整至與P一致，考慮I退化導致加工能力下降，緩存容量緩慢減少，直到I綜合性能狀態w降至維護閾值W.

本文假設條件如下：① I不發生饑餓，P不發生堵塞.② I在運行時可靠度和加工能力均會下降，并伴隨著故障的發生，退化規律可用其可靠度和加工能力的綜合狀態函數表征；P退化緩慢，假設一直完好運行.③ 預防維護只能使I回到較新狀態.④ 若I故障時則執行小修，可使其可靠度和加工能力恢復至故障前狀態.⑤ 調整I額定加工周期時，I自身加工能力不改變.

模型參數為：ccm表示單次小修成本，小修時間忽略不計；cpm和tpm表示單次預防維護成本和時間；CR和tR表示置換成本和時間；cop1和cop0分別表示額定加工周期為T1和T0時，單位時間內I的運行成本；ch0表示單位時間內單件產品的緩存成本；c0表示單位時間下游設備的缺貨成本.

本文研究帶有緩存區的雙機生產系統，針對I可靠度和加工能力均發生衰退的情況，以生產系統長期平均成本最低為目標，需要確定最佳緩沖容量K*，上游設備I置換前達到維護閾值的最優次數M*以及最優維護閾值W*，即尋找最優的設備維護和緩存配置策略(K*,M*,W*).

2 建立模型

2.1 生產系統時間模型

2.1.1緩存積累期 因I加工能力發生退化，第j+1 件產品的加工周期Ti,j+1和第j件產品的加工周期Ti,j之間的關系為

Ti,j+1=Ti,j+ΔTi,j+1

(1)

以額定加工周期與實際加工周期的比值來表示設備的加工能力，同時根據假設條件⑤，在τ時刻將額定加工周期從T0調整至T1，則設備的加工能力A滿足：

(2)

式中：∑ΔT和∑ΔT′是τ時刻設備在額定加工周期分別為T0和T1時對應的加工周期增量，可求得加工時間增量之間的關系為

(3)

Ti,j=

(4)

式中：ΔTi,k～Γ(αt,βt)，Γ(αt,βt)是設備I在額定加工周期為T0時，加工周期增加量的分布；φi是第i次預防維護的加工能力修復參數.

I完成第1件產品前，P處于缺貨狀態，因此I完成第j件產品后對應的緩存容量為

(5)

(6)

(7)

2.1.2平穩生產期 I的額定加工周期調整為T0，直至其綜合性能狀態緩慢退化至閾值W，平穩生產期結束，I停止生產.I在生產第i個周期第j件產品時，可靠度R和加工能力A的綜合狀態量wi,j為

wi,j=Ri,jAi,j=

(8)

Ti,j=

(9)

式中：ΔTi,k～Γ(αt,βt).

2.1.3緩存消耗期 I進行預防維護或置換時，P以穩定的速度消耗緩存.進入第i個預防維護周期的緩存消耗期后，P將剩余緩存Klast(i)消耗完的時長為

tB(i)=T0Klast(i)+T0(Ni-Klast(i))+

Ti,1-ti=T0Ni+Ti,1-ti

(10)

緩存消耗期系統狀態分為2種情況：

(1) 預防維護或者置換結束時，緩存已經消耗完畢，即當i

(11)

(2) 若預防維護或置換結束時，緩存仍未消耗完畢，即當i

(12)

根據式(10)～(12)，可以求得I從投入使用到置換的總時間：

(13)

2.2 生產系統成本模型

2.2.1設備維護成本 在生產實際中，預防維護后故障率會顯著降低，但仍劣于初始狀態，同時故障率上升的速度變快[8-9]，因此本文將役齡遞減因子ai[10-11]和故障率遞增因子bi[12-15]相結合，建立混合故障率模型，描述設備可靠度修復結果.預防維護前后，設備故障率函數之間的關系為

λi+1(t)=biλi(t+aiti)

假設設備加工某件產品的過程中，可靠度以及加工能力保持不變，并且設備的失效率服從雙參數Weibull分布，則I生產第j件產品過程中的故障率為

λi,j=

(14)

CM=Cpm+Ccm=

(15)

2.2.2緩存成本和缺貨成本 由圖2可見，不同的生產階段中緩存變化的狀態大有不同.因此，在計算緩存成本時，對3個階段分別進行討論.另外，緩存數量與下游設備是否缺貨直接相關，故將緩存成本和缺貨成本一并分析.

