英國A-LEVEL物理課程中的實驗不確定度分析

蔡錦曦

(杭州育瀾劍橋國際中心,浙江 杭州 310000)

近年來,國際學校和國際課程在我國各省市迅速發展,筆者自2008年開始進行英國A-LEVEL國際課程教學,在迄今10年的時間里,筆者一直在國際高中擔任物理教師,使用英國的教材、利用英語進行授課、與外籍同事一起輔導學生參加由英國劍橋大學國際考試委員會(CIE)組織的全球統考,取得了優異的成績,也積累了一定的教學經驗．2013年筆者也曾赴英國利物浦嘉德中學(Calday Grange Grammar School)進行短期交流和學習,了解了A-LEVEL課程在英國本土的開設情況．在本文中筆者將就英國A-LEVEL物理課程中對實驗不確定度分析的要求進行總結,以供國內物理教師參考．

1 誤差與不確定度的區別

首先有必要對物理實驗中兩個常用的但又容易混淆的概念進行區別:誤差與不確定度．

誤差(Error)一般又稱為測量誤差,它導致測量值跟被測物理量的真實值之間存在差異．一般分為兩類:系統誤差(systematic error)和偶然誤差(random error),詳見表1.

表1

在人教版《物理》必修1中還提到了絕對誤差和相對誤差的概念,值得一提的是,從人教版教材所表達的意義來看,按照嚴格的國際規范,[1]這里的“誤差”其實是另外一個概念——不確定度(uncertainty)．

一般來說,“誤差”是導致測量值偏離真實值的因素,是一種“問題”(problem)．而不確定度是測量中多個測量值的實際范圍,測量者會認為真實值就位于這個范圍之內(The uncertainty is an actual range of values around a measurement, within which you expect the true value to lie[2]),所以不確定度有確切的數值和單位．

在A-Level物理課程中,不確定度被分為不確定度(actual uncertainty或absolute uncertainty)和相對不確定度(percentage uncertainty或fractional uncertainty)兩類．

為了表示實驗結果的準確程度,科學的表達形式為

實驗結果=測量值±不確定度=x±Uc，其中x是測量值,Uc是不確定度．舉例來說,如果某一長度的真實值是21.0 cm,而誤差導致測量值為21.5 cm,那么由于真實值與測量值的偏離程度為0.5 cm,所以不確定度為±0.5 cm,這個測量結果應該被寫作21.5±0.5 cm．但為了更好地表示測量結果的準確程度,又引入相對不確定度的概念:

教師的專業成長是教師從事教學工作時，通過有意識組織的各種活動，引導教師自我反省教學知識、技能及態度的過程，其目的在于促進教師教學效率最大化，完成教育目標，是教師在其教學生涯中不斷追求個人專業知識、技能與態度等進步與發展的努力及意愿。立足課堂教學，利用各種形式的教學活動能使教師本身的專業知識、專業技能及專業態度有所改善，并在實際的教學工作中得到發展，進而促進個人意愿的自我實現。

2 不確定度與有效數字

在A-Level物理課程及考試中對有效數字的一致性(consistency)要求較為嚴格,對于物理測量中的測量值與不確定度的表達形式一般遵循以下兩條規則: (1) 不確定度的數值中只能有一個非零的數字; (2) 測量值的最后一個有效數字與不確定度的非零數字應該在同一數字位上．舉例說明如表2所示.

表2

從以上幾例可以發現,不確定度的有效數字一般應為一個,實驗結果的最后表達形式中測量值根據不確定度而定．

例1.一位學生通過測量算出聲音在空氣中的速度為327.66 m·s-1,該結果的相對不確定度為±3%,則以下哪一個結果的有效數字是正確的?

(A) 327.7 m·s-1. (B) 328 m·s-1.

(C) 330 m·s-1. (D) 300 m·s-1.

解析:首先算出不確定度=327.66×3%=±9.8298 m·s-1,根據第一條規則,必須將9.8298進行四舍五入變成10,這樣它只有一個非零的數字“1”,于是結果可以寫為327.66±10 m·s-1．根據第二條規則,由于不確定度的最后一位有效數字“1”(注意此時0為非有效數字)位于十位上,所以必須將327.66寫作330,以保證有效數字位置的一致性,最后結果應寫成330±10 m·s-1,或者(3.3±0.1)×102ms-1,所以正確選項為(C)．

3 不確定度的判定

在之前的例子中,由于知道真實值,所以不確定度可以很容易地被計算出來,但在實際測量中往往真實值是無法得知的,這時候就必須要通過一定的方法來確定不確定度的大小．必須指出,在近8年的A-Level教學中,筆者研究和參考了眾多的教材、教輔書籍和考試試卷及評分標準,這些資料對于不確定度的判定標準都不太一致,幾乎沒有一本書能給出非常確切的準則,甚至有一些是基于經驗法則,考慮到科學測量的多樣性和復雜性,這也可以理解,不過由于缺乏統一的標準,確實給教師和學生帶來了一定的困惑．以下試討論幾種筆者總結出來的常見情況．

(2) 單次測量數據，根據儀器標準差確定不確定度.

(3) 在某些難度較大的測量中,由于系統誤差較大,對不確定度的估計要適當放大．

圖1

例如,使用精度為0.015的秒表來測量參加100m跑的運動員的成績,考慮到測量者按表的反應時間,測量誤差的增大會導致不確定度的增大．

又如,在2013年5月劍橋大學A-Level實驗考試(Paper 33)中,考生被要求測量一個放置在不透明軌道中的小球的底部到實驗桌面的高度h(如圖1)．雖然使用的刻度尺的精度是1 mm,但是由于小球的下半部分在軌道里無法被看到,所以難以準確確定小球底部的位置,在此情況下要適當放大測量誤差,如2-5 mm．然后估算不確定度.

4 間接量不確定度的確定

在物理實驗中經過測量得到的直接物理量具有不確定度,所以由后續計算得到的間接物理量當然也有不確定度,一般分兩種情況來討論．

(1) 經過加減運算得到的物理量,其不確定度由被加減的物理量的不確定度相加而得．如表3.

表3

(2) 經過乘除運算得到的物理量,其相對不確定度由被乘除的物理量的相對不確定度相加而得．如表4.

表4

例3.在某次實驗中,一個遙控小車用了2.50±0.05 s的時間通過了40.0±0.1 m的距離,則小車的平均速度和不確定度為多少?

(A) 16±1 m·s-1.

(B) 16.0±0.2 m·s-1.

(C) 16.0±0.4 m·s-1.

(D) 16.00±0.36 m·s-1.

5 利用圖像計算不確定度

在A-Level物理課程中還可以利用圖像來計算不確定度,一般要求A2階段(相當于國內的高三年級)的學生掌握,以下舉例說明．

在研究胡克定律的實驗中,某學生測量彈簧伸長量與所掛鉤碼重力的關系,得到以下6組數據(表5).

表5

圖2