探究解決與彈簧相關的多運動過程
——2018年高考全國Ⅰ卷第15題

展宗程

(甘肅省靖遠縣第三中學,甘肅 靖遠 730699)

2017版普通高中物理課程標準提出學科核心素養,注重學科育人價值．以彈簧模型命題的高考試題在歷年高考中頻頻出現,這類問題綜合性很強,是高考的熱點和難點．縱觀歷年高考物理試題,與彈簧有關的考題占相當大的比例．對于彈簧問題,從力的角度看,彈力是變力,從能量的角度看,彈簧是儲存能量的裝置,彈簧類問題能很好的考查學生的綜合分析能力,所以一直備受高考命題老師的青睞．彈簧模型總是跟其他物體直接或間接地連接在一起,通過物塊的運動帶到彈簧的長度發生變化,在物體的運動過程中與之連接的物體受力、加速度、動能和能量等發生變化,并且牽扯的過程較多,這一點在近幾年的高考中也得到了充分的體現．本文從物理學科核心素養的視角分析2018年全國Ⅰ卷物理的第15題,并對試題進行變形,探究解決此類問題的思路和方法．

1 典例分析

圖1

(2018年高考物理全國卷Ⅰ第15題)如圖1,輕彈簧的下端固定在水平桌面上,上端放有物塊P,系統處于靜止狀態,現用一豎直向上的力F作用在P上,使其向上做勻加速直線運動,以x表示P離開靜止位置的位移,在彈簧恢復原長前,下列表示F和x之間關系的圖像可能正確的是

從物理思維的角度分析,對運動過程構建物理模型如圖2所示,本題涉及運動過程模型的建立、輕彈簧模型建立;根據彈簧彈力公式結合本題條件明確初始位置與位移x的關系,正確寫出彈力表達式;依據受力分析根據牛頓第二定律寫出力與運動的規律表達式,結合數學知識判定F和x之間關系的圖像．

圖2

本題易錯分析:部分學生死記硬背彈簧彈力的公式F=kx,誤解公式中x就是彈簧的長度或是模糊不清,只要是x就直接代入計算．于是依據受力分析根據牛頓第二定律得到F+kx-mg=ma,推導得出F=m(g+a)-kx,F與x之間應該是線性一次函數，且斜率為負,結果沒有符合答案的圖像．分析原因就是沒有把概念公式記清楚,缺乏物理思維核心素養,沒有構建物理模型．

解析:以物塊P為研究對象,彈簧的原長位置在O處,物塊靜止時彈簧被壓縮處于A位置,設彈簧的壓縮量為x0,物塊P的質量為m,彈簧的勁度系數為k,在A位置物塊處于靜止狀態,對其受力分析,由平衡條件得

kx0=mg.

(1)

以向上為正方向,設物塊P在力F的作用下從A點向上移動到B位置,從靜止向上移動的距離為x,彈力為

Fk=k(x0-x),

(2)

由牛頓第二定律得

F+Fk-mg=ma,

(3)

由以上各式得F=kx+ma．由于物塊向上做勻加速直線運動,加速度a恒定不變,即ma恒定．可知F與x是線性的一次函數關系,且F隨著x的增大而增大,故(A)正確,(B)、(C)、(D)錯誤．

點評:解答本題的關鍵是先分析靜止時P的受力情況,由于彈簧彈力在變,物體做勻加速運動,所以拉力F是一個變力,從物理思維的角度來看,此題考查了學生物理建模思維和運動過程綜合分析能力．在審題時應抓住題目的關鍵信息,如“靜止狀態”、“勻加速直線運動”、“離開靜止位置的位移”和“彈簧恢復原長前”等,把握主要因素,簡化運動過程,建立運動過程的物理模型．

圖3

2 一題多變,思維拓展

變式1.水平地面上有一直立的輕質彈簧,下端固定,上端與物體A相連接,整個系統處于靜止狀態．現用一豎直向下的力F作用在物體A上,使A向下做一小段勻加速直線動(彈簧一直處在彈性限度內)如圖所示.在此過程中力F的大小與物體向下運動的距離x間的關系圖像正確的是

從物理思維的角度分析:對整個運動過程建立模型如圖4所示,本題與典例的不同之處在于將力F變為向下,在力F的作用下使物塊向下做勻加速直線運動,主要涉及運動模型構建和分析,剛開始物體處于靜止狀態,對物塊受力分析,可求彈簧彈力和壓縮量x0,然后在力F作用下物塊向下勻加速運動,根據牛頓第二定律寫出力F與物體向下運動的距離x間的關系,其中Fk=kΔx=k(x0+x),其中Δx是學生最容易出現錯誤的地方,有了物體運動模型分析圖學生理解就比較容易,最終可以找到這兩個物理量之間所對應的圖像．

圖4

解析:設彈簧的原長位置為O處,將物塊A放在彈簧上整個系統處于靜止狀態,此時物塊處于B位置,由平衡條件得

mg=kx0.

