一種以測量關(guān)鍵特征擬合艙段位姿的方法

陳 棟 李世其 王峻峰 豐 意 何 旺

華中科技大學(xué)機(jī)械科學(xué)與工程學(xué)院，武漢，430074

0 引言

總裝對接是確保航空航天類產(chǎn)品成功制造的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。實(shí)現(xiàn)總裝對接的數(shù)字化裝配系統(tǒng)主要由測量系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、對接執(zhí)行機(jī)構(gòu)和數(shù)據(jù)處理軟件等組成。測量系統(tǒng)通常采用激光跟蹤儀和iGPS等數(shù)字化設(shè)備采集目標(biāo)部件的空間位姿數(shù)據(jù)并反饋到數(shù)據(jù)處理軟件中，進(jìn)而引導(dǎo)對接執(zhí)行機(jī)構(gòu)實(shí)現(xiàn)部件總裝對接[1-2]。其中，總裝部件的位姿測量是確保對接任務(wù)順利實(shí)施的前提和關(guān)鍵，通過研究空間位姿測量及擬合方法對于提高位姿測量精度并確保裝配準(zhǔn)確度具有重要意義和價(jià)值。

目前，剛體位姿測量及解算一般通過測量剛體上的多個(gè)位姿基準(zhǔn)點(diǎn)并作為換算點(diǎn)，從而將剛體位姿求解問題轉(zhuǎn)換為參考坐標(biāo)系和剛體連體坐標(biāo)系之間的點(diǎn)集匹配問題，然后再通過點(diǎn)集匹配算法進(jìn)行求解[3]。例如，文獻(xiàn)[4]研究并比較了奇異值分解法、三點(diǎn)法和最小二乘法計(jì)算飛機(jī)大部件位姿及精度問題。文獻(xiàn)[5]提出了一種基于單目視覺四元數(shù)法的解析方法解決航天器相對位置測量和姿態(tài)參數(shù)估計(jì)的問題。文獻(xiàn)[6]將機(jī)翼姿態(tài)評估問題轉(zhuǎn)化為空間點(diǎn)與曲面之間的配準(zhǔn)問題，提出了一種基于ICP(iterative closest point)算法的姿態(tài)評估方法。此外，文獻(xiàn)[7]還提出了一種矢量位姿求解法，通過在圓柱體艙段上按照一定規(guī)則布置測量特征點(diǎn)以求解得到艙段位姿參數(shù)。該方法對特征點(diǎn)的布置技術(shù)要求較高，實(shí)現(xiàn)較為困難。雖然以上基于點(diǎn)集匹配的方法在擬合剛體位姿時(shí)能夠得到較為滿意的效果，但需要事先在剛體上加工多個(gè)精度較高的位姿基準(zhǔn)點(diǎn)以滿足測量需求，這對于某些難以更改產(chǎn)品設(shè)計(jì)和加工工藝的航天產(chǎn)品并不實(shí)用。針對這類無法設(shè)置標(biāo)記點(diǎn)的剛體位姿測量問題，目前研究較多的是通過測量關(guān)鍵特征的方法獲取剛體位姿。文獻(xiàn)[8]提出了一種基于關(guān)鍵裝配特性的最佳裝配位姿擬合方法，以裝配關(guān)鍵特性相關(guān)公差的重要程度構(gòu)建了最小綜合偏差函數(shù)，進(jìn)而獲取裝配體間的最佳裝配位姿。文獻(xiàn)[9]針對飛機(jī)部件的位姿測量問題，提出了利用外型面關(guān)鍵特征來構(gòu)建部件的對接向量，最后進(jìn)行位姿擬合的方法。文獻(xiàn)[10]提出了一種測量輔助裝配方法框架以實(shí)現(xiàn)基于關(guān)鍵測量特性的過程集成和數(shù)據(jù)融合。本文與以上基于測量關(guān)鍵特性的位姿求解方法的不同之處在于，本文先在待測量部件上選取加工精度較高的直接關(guān)鍵特征，經(jīng)激光跟蹤儀采點(diǎn)測量后，利用改進(jìn)的最小二乘法剔除直接關(guān)鍵特征中的粗差測量點(diǎn)，再用其余合格測點(diǎn)擬合得到多個(gè)間接關(guān)鍵特征。最后通過融合間接關(guān)鍵特征構(gòu)建出待測部件的坐標(biāo)系，并獲得相應(yīng)的位姿參數(shù)。本文以圓筒形艙段為例，在仿真試驗(yàn)中利用所提出的方法求得了滿足對接任務(wù)需要且精度較高的艙段位姿參數(shù)。

