基于核心素養的“函數的概念”教學案例

江蘇省淮安市新淮高級中學 張 靚

一、教材內容分析

函數的概念是中學數學概念中最重要的基本概念之一，是中學數學知識體系中的“核心”內容。函數思想貫穿整個高中數學教學的始終，而函數概念是函數思想的基礎，是整個高中數學的主題內容。

初中時，蘇教版教材中函數的定義是：一般地，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就說x是自變量，y是x的函數。從概念的定義我們不難發現，此處將函數看成是兩個變量之間的依賴關系，但隨著學習的深入，再從變量之間的關系角度看，就很難解釋形如y=2這樣的函數。如果用高中集合、對應的知識來解釋，就很自然。

實際上，初中教材和高中教材對函數概念的定義在本質上是一樣的。高中階段不僅把函數看成變量之間的依賴關系，同時還用集合與對應的語言刻畫函數。雖然在初中沒有提及集合與對應的概念，但事實上它是客觀存在的，滲透學生在解決具體問題的過程中。不同之處在于初中所接觸的函數多數是有解析式的，而高中引入了新的符號“f”，用“f”表示對應關系，用f（x）表示集合B中與x對應的那個數。

二、學生學情分析

授課對象：市重點高中普通班級的學生。學生在初中學習代數時已經學習了函數的概念、表示方法以及圖像的繪制，并具體學習了正比例函數、反比例函數、一次函數及二次函數的概念和性質。進入高中，又學習了集合與對應的語言，這些都為學生進一步學習函數做了鋪墊。但高一學生的抽象思維和概括能力還較弱，從具體實例中概括事物的特征，并用集合的語言描述函數的概念尚難，需要教師的引導。

三、教學目標分析

教學參考書中的教學目標是這樣設定的：了解函數的定義，能用集合與對應的語言來刻畫函數，體會對應關系在刻畫函數概念中的應用；了解函數的構成要素。根據教學參考書中的教學目標的設定，筆者將這些教學目標進行了細化，使之更具有操作性：①通過豐富的實例了解集合A和集合B都必須是非空的數集；②理解函數的本質，理解兩個數集之間有確定的對應關系f，會求簡單函數的定義域；③通過經歷函數的概念形成和辨析，發展學生的思維能力，通過課堂互動，體會函數思想和數學美。

四、教學重、難點分析

重點是通過引導學生概括具體實例的共同屬性，用集合與對應的數學語言刻畫函數概念；教學難點是理解函數概念及符號y=f（x）。

五、教學策略分析

根據本節課的教學內容、學生學情以及教學重難點的設置，筆者采用問題式教學法先設置問題情境，用問題驅動、引導學生，再通過學生之間的合作交流、歸納，抽象出函數的概念。

六、教學過程分析

1.復習回顧，引入問題

在初中，同學們已經學習了函數，你還記得函數的概念嗎？根據函數的定義，你能舉出幾個函數的具體例子嗎？（請學生舉例）在學生舉例的基礎上，追問：你是如何判斷你所舉出的例子就是函數？依據是什么？

設計意圖：通過具體實例，一方面可以了解學生在初中時對函數概念的認知程度，另一方面有助于形成學生對知識“再創造”的欲望。此環節可以讓學生從變量的角度感受函數概念的本質，并培養學生的邏輯思維能力。

2.創設情境，形成概念

情境：一枚炮彈發射后，經過26s 落到地面擊中目標，炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規律是h=130t-5t2，試問：炮彈距離地面的高度h是時間t的函數嗎？為什么？

情境：已知某市一天24 小時內的氣溫變化圖（圖略），那么氣溫t是時間h的函數嗎？為什么？你能用集合的語言重新表述一下這個對應關系嗎？

學生思考、討論、交流。

設計意圖：讓學生充分參與課堂，體驗不僅僅是解析式，圖像也是一種記錄兩個變量之間對應關系的語言，進一步提高學生用數學語言表達問題的能力。

問題：分析這兩個實例，它們有哪些共同屬性呢？哪位同學來說一說？

設計意圖：從特殊到一般，通過回答不同實例中的集合，進一步清晰函數可以看做兩集合的對應關系這一初步印象，初步體驗函數概念。

教師：我們學習過很多的數學概念，當我們認識到概念的本質屬性以后，往往將這些數學概念沉淀成一個數學符號。那么這三個引例的共同屬性是不是也可以用數學符號來表示？（老師總結板書）

設計意圖：在學生總結兩個實例的共同屬性的基礎上，及時地引進數學符號，引導學生把符號和它所代表的含義聯系起來，不僅有效突破本節課的難點，還可以培養學生數學建構意識和轉化思想，提高學生的語言概括能力，真正做到用數學的語言表達世界。

教師幫助學生建立函數關系。

問題：回顧這節課學習的函數的概念，你覺得有哪些關鍵詞呢？

設計意圖：由學生指出概念中的關鍵詞，從抽象到具體，從一般到特殊，挖掘知識的背后學生的思維過程，暴露學生對函數概念的本質的理解情況。

3.概念辨析

判斷：下列哪些y是x的函數，為什么？

4.典例講練，示范鞏固

例1：下列集合A到集合B的對應f中：是從集合A到集合B的函數為：_______

①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的數的平方；

②A=R,B={正實數},f:A中的數取絕對值。

設計意圖：對函數概念正例與反例的辨析，強調對應關系的方向。通過學生比較、分析、概括，可以使概念的關鍵屬性變得清晰，使實例成為理解概念的一種思維載體。

例2：已知函數。（3）當a＞0 時，求f（a-1）的值。

設計意圖：學生能根據定義，求出簡單函數的定義域，加深學生對函數概念的理解，培養學生的數學應用意識。

5.總結反思，提高認識

課堂小結：本節課你有哪些收獲呢？還有哪些困惑？

設計意圖：鞏固函數概念。

6.作業設計

相應學案的課后作業，分必做題、選做題以及拓展題。