(1)

施加F后,物塊向下從B到C做勻加速直線運動,由牛頓第二定律得

F+mg-Fk=ma,

(2)

Fk=kΔx=k(x0+x),

(3)

由以上3式解得F=ma+kx,ma是定值,所以可知F-x圖像是(D)選項．

點評:本題將力F的方向發生變化,而其它條件不變,探究F與向下運動的距離x間的關系,是對受力分析和牛頓運動定律的綜合運用的考查,通過典型題的變型,考查學生是否真正掌握此類問題分析處理方法和技巧．

圖5

變式2.如圖5所示,輕彈簧的下端固定在水平面上,上端疊放有質量相等的物塊P、Q,系統處于靜止狀態．現用豎直向上的力作用在P上,使其向上做勻加速直線運動．以x表示Q離開靜止位置的位移,F表示物塊P對Q的壓力大小,在P、Q分離之前,下列表示F和x之間關系的圖像可能正確的是

圖6

從物理思維的角度分析:對整個運動過程物理模型建立如圖6所示,主要涉及運動過程建模,結合運動對物塊受力分析,剛開始在拉力F0的作用下使PQ一起向上做勻加速運動,對PQ整體受力分析,明確x0與x之間的關系,根據牛頓第二定律寫出力F與x的關系表達式,從而找到P對Q的壓力大小F與x之間關系的圖像．

解析:剛開始系統處于靜止狀態,對P、Q整體受力分析可得

Fk=2mg=kx0.

(1)

施加拉力F使其向上做勻加速直線運動,在P、Q沒有分離前,P、Q一起加速直線運動,仍將P、Q看作一個整體受力分析

F0+kΔx-2mg=2ma，

(2)

其中Δx為彈簧的形變量,Δx=(x0-x),然后對P隔離受力分析,由牛頓第二定律得

F0+F-mg=ma.

(3)

由(1)～(3)式得

F和x關系圖像的斜率為負,所以(C)選項正確．

點評:本題在典例的基礎上再次進行變形,將原來的一個物塊變為兩個物塊,而其它條件不變,探究拉力F0與Q離開靜止位置的位移x的關系,其目的在于通過一題多變、一題多練,讓學生掌握利用物理建模與過程分析處理此類問題的方法．

圖7

變式3.如圖7所示,一勁度系數為k=800 N/m的輕彈簧兩端各焊接著兩個質量均為m=12 kg的物體A、B．物體A、B和輕彈簧豎立靜止在水平地面上,現要加一豎直向上的力F在上面物體A上,使物體A開始向上做勻加速運動,經0.4 s物體B剛要離開地面,設整個過程中彈簧都處于彈性限度內,取g=10 m/s2,求:

(1) 此過程中所加外力F的最大值和最小值．

(2) 此過程中外力F所做的功．

圖8

從物理思維的角度分析:對運動過程構建物理模型如圖8所示,此題在變式2的基礎上又進行變形,將兩個物塊分別固定在彈簧的兩端,在外力F作用于A物體上,使物體A開始向上做勻加速運動,當A開始做勻加速運動時,物體A受重力、彈簧彈力和拉力,由于彈簧的形變量最大,彈力最大,所以此時拉力F最小,同理可知當B剛要離開地面時,拉力F最大．

解析: (1) 剛開始沒有拉力作用下A處于靜止狀態,由平衡條件得

kx1=mg.

(1)

當A開始做勻加速運動時,物體A受重力、彈簧彈力和拉力,由于彈簧的形變量最大,彈力最大,所以此時拉力F最小,設拉力為F1,由牛頓第二定律得

F1+kx1-mg=ma.

(2)

同理可知當B剛要離開地面時,對B由平衡條件得

kx2=mg.

(3)

拉力F最大,設拉力為F2,對A有由牛頓第二定律得

F2-kx2-mg=ma.

(4)

物體A向上做勻加速運動有

(5)

由(1)～(5)式得

a=3.75 m/s2,F1=45 N,F2=285 N.

點評:本題在變式3的基礎上再次進行變形,將兩個物塊固定在彈簧的兩端,力F的作用下,使物體A開始向上做勻加速運動,最終使B物塊剛好離開地面,探究拉力所加外力F的最大值和最小值,該題主要考查應用牛頓第二定律分析運動過程,要求同學們能正確分析物體的受力情況,通過變形讓學生掌握利用物理建模與過程分析處理此類問題的方法．

變式4.(2005年全國卷Ⅲ)如圖9所示,在傾角為θ的光滑斜面上有兩個用輕質彈簧相連接的物塊A、B,它們的質量分別為mA、mB,彈簧的勁度系數為k,C為一固定擋板．系統處一靜止狀態,現開始用一恒力F沿斜面方向拉物塊A使之向上運動,求物塊B剛要離開C時物塊A的加速度a和從開始到此時物塊A的位移d,重力加速度為g．

圖10

從物理思維的角度分析:對運動過程構建物理模型如圖10所示,本題就是在變式3模型的基礎上進行變化,將兩個物塊放在斜面上,運動過程相類似,求解此題關鍵要對運動過程建立模型及分析A、B在整個過程中的受力情況,剛開始時A、B處于靜止,對A受力分析可知道剛開始時彈簧的壓縮量x1,當分離瞬時B與擋板之間相互作用的彈力為0,對B受力分析可知彈簧的伸長量x2,通過運動過程圖像可知道A的位移d與x1和x2的關系．

解析:設未施加拉力F時彈簧的壓縮量為x1,對物塊A受力分析,由平衡條件可知

mAgsinθ=kx1.