1 空間位姿的表達(dá)方法

在圖1所示的總裝對接場景中，以激光跟蹤儀所在的測量坐標(biāo)系為全局坐標(biāo)系，則部件的空間位姿可用部件連體坐標(biāo)系相對于測量坐標(biāo)系的變換關(guān)系來表示。

一般情況下，可將部件位姿按向量方式表示為(x,y,z,α,β,γ)T。其中，(x,y,z)T為部件坐標(biāo)系原點(diǎn)在測量坐標(biāo)系中的位置分量，(α,β,γ)T為部件坐標(biāo)系相對于測量坐標(biāo)系的姿態(tài)角。

(1)

式中，sα表示sinα，cα表示cosα，依此類推。

2 關(guān)鍵特征提取及連體坐標(biāo)系構(gòu)建

由于在待測部件上無法事先加工測量基準(zhǔn)點(diǎn)，本文采用了測量關(guān)鍵特征的方式間接構(gòu)造部件坐標(biāo)系以獲取其位姿參數(shù)。下面以圖2所示的固定段為例，通過關(guān)鍵特征來構(gòu)造其連體坐標(biāo)系。

圖2 艙段坐標(biāo)系構(gòu)造示意圖Fig.2 Schematic diagram of cabin coordinate system

根據(jù)固定段外型面及連接螺栓加工精度較低，對接端面、內(nèi)圓柱面和定位銷的加工精度較高的特點(diǎn)，以及移動段與固定段中心軸線需具有較高同軸度的任務(wù)需求，首先選取固定段上加工精度較高的對接端面、內(nèi)圓柱面以及定位銷外圓柱面作為直接關(guān)鍵特征，經(jīng)激光跟蹤儀采點(diǎn)測量并擬合。然后通過擬合直接關(guān)鍵特征構(gòu)造出艙段中心軸線、對接端面法線及定位銷軸線等間接關(guān)鍵特征。最后融合間接關(guān)鍵特征構(gòu)造出艙段的連體坐標(biāo)系：具體是沿對接端面的法矢量方向建立X軸，以對接端面與內(nèi)圓柱面軸線的交點(diǎn)構(gòu)造坐標(biāo)系原點(diǎn)Of。若記對接端面與定位銷中心軸線的交點(diǎn)為Pp0，則沿原點(diǎn)Of與Pp0連線的矢量方向建立Z軸，最后Y軸由右手定則確定，從而構(gòu)造固定艙段連體坐標(biāo)系F，即OfXYZ。

3 關(guān)鍵特征擬合及位姿參數(shù)求解

若根據(jù)圖3所示的邏輯結(jié)構(gòu)圖構(gòu)造坐標(biāo)系F，則需要先擬合出內(nèi)圓柱面及定位銷的空間中心軸線，再求取相應(yīng)交點(diǎn)。本文采用一種先將測量點(diǎn)投影再擬合投影點(diǎn)的方法直接求取空間中心軸線與對接端面的交點(diǎn)，避免了復(fù)雜的空間直線擬合。因此，坐標(biāo)系F的構(gòu)造包括對接端面的擬合以及空間中心軸線與對接端面交點(diǎn)的擬合。

圖3 固定艙段連體坐標(biāo)系構(gòu)造結(jié)構(gòu)圖Fig.3 Construction diagram of cabin coordinate system

3.1 對接端面的擬合

在艙段對接端面上選取n個(gè)點(diǎn)，坐標(biāo)系在L下測得坐標(biāo)為P1i=(x1i,y1i,z1i)T，i=1,2,…,n。由于實(shí)際中對接端面不經(jīng)過坐標(biāo)系L的原點(diǎn)，因此對接端面P的方程可表示為

Apx+Bpy+Cpz+1=0

(2)

其中，Ap、Bp、Cp為該平面方程系數(shù)。

將以上n個(gè)測點(diǎn)坐標(biāo)代入式(2)并由最小二乘法擬合得到系數(shù)向量：

(3)

