一道“計質量的繩子”試題引發的思考

方全波

(重慶第八中學校,重慶 400030)

在一次自主招生培訓中,遇到了如下一道物理試題,該試題是一道常規試題,對于高三且有一定競賽基礎的優秀學生來說輕易而舉．那如何把試題處理得更有意義,讓學生有意想不到的收獲,顯得格外重要．

圖1

試題呈現.如圖1所示,一個半徑為R的1/4光滑球面放置在水平桌面上．球面上放置一光滑均勻繩子,其A端固定在球面的頂點,B端恰與桌面不接觸,單位長度的質量為λ．試求繩子A端受到的拉力．

1 常規解法

1.1 微元法求解

因為該試題中的繩子是計質量的,且與以前處理的滑塊問題等有所不同,繩子是彎在球面上的,學生很容易想到微元法．有如下的2種解法.

(1) 功能關系解題.

設想這樣一個虛擬過程,繩子受到A點的F拉力使繩子緩慢向上移動一個小距離Δl．

拉力F做功為WF=FΔl，繩子所受重力做功為WG=-λΔlgR.因為球面光滑,且繩子緩慢向上移動,繩子的動能沒有變化,所以滿足FΔl=λΔlgR，

圖2

得F=λgR.

(2) 平衡法.

如圖2所示,對繩子微元后,每一小微元Δθ對應的繩子的合力都應該為0．則

因為Δθ≈0，所以

ΔF=F1-F2=λRΔθgsinθ,

對此式積分得

1.2 整體法求解

(1) 定軸轉動定律求解.

因為繩子整體靜止,所以可以認為繩子繞O點轉動,合力矩為0．由分析可知，球面對繩子的支持力的力矩為0．則

圖3

也可以先求出整條繩子的質心．建立如圖3所示的直角坐標系．

(2) 三力共點且平衡求解.

圖4

2 割補法

此題中的繩子一端固定在A端,一端恰在B端與桌面不接觸,首尾不相連．借助以前學的割補法,要是在AB兩端再加上一段相同材料的繩子,讓其形成閉合繩子會不會對解題有所幫助呢．

圖5

如圖5所示為補償后形成閉合繩子后的示意圖,由機械能守恒知,開始該閉合繩子能夠靜止,后面一定也靜止．因為質量均勻,所以OB下方的繩子對O、B兩點的拉力F1大小相同,左右兩邊的繩子對A點的拉力F大小也相同．這樣就把求右側彎曲繩子對A拉力的問題,轉化為左側直線繩子對A拉力的求解問題．則F=λgR+F1．要使題目中的AB段繩子處于靜止狀態,只需要在A處施加一個大小為F=λgR的拉力即可．顯然簡化了運算．

3 類比“水壓” 法

圖6

在用割補法解決這個問題時,我們發現要使AO段豎直繩子和AB段圓弧繩子分別靜止,對A點其施加的沿繩方向拉力大小應相同．如果構造的封閉繩子左側不是豎直的,那又是什么情況呢?

如圖6所示,若構建的封閉繩子左側放在光滑的斜面AC上時,我們會發現CB段下方的繩子對C、B兩點的拉力大小相等;左右兩邊的繩子對A點的拉力大小也相同,那么AC段繩子與AB段繩子對A點的拉力大小也是相同．通過進一步分析發現:AC段可以為任意形狀的光滑面,只要C、O、B3點在同一條直線上,AC段繩子與AB段繩子對A點的拉力大小都是相同．也就是說要使相同材料的繩子靜止在圖示等高的光滑面上(如圖7),對繩子頂點施加的沿繩子方向拉力的大小都應該相同F=λgh．

圖7

圖8

之所以在頂點需要拉力是因為本題考慮了繩子的重力,從而使繩子發生形變,繩子內部出現了彈力．水的壓力本質也是因為水的重力,導致水的內部出現彈力．不同的地方在于本題中的繩子是被拉長的,而一般情況下水是因受重力被擠壓的．我們可以把此題中的繩子想象用如圖8所示容器裝的單位長度的質量為λ的水,就變成了求水對A處的壓力了．此題就可以直接得出結果F=λgR．

在學生學習的不同階段,試題所起到的作用是不同的．在學習新知識的階段,試題的最大作用體現在對剛學知識的反饋上;在提高階段,對試題的處理上不能就題講題了,我們需要盡可能的啟發和引導學生從不同的角度、不同的思路及用不同的方法去解決該問題．本文從常規的解題思路,引申到割補法、進而找到類比“水壓”的方法,從而使試題的廣度和深度被挖出來.這樣才能起到事半功倍的效果.通過這樣的處理,學生才能找到知識與知識、試題與試題、方法與方法之間的聯系,最終形成發散性的思維,提高學生處理問題的能力．