(1)

當B剛要離開擋板C時彈簧的伸長量為x2,對B受力分析,由平衡條件可知

kx2=mBgsinθ.

(2)

對A受力分析,由牛頓第二定律得

F-mAgsinθ-kx2=mAa.

(3)

從開始到此時物塊A的位移為

d=x1+x2.

聯立(1)、(2)式可得

點評:求解此題的關鍵在于畫運動過程圖像和對物塊正確受力分析,根據平衡條件確定彈簧的壓縮量、伸長量,通過過程模型和分離條件確定物塊A向上運動的位移d與壓縮量、伸長量的關系．在教學時要分析物塊A向沿斜面向上為什么不是勻加速直線運動的原因．

圖11

(1) 彈簧的勁度系數;

(2) 物塊b加速度的大小;

(3) 在物塊a、b分離前,外力大小隨時間變化的關系式．

圖12

從物理思維的角度分析:對運動過程構建物理模型如圖12所示,此高考題是在上一題的基礎上將兩個物塊疊放在一起進行變形,求解此題時應弄清楚整個運動過程及a、b運動的位移時間關系,所以必須畫出運動過程模型圖,方便學生理解過程,找到對應物理量;同時要知道物塊a、b分離時的臨界條件:分離瞬時ab之間相互作用的彈力為0,a、b的加速度相等．

解析:(1) 物塊a、b靜止在斜面上,對ab整體受力分析,由平衡條件可知

(1)

(2)

(2) 設物塊b勻加速運動的加速度為a,物塊a、b分離時b的位移為x1,相等時間為t,由運動學公式得

(3)

(4)

a、b分離時a、b之間相互作用的彈力為0,a、b的加速度相等,彈簧仍然處于壓縮狀態,分離瞬時對a受力分析,由牛頓第二定律可知

k(x0-x1)-mgsinθ=ma.

(5)

聯立以上各式解得

(6)

(3) 設外力為F,經過時間t1彈簧的壓縮量為x,在物塊a、b分離前,對ab整體受力分析,由牛頓第二定律可得

(7)

(8)

聯立以上各式解得

點評:根據運動學規律可明確分離時的位移,從而確定對應的形變量,第一過程,物塊a、b緊貼在一起勻加速直線運動,運動過程的臨界狀態,一段時間后物塊a、b分離瞬間,第二過程,a、b分離后b繼續做勻加速直線運動．利用整體與隔離相結合的方式進行受力分析和運動過程分析,根據牛頓第二定律列式即可求得拉力隨時間變化的表達式．

3 物理教學建議

3.1 注重力學基礎教學——受力分析

在高中物理教學中,力學占據著很重要的地位,要想學習好高中物理,基礎是力學,而受力分析是力學的核心基礎,是解決力學問題的鑰匙．所以作為物理教師,在高一受力分析講解時要注重對物體受力分析模塊內容的講解,教會讓學生畫受力分析示意圖的能力,作為一線的教師常常發現學生學不會、學不懂物理,最主要的原因是力學沒有學好,不會畫物體的受力分析圖或畫錯受力分析圖,只有正確的畫出受力示意圖,才能根據平衡條件或牛頓第二定律列出相應的方程,為下一步分析做功問題,能量轉化打下堅實的基礎,所以要想學好高中物理,首先就必須先學會、學好受力分析．

3.2 構建物理模型,促進學生分析能力

高中物理試題模型中有許多物理過程是比較抽象難懂的,學生不易理解和掌握,在平時的課堂教學過程中,我們應有意地進行物理模型的構建思維教學,將物理模型的構建與運動過程的分析有機的結合起來,讓學生知道到物理模型的構建與運動過程的分析是解決力學問題行之有效的方法．通過對物理問題的分析,重點體現物理模型構建思維及分析研究思路的教學,尤其是對較復雜物理過程中通過物理模型的構建,抓住問題的本質特征,正確運用科學抽象思維的方法構建物理模型,還原運動過程,有助于學生物理思維能力提高,有助于學生去掌握物理學的研究方法,培養學生分析問題、解決問題的能力,從而達到了我們課堂教學的目標．

3.3 一題多變,思維拓展

對于高中物理的學習很多教師推崇題海訓練戰術,但是大量實踐證明,簡單機械的訓練對于物理學科成績的提高是低效的,這種方法不利于培養學生的科學思維和探究問題的能力．因此建議教師在進行課堂教學前應該精選試題,課堂要求精講細講,一題多解、一題多變、一題多問的方式激發學生的思考,構建物理思維模型,總結解題的方法和技巧．