以Sn=(Ap,Bp,Cp)T表示對接端面法向矢量，可沿其單位向量u=Sn/|Sn|方向構(gòu)建坐標(biāo)系F的X軸。

3.2 空間中心軸線與對接端面交點(diǎn)的擬合

本文以內(nèi)圓柱面中心軸線與對接端面交點(diǎn)Of的擬合為例，介紹空間直線與平面交點(diǎn)的擬合方法。首先從固定段的內(nèi)圓柱面上選取m個(gè)點(diǎn)測量，以擬合的對接端面為基準(zhǔn)投影面，得到m個(gè)投影點(diǎn)。然后，利用投影點(diǎn)擬合出空間圓。該空間圓可看作球面與平面的截交線，圓心可看作球心在平面上的投影點(diǎn)，即為坐標(biāo)系F的原點(diǎn)Of。

在內(nèi)圓柱面上利用激光跟蹤儀選取m個(gè)點(diǎn)P2i=(x2i,y2i,z2i)T(i=1,2,…,m)測量，以對接端面為投影基準(zhǔn)面，根據(jù)投影點(diǎn)與對接端面互相垂直的約束條件，可解得m個(gè)投影點(diǎn)P3i=(x3i,y3i,z3i)T的坐標(biāo)分量為

(4)

設(shè)空間球面S的方程為

Asx+Bsy+Csz-Ds=x2+y2+z2

(5)

式中，As、Bs、Cs、Ds為球面方程系數(shù)。

將所求投影點(diǎn)P3i代入空間球面方程，并根據(jù)最小二乘法擬合球面系數(shù)向量：

(6)

解得球心坐標(biāo)Pc=(As/2,Bs/2,Cs/2)T。

將Pc投影于對接端面得到原點(diǎn)Of，按照式(4)即可求得Of坐標(biāo)(xf,yf,zf)T。

此外，在定位銷上選取k個(gè)測量點(diǎn)，同理可擬合出定位銷軸線與對接端面的交點(diǎn)Pp0，并得到艙段坐標(biāo)系F的Z軸單位方向向量。再結(jié)合所擬合X軸和原點(diǎn)Of，即可構(gòu)造出坐標(biāo)系F。

3.3 艙段位姿參數(shù)求解

由坐標(biāo)系F各軸單位矢量與旋轉(zhuǎn)矩陣R的關(guān)系得

(7)

其中R第一、二、三列分別為坐標(biāo)系F的X、Y、Z軸單位矢量在坐標(biāo)系L下的表達(dá)。聯(lián)立式(1)與式(7)求得姿態(tài)角：

(8)

坐標(biāo)系F原點(diǎn)Of向量表示在坐標(biāo)系L下的平移矢量T：

T=(xf,yf,zf)T

(9)

4 基于2σ準(zhǔn)則的最小二乘法改進(jìn)

根據(jù)測量平差理論，在利用激光跟蹤儀進(jìn)行位姿測量時(shí)，主要存在隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗大誤差這三種誤差[11]。其中粗大誤差主要是由于對儀器操作不當(dāng)或地基震動引起的，受其影響的測量點(diǎn)稱為粗差異常點(diǎn)。當(dāng)利用傳統(tǒng)最小二乘法進(jìn)行擬合時(shí)，粗差異常點(diǎn)會使其擬合結(jié)果偏離真實(shí)值，尤其是當(dāng)數(shù)據(jù)量較少且粗差較大時(shí)，擬合結(jié)果會存在較大誤差，產(chǎn)生嚴(yán)重失真。所以粗大誤差對基于傳統(tǒng)最小二乘法的位姿計(jì)算方法的擬合結(jié)果影響較大，即容錯(cuò)性較差[12]。

在對接端面和中心軸線與對接端面交點(diǎn)的擬合過程中，均用到了傳統(tǒng)的最小二乘法，對其改進(jìn)的基本思路是：利用2σ準(zhǔn)則對最小二乘法的數(shù)據(jù)源進(jìn)行探測篩選以識別其中的粗差異常點(diǎn)，即將殘差分布在±2σ范圍外的測點(diǎn)視為粗差異常點(diǎn)，通過對剔除粗差異常點(diǎn)后的測點(diǎn)進(jìn)行最小二乘擬合以得到精度更高的擬合結(jié)果，從而獲得更準(zhǔn)確的位姿參數(shù)。