(1) 緩存積累期.此期間緩存量逐漸增加，直至到達設定的緩存容量上限K.在第i個預防維護周期的緩存積累期，至第j件產品生產完成時刻，P的累積產量為

(16)

求解I在緩存積累期內生產第j件產品過程中產生的緩存成本，需考慮緩存數量是否改變，即P累積產量是否增加，因此緩存成本為

CH1(i,j)=

(17)

根據式(16)～(17)可以計算第i個維護周期中緩存積累期產生的總緩存成本：

(18)

在緩存積累期，P僅在I加工第1件產品時發生缺貨，因此P的缺貨成本為

CS1(i)=c0Ti,1

(19)

(2) 平穩生產期.隨著I加工能力的下降，I對緩存區的供給速度將逐漸低于P對緩存區的消耗速度，緩存區在制品容量減少.I在第i個維護周期平穩生產期內生產第j件產品的過程中，實際緩存數量與K的最大差值為

(20)

若ΔK(i,j)≤K，說明直至第j件產品生產完成，即使I的加工能力有退化，緩存量仍能保證P的正常生產，不發生缺貨.為了降低不必要的建模復雜度，默認I加工單件產品的實際周期Ti,j不超過系統額定周期T0的2倍，即Ti,j≤2T0.考慮緩存數量可能改變，由此求得平穩生產期第j件產品生產過程中產生的緩存成本：

CH2(i,j)=

(21)

接下來，根據平穩生產期結束時P是否發生缺貨，本文分情況進行了討論.

情況1若緩存充分，下游設備始終未發生缺貨，根據式(20)，I加工能力下降造成的緩存量下降的最大值為

(22)

在第i個維護周期的平穩生產期結束后，緩存數量為Klast(i)=K-ΔKi，此種情形下，緩存成本為

(23)

第i個維護周期的平穩生產期不發生缺貨，因此有

CS2(i)=0

(24)

(25)

該情況產生缺貨成本，且I在加工第Ni件產品之后，其可靠度和加工能力的綜合性能狀態首次達到設定的預防維護閾值，即wi,Ni≤W，相應期間內總的缺貨成本為

(26)

(3) 緩存消耗期.第i個維護周期的緩存消耗期開始時生產系統的緩存量為Klast(i)，系統進入該階段后，P將剩余緩存全部加工完畢需要的時間為tB(i).

若Klast(i)=0，即系統在預防維護或置換開始時，緩存已經消耗完畢，則該階段不產生緩存成本：

CH3(i)=0

(27)

對應的缺貨成本為

(28)

若Klast(i)>0，緩存消耗期內產生的緩存成本為

(29)

在Klast(i)>0的情形下，無法確定是先完成預防維護或置換動作，還是P先加工完剩余緩存量，因此該階段缺貨成本為

CS3(i)=

(30)

I在綜合性能狀態第M次退化到達設定的閾值時進行置換，再綜合上文中各階段各項成本，可以計算在I的壽命周期內，該生產系統總緩存成本和總缺貨成本為

CH+CS=

(31)

2.2.3設備運行成本 評價本文描述的雙機系統時，P始終正常運行，因此僅考慮I的運行成本.根據式(4)和(9)對加工時間的定義，可以計算第i個預防維護周期的運行成本為

(32)

因此，在I的壽命周期內，總的運行成本為

(33)

3 求解方法

3.1 求解目標

系統總成本包括I的維護成本CM、更換成本CR、運行成本Cop、在制品緩存成本CH和下游設備的缺貨成本CS，I的壽命周期為Ttotal，從而可計算出系統的平均總成本為

(34)

以平均總成本為目標函數，對設備維護與置換策略和緩存容量設計進行聯合決策.通過最小化求解式(34)中的Cavg，確定最優策略(K*,M*,W*).