4.1 基于改進(jìn)最小二乘法的對接端面參數(shù)求解

(1)計(jì)算n個(gè)測點(diǎn)P1i到對接端面的距離：

(10)

(2)計(jì)算n個(gè)距離Di的算術(shù)平均值：

(11)

(3)計(jì)算殘差Ui：

(12)

(4)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差σ1：

(13)

(5)精度判定：若|Ui|≤2σ1，則保留該測點(diǎn)；否則作為粗差點(diǎn)剔除。

(6)利用保留的測點(diǎn)由最小二乘法擬合出新的對接端面方程，按照以上步驟迭代計(jì)算，直到獲得最佳的平面方程系數(shù)。

4.2 基于改進(jìn)最小二乘法的原點(diǎn)坐標(biāo)求解

(1)計(jì)算m個(gè)投影點(diǎn)P3i與原點(diǎn)Of的距離：

(14)

(2)計(jì)算m個(gè)距離Dio的算術(shù)平均值：

(15)

(3)計(jì)算殘差Uio：

(16)

(4)計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差σ2：

(17)

(5)精度判定：若|Uio|≤2σ2，則保留該測點(diǎn)；否則作為粗差點(diǎn)剔除。

5 數(shù)值仿真試驗(yàn)

艙段位姿測量試驗(yàn)現(xiàn)場如圖4所示。根據(jù)三維模型與現(xiàn)場實(shí)物的坐標(biāo)匹配關(guān)系，固定艙段坐標(biāo)系F相對于測量坐標(biāo)系L的理論位姿為(-101，197.689，-2 592.893，-31.448°，0，0)T。

圖4 固定艙段位姿的測量現(xiàn)場Fig.4 Scene of pose measurement of fixed cabin

利用FARO vantage激光跟蹤儀作為測量設(shè)備，在現(xiàn)場通過手持靶球的方式在固定艙段的三類關(guān)鍵特征上即艙段對接端面、內(nèi)圓柱面及定位銷表面采點(diǎn)測量用于特征擬合及艙段位姿坐標(biāo)系構(gòu)建。測點(diǎn)在坐標(biāo)系L下的坐標(biāo)由CAM2 Measure軟件采集，如圖5所示,分別記錄于表1、表2和表3。表中的序號表示了前文中在各特征上選取的測點(diǎn)個(gè)數(shù)，即n=m=k=12。

圖5 固定艙段位姿測點(diǎn)數(shù)據(jù)采集Fig.5 Data collection of pose measurement of fixed cabin

表1 對接端面測量點(diǎn)坐標(biāo)Tab.1 Coordinates of measuring points of end plane

表2 內(nèi)側(cè)圓柱面測量點(diǎn)坐標(biāo)Tab.2 Coordinates of measuring points of internal cylinder

根據(jù)表1～表3的測點(diǎn)數(shù)據(jù)，利用本文提出的以關(guān)鍵特征擬合艙段位姿的方法，首先結(jié)合最小二乘法對艙段位姿進(jìn)行求解。然后通過對比2σ準(zhǔn)則改進(jìn)測點(diǎn)數(shù)據(jù)誤差前后與最小二乘法求解結(jié)果在精度上的差異，驗(yàn)證基于2σ準(zhǔn)則改進(jìn)最小二乘法求解位姿的有效性和實(shí)用性。

表3 定位銷銷軸測量點(diǎn)坐標(biāo)Tab.3 Coordinates of measuring points of dowel pin

首先在所有測量點(diǎn)坐標(biāo)中引入幅值分別為0，0.004 mm，0.008 mm，0.012 mm，0.016 mm，0.020 mm的隨機(jī)誤差，此外，在所有測量點(diǎn)中，將1.000 mm誤差隨機(jī)賦予其中一點(diǎn)作為粗差異常點(diǎn)。用來驗(yàn)證基于2σ準(zhǔn)則的改進(jìn)最小二乘法在不同隨機(jī)誤差和粗大誤差下，求解艙段位姿的精度及求解精度的魯棒性。然后對每種隨機(jī)誤差下的測量點(diǎn)利用改進(jìn)前后的最小二乘法分別進(jìn)行500次迭代計(jì)算，并將求得的位姿均值作為艙段位姿。表4列出了利用改進(jìn)前算法計(jì)算得到的艙段位姿參數(shù)(xf1,yf1,zf1,αf1,βf1,γf1)T，表5為改進(jìn)后算法計(jì)算的艙段位姿參數(shù)(xf2,yf2,zf2,αf2,βf2,γf2)T。其中，表中序號1～6分別表示從隨機(jī)誤差幅值由0～0.020 mm不斷增加的6種情況所對應(yīng)的固定段位姿參數(shù)。