3.2 求解過程

求解前，考慮實際情況確定緩存區的最大允許量Kmax，并根據現有的設備相關資料確定設備維護次數上限Mmax，同時設定決策變量W的優化范圍為[W1W2]，其中W1

(2)K=1,M=1,W=W1；

(4)W=W+0.01，若W≤W2，返回 (3)；否則轉(5)；

(5) 令K=K+1,W=W1，若K≤Kmax，則轉(3)，否則轉(6)；

(6) 令M=M+1,K=1,W=W1，若M≤Mmax，則轉(3)，否則程序結束.

4 算例分析及討論

根據生產實際及文獻[2]內容，本文選取參數進行數值分析，如表1所示.

根據第3節的求解流程，列部分計算結果于表2中.

表1 參數取值

表2 不同緩存容量下最優預防維護策略及相應平均成本

本文研究的一個關鍵點為緩存對整個生產系統帶來的影響，緩存一方面有效降低了I維護及退化所導致的P缺貨的風險，另一方面其自身又將產生不可忽視的花費.因此，為了凸顯本文策略的有效性，在相同假設條件下，比較設置緩存和不設置緩存兩種情況下系統的長期運行成本.當不設置緩存時，I的額定加工周期不變，與P一致.通過類似的求解流程，可得到聯合決策的最優解為(M*=3,W*=0.2)，相應的平均成本則高達 11.697 4 美元.

對比2種模型處于最優解時的各項成本，表3中數值均為系統在I壽命周期內的各項平均成本.從對比數據可以看出，設置緩存產生的相應成本遠遠小于不設置緩存導致的缺貨成本.考慮到總成本的差異主要來自于緩存成本和缺貨成本之間的差距，因此本文進一步討論了當單位時間缺貨成本與單位時間緩存成本的比值變化時，設置合理緩存是否仍具有經濟上的優越性.如圖3所示，保持ch0不變，c0/ch0取值為10，50，100，200，300，400，500.比較總成本，當c0/ch0增大即缺貨成本增加時，設置緩存帶來的成本節省愈發明顯；只有在該比值小至10時，有緩存和沒有緩存這兩種策略的總成本接近，但是考慮到文本所研究系統在實際中的應用場景，下游設備(如汽車總裝的下游裝配線)缺貨的成本顯著高于緩存成本，因此c0/ch0的值應遠大于10.再觀察圖3中缺貨成本和緩存成本的對比，隨著c0/ch0增長，缺貨成本的增長明顯，但緩存成本的增長速率明顯變緩至維持在一定水平，這也解釋了缺貨成本愈高，設置緩存愈加經濟的原因.綜上，合理的緩存有利于生產系統的長期運營，聯合決策設備預防維護策略和緩存配置是正確的選擇.

表3 各項平均成本對比

圖3 成本隨c0/ch0變化的分析

5 結語

本文基于設備可靠度和加工能力退化的規律，將考慮設備綜合性能退化的預防維護策略引入帶有緩存區的雙機系統中，對生產過程進行了細致描述.依據緩存區的狀態變化，本文將生產過程分為3個階段，即緩存積累期、平穩生產期和緩存消耗期，并分別對各階段緩存數量的變化建立模型.通過計算各階段內產生的緩存、缺貨、維護及運行成本，建立了以上游設備壽命周期內平均成本最低為目標，優化設備預防維護策略和緩存配置的聯合決策模型.算例分析結果表明，盡管緩存將產生部分花費，合理設置緩存仍能夠有效減少總成本.

實際生產中，3臺及以上設備構成的生產線普遍存在，且需考慮設備間的串并聯關系，因此未來工作中將進一步研究復雜多機系統的緩存配置問題.