表4 算法改進(jìn)前位姿參數(shù)求解結(jié)果Tab.4 Results of pose parameters of traditional LSM

表5 算法改進(jìn)后位姿參數(shù)求解結(jié)果Tab.5 Results of pose parameters of improved LSM

艙段位姿求解算法在改進(jìn)前后，所求得的艙段位姿參數(shù)的絕對誤差隨測量點(diǎn)隨機(jī)誤差變化的關(guān)系曲線分別如圖6、圖7所示。

圖6 算法改進(jìn)前艙段位姿參數(shù)求解誤差Fig.6 Errors of pose parameters of traditional LSM

圖7 算法改進(jìn)后艙段位姿參數(shù)求解誤差Fig.7 Errors of pose parameters of improved LSM

表4和表5的序號1中所計(jì)算的艙段理論位姿參數(shù)是在隨機(jī)誤差為0的情況下，分別由改進(jìn)前后的最小二乘法得到。該組結(jié)果表明，改進(jìn)前的最小二乘法在求解位姿參數(shù)時(shí)，所得結(jié)果的絕對誤差值較大。利用2σ準(zhǔn)則改進(jìn)后的最小二乘法擬合關(guān)鍵特征所求得艙段位姿參數(shù)則更加接近事先給定的位姿理論值。表4和表5中，序號2～6的艙段位姿參數(shù)表明，隨機(jī)誤差幅值增大會影響艙段位姿參數(shù)擬合結(jié)果的絕對誤差。而圖6和圖7中的曲線更加清楚地反映出位姿參數(shù)求解誤差與隨機(jī)誤差的關(guān)系。圖6、圖7中的仿真曲線表明：改進(jìn)前后的位姿擬合算法均在隨機(jī)誤差幅值增加的情況下，對固定艙段位姿參數(shù)擬合的絕對誤差呈現(xiàn)出增大的趨勢。對比圖6和圖7發(fā)現(xiàn)，隨著隨機(jī)誤差幅值從0到0.02 mm不斷增大，改進(jìn)前后最小二乘法求解所得位姿參數(shù)的誤差總體上均呈增大的趨勢，但改進(jìn)后的求解誤差的量級明顯降低。例如，在位姿分量X方向上出現(xiàn)的最大絕對誤差值約為2 mm。而改進(jìn)后的算法所求得的X方向位姿分量最大絕對誤差值約為0.015 mm。可見，改進(jìn)后的擬合算法在求得位姿分量時(shí)，其求解精度與前者相比降低約兩個(gè)數(shù)量級。仿真結(jié)果也表明在隨機(jī)誤差較大時(shí)，改進(jìn)前的最小二乘法求解精度較低，且隨機(jī)誤差增大時(shí)，對其求解精度影響較大。改進(jìn)后的最小二乘位姿擬合方法更加有效，其求解精度較高，求解精度受隨機(jī)誤差的影響也較小。

6 結(jié)論

(1)本文提出基于關(guān)鍵特征測量的艙段位姿擬合方法，其優(yōu)點(diǎn)在于通用性好，并解決了無法在產(chǎn)品上額外加工基準(zhǔn)點(diǎn)的位姿測量問題，具有較強(qiáng)的實(shí)用價(jià)值。

(2)位姿擬合的數(shù)值仿真結(jié)果表明，利用2σ準(zhǔn)則對最小二乘法的數(shù)據(jù)源改進(jìn)后，在隨機(jī)誤差和粗差異常點(diǎn)都存在的情況下，仍能求得精度較高的艙段位姿參數(shù)。

(3)通過增加測點(diǎn)個(gè)數(shù)可進(jìn)一步提高該方法的魯棒性和艙段位姿參數(shù)求解精度。該方法對于其他類型的剛體位姿求解問題也具有參考價(jià)值。